2022年数学九年级上《圆的对称性2》课件(新青岛版)

3.1圆的对称性〔2〕1.理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和旋转不变性.2.探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题.〔重点〕3.理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆〞条件的意义.〔难点〕学习目标熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块，你会分吗？导入新课

所以圆是中心对称图形.OAB180°观察：1.将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？讲授新课圆心角的定义2.把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆重合吗？Oα圆是旋转对称图形，具有旋转不变性·

·OB

A

·OB

A观察在⊙O中，这些角有什么共同特点？

顶点在圆心上ABOOOABM

1.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如∠AOB.3.圆心角∠AOB所对的弦为AB.任意给圆心角，对应出现三个量：圆心角弧2.圆心角∠AOB

所对的弧为

AB.⌒弦概念学习判一判：判别以下各图中的角是不是圆心角，并说明理由.①②③④圆内角圆外角圆周角〔后面会学到〕圆心角在同圆中探究在⊙O中，如果∠AOB=∠COD，那么，AB与CD，弦AB与弦CD有怎样的数量关系？⌒⌒C·OABD由圆的旋转不变性，我们发现：在⊙O中，如果∠AOB=∠COD，

那么，，弦AB=弦CD归纳圆心角、弧、弦之间的关系

·OAB如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO′D，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？

·O′CD在等圆中探究

通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现：如果∠AOB=∠COD，那么，AB=CD，弦AB=弦CD.归纳⌒⌒在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．圆心角的度数与它所对弧的度数相等①∠AOB=∠COD②AB=CD⌒

⌒③AB=CDABODC要点归纳弧、弦与圆心角的关系定理想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．〞中，可否把条件“在同圆或等圆中〞去掉？为什么？不可以，如图.ABODC如果弧相等那么弧所对的圆心角相等弧所对的弦相等如果弦相等那么弦所对应的圆心角相等弦所对应的优弧相等弦所对应的劣弧相等如果圆心角相等那么圆心角所对的弧相等圆心角所对的弦相等在同圆或等圆中题设结论关系结构图

××√抢答题1.等弦所对的弧相等.〔〕2.等弧所对的弦相等.〔〕3.圆心角相等，所对的弦相等.(〕4.

如图，AB是⊙O的直径，BC

=CD

=DE，∠COD=35°，∠AOE=

．·AOBCDE75°解：∵BC=CD=DE

例1

如图，AB是⊙O的直径，

BC=CD=DE

∠COD=35°，求∠AOE的度数．·AOBCDE典例精析证明：∴AB=AC．△ABC是等腰三角形.又∠ACB=60°，∴△ABC是等边三角形,AB=BC=CA.∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.例2

如图，在⊙O中，AB=AC

,∠ACB=60°,求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.·ABCO⌒⌒温馨提示：此题告诉我们，弧、圆心角、弦灵活转化是解题的关键.∵AB=CD，⌒⌒填一填：如图，AB、CD是⊙O的两条弦．〔1〕如果AB=CD，那么________，____________．〔2〕如果，那么____________，_____________．〔3〕如果∠AOB=∠COD，那么_____________，________．·CABDEFOAB=CDAB=CDAB=CD((∠AOB=∠COD∠AOB=∠CODAB=CD((AB=CD((〔4〕如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？·CABDEFO解：OE=OF.理由如下：1．如果两个圆心角相等，那么（）A．这两个圆心角所对的弦相等B．这两个圆心角所对的弧相等C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D．以上说法都不对2.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于

.D60°当堂练习3.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD,则AB与CD的关系是（）⌒⌒AA.AB=2CD

⌒⌒B.AB>CD

⌒⌒C.AB<CD

⌒⌒D.不能确定

(1)与(2)的相似比=______,(1)与(2)的面积比=______(1)与(3)的相似比=______,(1)与(3)的面积比=______1231∶

2〔1〕〔2〕〔3〕1∶

41∶

31∶

9问题：图中(1)(2)(3)分别是边长为1，2，3的等边三角形,答复以下问题：结论：相似三角形的面积比等于____________．相似比的平方相似三角形面积的比等于相似比的平方知识点证明：设△ABC∽△A′B′C′，相似比为k,如图，分别作出△ABC和△A′B′C′的高AD和A′D′.∵△ABC和△A′B′C′都是直角三角形，并且∠B=∠B′，∴△ABD∽△A′B′D′.ABCA′B′C′DD′想一想：怎么证明这一结论呢？∵△ABC∽△A′B′C′.相似三角形面积的比等于相似比的平方.归纳总结1.ΔABC与ΔA′B′C′的相似比为2：3，那么对应边上中线之比 ，面积之比为 .

