天津市第三中学高一下学期期中质量检测试题数学2

高一平面向量及其应用单元检测试题第I卷（选择题）选择题（本大题8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在中，分别是角所对的边，，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由正弦定理求得，再利用面积公式进行求解即可.【详解】由正弦定理得：，由面积公式得：.故选：.2．已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝，点D在线段BC上，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据确定，从而可得，从而用向量数量积的运算律即可求解.【详解】设等腰△ABC在边上的高为，因为，所以，所以,所以，所以.故选:B.3．若平面向量与的夹角为60°，,，则等于（

）.A． B． C．4 D．12【答案】B【分析】先根据数量积的定义求出，再根据模的计算法则求.【详解】由题意，，；故选：B.4．已知中，为的中点，且，，，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由向量线性运算可得，知，根据投影向量为，结合长度和角度关系可求得结果.【详解】，，，又，，，，为等边三角形，；在上的投影向量为.故选：C.5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，，则c的值为（

）A． B．7 C．37 D．6【答案】A【分析】利用余弦的降幂公式，化简已知条件求得；再利用正弦定理将角化边结合已知求得，再用余弦定理即可求得.【详解】由得，即，解得或(舍去)．由及正弦定理，得，结合，得.由余弦定理，知，

所以.故选：A6．在平行四边形ABCD中，，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的最大值是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】建立平面直角坐标系，设，，利用已知条件求出的坐标，然后通过数量积运算结合二次函数的性质求出最大值．【详解】以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．，，，，，设，，则，，可得，，，，当时，取得最大值5．故选：D．7．已知中，a、b、c为角A、B、C的对边，，若与的内角平分线交于点I，的外接圆半径为，则面积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据正弦定理求出，，，，得到，利用基本不等式求出面积的最大值.【详解】，由正弦定理得：∵，∴，∵，∴，为直角三角形且外接圆半径为，∴，∴，设内切圆半径为，则．其中，因为，所以，故，当且仅当时，等号成立，∴，当且仅当时等号成立，故选：A8．已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（

）A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心【答案】C【分析】根据与的意义，得到的方向与的角平分线一致，从而判断出点P的轨迹一定经过的内心.【详解】因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，则的方向与的角平分线一致，由，可得，即，所以点P的轨迹为的角平分线所在直线，故点P的轨迹一定经过的内心.故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．的内角在A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则下列结论正确的是（

）A．B．是锐角三角形C．的最大内角是最小内角的2倍D．若，则外接圆半径为4【答案】ABC【分析】根据，得到，结合正弦定理判断AD，结合余弦定理判断BC..【详解】因为在中，，所以，解得，由正弦定理可得，为的外接圆半径，所以，所以，故A正确；因为，所以角C为最大角，角为最小角，又由余弦定理可得，又，所以角C为锐角，故是锐角三角形，故B正确；则，所以，即，又，所以，故C正确；因为，，所以，则由正弦定理得，解得，故D错误；故选：ABC.10．已知向量，若，则下列结论在确的是（

）A． B．C． D．与的夹角为锐角【答案】AC【分析】求出，对两边平方得可判断A；由的坐标运算可得的值，求出可判断B；对两边平方化简可判断C；求出、、，设与的夹角为，由向量的夹角公式计算可判断D.【详解】，由得，所以，所以A正确；对于B，由，可得，因为，所以，故B错误；对于C，由得，所以，故C正确；对于D，，，设与的夹角为，所以，又，所以为钝角，故D错误.故选：AC.11．已知向量，的夹角为，，，，则（

）A．在方向上的投影向量的模为B．在方向上的投影向量的模为C．的最小值为D．取得最小值时，【答案】AD【分析】AB选项，利用投影的定义求解判断；CD选项，利用数量积的运算律求解判断.【详解】因为在方向上的投影向量的模为，故A正确；因为在方向上的投影向量的模为，故B错误；，当时，取得最小值，此时，所以，故C错误，D正确．故选：ADABCDEFGH的边长为，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列结论正确的是（

