第四章基本平面图形

第四章基本平面图形1.通过丰富的实例,认识线段、射线、直线、角等简单平面图形.2.能用符号表示角、线段;理解与多边形和圆有关的概念.3.会进行线段或角的比较,能估计一个角的大小,认识度、分、秒,会进行角的单位换算.4.初步培养学生的识图能力、语言表达能力及逻辑思维能力.1.经历观察、测量、折叠、模型制作等活动,发展空间观念.2.经历在操作活动中探索图形性质的过程,了解简单图形的性质,发展有条理的思考与表达能力.1.培养学生自主学习、主动参与、主动交流合作的意识和能力,在小组合作交流活动中互相激发灵感,取长补短,培养学生团结合作的学习精神.2.在探讨问题的过程中,提高学生动脑、动手能力,提高学生分析问题和解决实际问题的能力,从而树立学习数学的信心.本章首先接触的是简单的平面图形——线段和角,重点学习这两种平面图形的表示、度量和比较,由于线段和角有许多相似之处,因此教学中可指导学生类比线段学习角,在解决完这两种基本图形的基础上,又认识了多边形和圆.线段和角是几何图形中的基本元素,多边形和圆的初步认识是以后深化多边形和圆的学习的基础.因此本章知识在几何中占据基础性的地位,对于以后的学习具有重要的铺垫作用.教材在编排上力求使学生通过观察、操作、归纳等方法,从现实背景中抽象出有关的几何图形,进而研究它们的性质.在研究的同时,初步体验学习几何的基本方法,获得初步的数学活动经验,因此本章无论在知识上还是在学法上都具有积极的引导作用.本章内容是学习平面几何知识的入门知识.通过本章内容的学习,学生能理解、掌握平面中线段、直线、射线、角、多边形和圆等最简单、最基本的概念,掌握这些基本概念的表示方法以及它们的一些简单而直观的性质.教材在设计上注重通过现实的几何图形进行引导,利于学生对各种几何概念的直观意义的理解,有助于学生从具体到抽象、从特殊到一般地认识和理解有关的几何概念.对于学到的基本平面图形知识还原到生活中去,增强学生应用数学的意识.【重点】线段、射线、直线、角的概念及表示方法;线段、角的度量及大小比较;多边形和圆的有关概念.【难点】运用有关的性质进行合理描述,并会解决实际问题;会根据图形的相关性质进行有条理的思考和表达.1.现实中的几何实例与数学中的几何对象是具体和抽象、特殊和一般的关系,在实际教学中,如何引导学生从具体的实例中抽象出事物的一般性,是教学中的一个难点,这方面的处理是否得当直接关系到学生能否准确地理解数学中的各种几何概念.2.几何量的度量是几何中基础而重要的问题,是培养学生准确的几何观念的重要内容.教师通过让学生使用直尺、三角板、量角器和圆规等常用的数学工具,培养学生严谨的科学态度和基本的使用工具的能力,对于学生在日常生活中使用其他工具解决实际问题也很有帮助.3.几何知识应该在几何的实际背景中讲授.本章内容包含了大量的生活实例,有利于学生克服数学中抽象而形式化的困难,对学生准确理解并掌握几何概念以及一些简单性质十分有利.4.在教学中,应该鼓励学生通过观察、思考、实践和归纳等活动,理解和掌握本章的主要内容.教师要避免单纯地讲授知识,应该多留给学生实践和思考的时间.5.本章知识主要是一些基本的几何概念和它们的简单性质,在教学过程中多鼓励学生将每一个概念和性质与生活中的具体实例联系起来,这样有利于学生更好地理解和掌握有关知识,又能够进一步培养学生理论联系实际的学习习惯.1线段、射线、直线1课时2比较线段的长短1课时3角1课时4角的比较1课时5多边形和圆的初步认识1课时本章概括整合1课时1线段、射线、直线1.通过图形理解并区别线段、射线、直线的概念.2.能够准确地画出线段、射线和直线.3.认识点和线之间的关系.通过让学生举出生活中的实例,从中抽象出线段、射线以及直线的几何模型,使学生能够理解三种线之间的区别和联系,掌握它们各自的表示方法.1.体会数学是如何将现实中具有相同特性的一类事物抽象出其本质属性,然后通过数学语言表示出来的过程.2.认识到一个事物表示方法的不唯一性;通过作图养成严谨的治学态度.3.了解曲线和直线之间的辩证关系,认识图形世界的丰富多彩,培养学生的审美观.【重点】1.理解并掌握线段、射线、直线的概念以及它们之间的区别.2.掌握线段、射线、直线的表示方法.【难点】1.能够从实例中抽象出线段、射线和直线的模型.2.能准确地画出线段、射线和直线.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】预习教材P106~107.