高中数学-1.5 函数及其表示教学设计学情分析教材分析课后反思

函数的零点与方程的解教学目标1.理解函数零点的定义，会求函数的零点.2.掌握函数零点存在定理，会判断函数零点的个数及其所在区间.3.提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算的素养.重点：函数零点与方程解的关系，函数零点存在定理的应用．难点：函数零点存在定理的导出．教学过程【探究一：零点概念的建构】回忆旧知铺垫新课：师：同学们对于本节课的课题是不是有些似曾相识的感觉，我们在哪里与零点偶遇过吗？生：在一元二次函数零点那里！师：问题1：二次函数零点的概念是什么？问题2：二次函数与其所对应方程之间有什么关系？判别式ΔΔ＞0Δ＝0Δ＜0方程ax2+bx+c=0(a>0)的根两个不相等的实数根x1、x2有两个相等的实数根x1=x2没有实数根函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象OOxyx1x2OOyxx1OOxy函数的图象与x轴的交点两个交点：(x1,0)，(x2,0)一个交点：(x1,0)无交点设计意图：引导学生对初中所学的二次方程进行回忆，同时也想要说明方程的根除了韦达定理和求根公式和函数的图像存在关系，为后面的零点进行铺垫通过回顾二次函数图象与x轴的交点和相应方程的根的关系，为一般函数及相应方程关系作准备。（2）辨析讨论，深化概念．问题3：由二次函数与其所对应方程之间存在的关系你能否类比得到函数和方程之间的关系吗设计意图：培养学生识图和归纳总结的能力问题4：你能将你得到的特殊结论推广到一般的形式的函数吗并将你所得的结论总结出来吗设计意图：让学生参与概念的生成，并将学生的主体地位显现例1.函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是()A．(eq\f(1,2)，0),(1,0) B.eq\f(1,2)，1C．（eq\f(1,2)，0），（-1,0） D．－eq\f(1,2)，1设计意图:及时矫正“零点是交点”这一误解．说明：函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值．牛刀小试：求下列函数的零点：1、函数图象如下，求零点设计意图:使学生熟悉零点的求法（即求相应方程的实数根）．同时为零点存在定理做铺垫。【探究二：零点存在定理的建构】问题5：在怎样的条件下，函数y＝f(x)在区间[a，b]上一定有零点探究：（1）让学生自己动手画出二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象并分析特点：ababcxyOdf(-2)=_______，f(1)=_______，f(-2)·f(1)_____0（“＜”或“＞”）．在区间(2，4)上有零点______；f(2)·f(4)____0（“＜”或“＞”）．（2）观察函数的图象：①在区间(a，b)上___(有/无)零点；f(a)·f(b)___0（“＜”或“＞”）．②在区间(b，c)上___(有/无)零点；f(b)·f(c)___0（“＜”或“＞”）．③在区间(c，d)上___(有/无)零点；f(c)·f(d)___0（“＜”或“＞”）．设计意图：通过归纳总结得出特殊到一般数学思想得到零点存在性定理．从而强调零点存在的条件为后面概念的辨析做好铺垫。问题6：通过观察图象对零点的存在有了一定的认识，那么对于下面的图象是否有零点呢设计意图：通过将零点存在定理分割让学生理解零点为什么要定义在区间上同时也让学生了解图象在区间上也必须连续，也为寻找特殊二次函数在区间有零点提供依据，同时为零点存在定理的形成进行铺垫。问题7：如果在闭区间[a,b]上函数y=f(x)端点函数值f(a).f(b)<0是否一定有零点设计意图：对存在零点的条件进行辨析，通过学生自己探究培养归纳的能力。同时渗透数学中的数形结合的数学思想与此同时教师可以起到主导作用（三）熟悉定理．定理辨析与灵活运用例2：函数f(x)＝lnx＋2x－6在的区间(1.e)的零是否存在零点？变式：方程lnx＋2x－6=0解的个数？设计意图：通过例题分析，能根据零点存在性定理，使用多种方法确定零点所在的区间，并且结合函数性质，判断零点个数（四）课时小结：总结整理，提高认识1.知识：函数零点与方程根的关系2.方法：求函数零点、判断零点个数方法3.思想：函数方程思想；数形结合思想，特殊到一般的化归转化思想设计意图：针对于本节课的教学和本节课需要让学生掌握的知识为依据，同时也可以让学生自行归纳，教师总结。一、学生具备必要的知识与心理基础．学生已经学习了函数的概念二次函数的零点的概念，对初等函数的图象、性质已经有了一个比较系统的认识与理解，这为本节课利用函数图象，判断方程解的存在性提供了一定的知识基础．方程是初中数学的重要内容，用所学的函数知识解决方程问题，扩充方程的种类，这是学生乐于接受的，故而学生具备心理与情感基础．二、学生缺乏函数与方程联系的观点．