）A．B．在向量上的投影向量为C．若，则为的中点D．若在线段上，且，则的取值范围为【答案】BD【分析】以为轴，为轴建立直角坐标系，计算各点坐标，计算，A错误，投影向量为，B正确，直线与正八边形有两个交点，C错误，，D正确，得到答案.【详解】如图所示：以为轴，为轴建立直角坐标系，设，则，整理得到，，，，设，对选项A：，，，错误；对选项B：，，，即投影向量为，正确；对选项C：，，，整理得到，即，与正八边形有两个交点，错误；对选项D：，，，，，整理得到，，故，正确.故选：CD【点睛】关键点睛：本题考查了向量的运算，投影向量，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中建立直角坐标系，将向量运算转化为坐标运算，可以减少计算量，是解题的关键.第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知向量，，，若，则实数x的值为______．【答案】##【分析】利用平面向量的坐标运算，结合向量垂直的坐标表示求解作答.【详解】因为向量，，则，又，且，因此，解得，所以实数x的值为.故答案为：14．已知，，，则点A、B、C、D中一定共线的三点是______.【答案】A、B、D【分析】根据已知向量，结合向量加法法则、共线基本定理判断向量是否共线，即可判断点共线.【详解】由不存在实数使成立，故A，C，D三点不共线，同理A、B、C以及B、C、D均不共线，又，故与共线，故三点A、B、D共线.故答案为：A、B、D15．在中，是的角平分线，且交于.已知，则__________.【答案】【分析】根据角平分线性质定理可得，设，由余弦定理可得关于m的方程，求得m的值，可得答案.【详解】由题意是的角平分线，，由角平分线的性质知：，设，因为，则，则,所以，整理得，解得或（舍）.所以,.故答案为：16．锐角三角形的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则的取值范围为___________.【答案】【分析】根据正弦定理结合已知可得，于是由锐角三角形，可得，再用正弦定理与二倍角及和差角公式可将转化为，由函数单调性可得其范围.【详解】解：因为，且，所以由正弦定理得：，所以又锐角三角形中，，则，即所以，由于锐角三角形，所以，解得所以由于，则在上递减，在上递增所以在在上递减，于是有，即的取值范围为.故答案为：.四、解答题：本大题共5小题，17题共10分，其余各题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在平面直角坐标系中，已知点．(1)若，求的值；(2)若，设实数满足，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用共线向量定理的坐标形式即可求解（2）利用向量垂直的充要条件的坐标形式即可求解【详解】（1）因为，，所以，（2）若，则，18．如图，边长为2的等边所在平面内一点满足（），点在边上，.的面积为，记，.(1)用，及表示；(2)求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据向量的运算求解即可；（2）由题知，，进而得，设三角形在边上的高为，根据几何关系得，再结合基本不等式求解即可.（1）解：因为是边长为2的等边三角形，，所以，，所以（2）解：因为，，，，所以，，设三角形在边上的高为，则，所以，因为（），所以，所以，即，所以，，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.19．在中，的对边分别为.(1)若，求的值；(2)若的平分线交于点，求长度的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理得出，再由余弦定理求得结果；（2）设，把表示成两个三角形的面积和，表示出，再求其取值范围；【详解】（1）已知，由正弦定理可得，，，，，即，.（2）由（1）知，由，则.设，，，，.20．如图，△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角B的大小；(2)已知，若D为△ABC外接圆劣弧AC上一点，求AD+DC的最大值.【答案】(1)；(2).【分析】(1)法一:利用正弦定理和两角和的正弦公式可得，再利用三角形内角的取值范围即可求解；法二:利用余弦定理得出，根据三角形内角的取值范围即可求解；(2)方法一：设，则，利用正弦定理得出，，然后利用辅助角公式和正弦函数的图象和性质即可求解；方法二：利用余弦定理和基本不等式即可求解.【详解】（1）法一:∵，由正弦定理得，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，法二:∵，由余弦定理得，∴，∴，∵，∴.（2）由（1）知，，面四边形ABCD内角互补，则，法一:设，则，由正弦定理得，∴，，∴，当且仅当时，的最大值为.法二:在△ADC中，，，由余弦定理得，∴，∴，当且仅当时，的最大值为.21．在中，a，b，c分别是的内角A，B，C所对的边，且．(1)求角A的大小；(2)记的面积为S，若，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，由正弦定理先将边角化统一，然后由余弦定理即可得到结果；（2）根据题意可得，，然后得到，再由三角形的面积公式可得，最后结合基本不等式即可得到结果.【详解】（1）因为，即由正弦定理可得，，化简可得，且由余弦定理可得，，所以，且，所以.（2）因为，则可得，所以且，即，当且仅当，即时，等号成立.所以22．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)若，的面积为，求的值；(2)若为锐角三角形，作角B的平分线交AC于点D，记与的面积分别为，，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由，利