2.如果两个相似三角形的面积之比为1:9，周长的比为______.

1:32:34:9练一练例：将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠局部的面积是△ABC的面积的一半.BC=2，求△ABC平移的距离.解：根据题意，可知EG∥AB.

∴∠GEC=∠B,∠EGC=∠A.

∴△GEC∽△ABC.

即△ABC平移的距离为

解：在△ABC和△DEF中，∵AB=2DE，AC=2DF，又∵∠D=∠A，∴△DEF

∽

△ABC

，相似比为1:2.ABCDEF∴例

如图，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D.若△ABC的边BC上的高为6，面积为，求△DEF的边EF上的高和面积.ABCDEF∵△ABC的边BC上的高为6，面积为，∴△DEF的边EF上的高为×6=3，面积为如果两个相似三角形的面积之比为2:7，较大三角形一边上的高为7，那么较小三角形对应边上的高为______.练一练例

如图，D，E分别是AC，AB上的点，已知△ABC的面积为100cm2，且，求四边形BCDE的面积.

∴△ADE∽△ABC.∵它们的相似比为3:5，∴面积比为9:25.BCADE解：∵∠BAC=∠DAE，且

又∵△ABC的面积为100

cm2，∴△ADE的面积为36cm2

.∴四边形BCDE的面积为100－36=64(cm2).BCADE

如图，△ABC中，点D、E、F分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB.当D点为AB中点时，求S四边形BFED:S△ABC的值.ABCDFE练一练解：∵DE∥BC，D为AB中点，∴△ADE∽△ABC，相似比为1:2，面积比为1:4.

∴ABCDFE又∵EF∥AB，∴△EFC∽△ABC，相似比为1:2，面积比为1:4.设S△ABC=4，那么S△ADE=1，S△EFC=1，S四边形BFED=S△ABC－S△ADE－S△EFC=4－1－1=2，∴S四边形BFED:S△ABC=2:4=3．两个相似三角形对应中线的比为，那么对应高的比为______.2.相似三角形对应边的比为2∶3,那么对应角的角平分线的比为______.2∶

31．两个相似三角形的相似比为,那么对应高的比为_________,那么对应中线的比为_________.随堂练习解：∵△ABC∽△DEF，

解得,EH＝3.2(cm).答：EH的长为.AGBCDEFH4.△ABC∽△DEF，BG，EH分△ABC和△DEF的角平分线，BC=6cm,EF=4cm,BG=4.8cm.求EH的长.5.如图，AD是△ABC的高，AD=h,点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E.当时，求DE的长.如果呢？∴△ASR∽△ABC

(两角分别相等的两个三角形相似).解：∵SR⊥AD，BC⊥AD，

BAERCDS∴SR∥BC.

∴∠ASR=∠B,∠ARS=∠C.

(相似三角形对应高的比等于相似比)，当时，得解得BAERCDS当时，得解得选做题：6.一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5m，面积为1.5m2,要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面，甲乙两位同学的加工方法如图〔1〕、〔2)所示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好.〔加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保存〕FABCDE（1）FGBACED（2）相信自己是最棒的！SRQPEDCBA7.AD是ΔABC的高，BC=60cm，AD=40cm，求图中小正方形的边长.ACBD(6)ACBD(5)DCBA(4)ACBD(3)DCBA(1)ACBD(2)8.判断：(1)一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形的周长也扩大为原来的5倍

()(2)一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个四边形的面积也扩大为原来的9倍

()√×10.

连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______，面积比等于_____.1:21:49.在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，AP，DQ是中线，假设AP＝2，那么DQ的值为()A．2B．4C．1D.C11.两个相似三角形对应的中线长分别是6cm和18cm，假设较大三角形的周长是42cm，面积是12cm2，那么较小三角形的周长____cm，面积为____cm2.1412.如图，这是圆桌正上方的灯泡(点A)发出的光线照射桌面形成阴影的示意图，桌面的直径为1.2米，桌面距离地面为1米，假设灯泡距离地面3米，那么地面上阴影局部的面积约为多少(结果保存两位小数)？ADEFCBH解：∵FH=1米，AH=3米，

桌面的直径为1.2米，

∴AF=AH－FH=2(米)