高一学生在函数的学习中，常表现出不适，主要是数形结合与抽象思维尚不能胜任．具体表现为将函数孤立起来，认识不到函数在高中数学中的核心地位．例如一元二次方程解的分布问题，学生自然会想到韦达定理，而不是看二次函数的图象．函数与方程相联系的观点的建立，函数应用的意识的初步树立，就成了本节课必须承载的任务．三、直观体验与准确理解定理的矛盾．从方程解的角度理解函数零点，学生并不会觉得困难．而用函数来确定方程解的个数和大致范围，则需要适应．换言之，零点存在性定理的获得与应用，必须让学生从一定量的具体案例中操作感知，通过更多的举例来验证．定理只为零点的存在提供充分非必要条件，在函数连续性、简单逻辑用语未学习的情况下，学生对定理的理解常常不够深入．这就要求教师引导学生体验各种成立与不成立的情况，从正面、反面、侧面等不同的角度审视定理的条件与适用范围．本堂课以“探究-合作-引领”为主题，充分发挥了学生的主观能动性，学生学得很投入，很快乐。对于基础较好点的学生来说，这节课学的很轻松，加之他们能够给一些稍差点的学生讲解思路方法，所以学得更深，理解更好。稍差点的学生能够积极听取别人的方法。也能够学会，跟得上。最后，老师根据整体存在问题进行引领，拓展，提升，使学生的理解达到了较高的水平。本节内容为人教版必修1第四章第五课《函数的应用》第一节《函数与方程》的第一课时,主要内容就是函数零点概念、函数零点与相应方程解的关系、函数零点存在性定理,就是一节概念课。函数就是中学数学的核心概念,核心的原因之一在于函数与其她知识具有广泛的联系性,而函数的零点就就是其中的一个链接点,它从不同的角度,将数与形,函数与方程联系在一起。方程本身就就是函数的一部分,用函数的观点来研究方程,就就是将局部放入整体中研究,进而对整体与局部都有一个更深层次的理解。本节课就是在学生学习了基本初等函数及其相关性质,具备初步数形结合的能力基础之上,利用函数图象与性质来判断方程的解的存在性及解的个数,从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法,为下节“用二分法求方程的近似解”与今后进一步学习函数奠定基础、因此本节课内容具有承前启后的作用,地位至关重要、从研究方法而言,零点概念的形成与零点存在性定理的发现,符合从特殊到一般的认识规律,有利于培养学生的概括归纳能力,也为数形结合思想提供了广阔的平台。【达标检测】1.函数f(x)＝x3－3x－3零点所在的区间是()A．(－1，0) B．(0，1)C．(1，2) D．(2，3)2.函数的零点为（）A．点（-2,0）点（-2，0）点（1，0）B.2，-2，1C．点（0，-2）点（0，-2）点（0，1）D.以上都不对3.判定方程ex−𝑥−2=0的一个解所在区间是（）A．（-1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）4．函数f(x)＝2x＋x－2有________个零点本节是第四章第五课第一节，我先对这一章内容进行了分析：从总体上把握住了教学的关键，认识到了本节课在本章的地位和作用，本节课是为了二分法的教学的一节预备课，是基础课，为此也就确定了本节课的重点：零点的存在性。为此我开始思考如何让学生对这个问题产生兴趣，如何理解零点的存在性，如何在问题情境下引导学生自主探求知识产生发展过程。为此我设计在引入时提出三个方程（1）；（2）；（3）让同学们解决，前两个方程学生很容易解决，但第三个超越方程学生不能够解决，从而激发学生的求知欲，根据由易到难，有已知得到未知的认知规律为前提，从具体的问题出发,揭示函数与代数式、方程之间的内在联系，并从学生所熟悉的具体二次函数，推广到一般的二次函数，再进一步推广到一般的函数。从而提出零点的概念，此时再回到求方程的解的问题。本节课的优点为：1.提出方程它是教材中的例题，把它放到引入里让学生带着问题进行学习，激发了学生的学习兴趣，调动了他们的学习积极性。有部分同学马上想到了可以利用图像法，我给与鼓励并提出方程的解与函数图像究竟是怎样的联系并引导学生先从简单的，我们熟悉的二次方程二次函数开始研究从而推动了教学的进行。2.始终以中心，围绕这个问题不断设问引导学生解决问题，在关键环节，例如：当我们提出了零点概念，知道了方程的解与对应函数与x轴的交点的关系此时在提出这个方程的解的问题，学生能够马上联想到考虑对应函数的图像问题。又如当我们得到函数零点的存在性定理后在提出。这样环环相扣，步步为营为最中突破问题奠定了坚实的基础。3.在过程中始终没有给灌输学生知识，而是引导学生步步接近答案让学生真正的体会到了学习的成就感，体现了以教师为主导，学生为主体，体现了问题下的情景教学，学生自主探究完成教学任务。一、知识与技能:1、结合方程解的几何意义,理解函数零点的概念;2、结合零点概念的探究,掌握方程的解与其相应函数零点之间的等价关系;3、结合几类基本初等函数的图象特征,掌握判断函数的零点个数与所在区间的方法、二、过程与方法:1、通过化归与转化思想的引导,培养学生从已有认知结构出发,寻求解决棘手问题方法的习惯;2、通过数形结合思想的渗透,培养学生主