导入一:[过渡语]丰富的图形世界是由一些简单的图形构成的,观察图片,你能“看到”哪些平面图形?除了图中的情形外,你还能举出其他的例子吗?活动内容用多媒体出示一组生活中的图片,有绷紧的琴弦、手电光束、笔直铁轨、筷子图、人行横道.让学生观察.师:你们能在其中发现我们所熟知的几何图形吗?[处理方式]自由发言,认识到线段、射线、直线在生活中是普遍存在的.[设计意图]利用生活中的情境,激发学生的学习兴趣,让学生感受从实际问题中抽象出所要了解的图形的过程,同时在解答问题中形成认知冲突,激发学生的学习热情.根据学生的回答,有的不完全是教师想要的线段、射线和直线,教师可用一些过渡的语言点拨,我们今天的研究和学习就从其中最简单的图形——线段、射线、直线开始.(教师板书课题:1线段、射线、直线)导入二:师:《西游记》这部电视剧同学们看过吗?生:看过.师:在这部电视剧中给你们留下深刻印象的人物是谁?生:孙悟空.师:下面我们一起来欣赏一段《西游记》中的精彩片段.(学生看视频)师:通过刚才的视频短片,我们感受到了金箍棒的神奇.孙悟空手中的金箍棒在没有发生变化时,给我们以什么样图形的近似形象?生1:圆柱.生2:线段.师:当金箍棒向一个方向无限延长,又给我们什么样图形的近似形象?生:射线.师:当金箍棒向两个方向无线延长,又能给我们什么样图形的近似形象?生:直线.师:其实在我们的身边、在我们的日常生活中,很多物体也能给我们这样的近似形象,我们来看一组生活中的图片.(出示图片)师:绷紧的琴弦、霓虹灯发出的灯光、笔直的铁轨分别给我们什么样图形的近似形象?生:线段、射线、直线.师:我们在小学里已经初步学习了线段、射线、直线,从今天开始让我们共同走进平面图形的世界,本节课将要和同学们一起进一步研究线段、射线、直线.(教师板书课题:1线段、射线、直线)[设计意图]利用《西游记》中的精彩视频以及生活中熟知的情境图片给学生展现了线段、射线、直线的近似形象,使学生感受生活中所蕴含的图形,既活跃了课堂气氛,也激发了学生的学习兴趣.让学生感受从实际问题中抽象出所要了解的图形的过程,同时在解答问题中形成认知冲突,激发学生的学习热情,将学生的注意力迅速转移到课堂.探究活动1生活中的线段、射线和直线[过渡语]生活离不开数学,数学来源于生活.以上美丽的图片中也包含着我们的数学知识.从下面的三幅图片中,你能观察出它们哪些部分分别可以近似地看作我们小学学过的线段、射线和直线?[处理方式]学生观察思考,绷紧的琴弦可以近似地看作线段,探照灯射出的光线可以近似地看作是射线,笔直的铁轨可以近似地看作直线,立足现实背景呈现线段、射线、直线的概念.[设计意图]以学生熟知的现实生活为背景,让学生充分感受生活中所蕴含的三种基本的几何图形,立足现实背景呈现线段、射线、直线的概念,激发学生的好奇心.探究活动2线段、射线、直线的概念及表述方法思路一让学生动手在练习本上尝试画线段、射线和直线.议一议:认真观察所画的线段、射线和直线,合作探索这三种线的特征,并用自己的语言叙述出来,然后根据自己的探索和教材第106页的图4-1,4-2,4-3的提示,总结出线段、射线和直线的表述方法.生1:绷紧的琴弦、人行横道线都可以近似地看作线段.生2:线段包括它的两个端点,线段不能无限延伸,因此可以度量,但可以向两个方向延长.生3:画线段时要画出两个端点,且不能超出两个端点之外.生4:将线段向一个方向无限延长就形成了射线.射线虽然有一个端点,但它可以向另一个方向无限延伸,所以它没有长短,因此不可以度量.画射线要画出一个端点,且向一方延伸.生5:将线段向两个方向无限延长就形成了直线.直线没有端点,不可以度量.画直线时可以画一条直的线或在线上标注两个点给人以无限延伸的形象.[设计意图]在具体的情景中理解线段、射线、直线的定义,并了解线段、射线、直线的画法.思路二问题:在数学里,我们常用字母表示图形.一个点可以用一个大写字母表示,如图“·”,这个点可以表示成点A,那么一条线段、一条射线、一条直线又该怎样表示呢?请同学们自主学习线段、射线、直线的表述方法.(教材第106页)[处理方式]学生自主学习,用自己的语言总结、叙述线段、射线、直线的表述方法,教师补充并借助多媒体.(1)线段的图形及表示方法.用两个端点的大写字母来表示,或用一个小写字母表示,如图(1)所示,可以写成线段AB、线段BA、线段a.(2)射线的图形及表示方法.射线的表示:用它的端点和射线上的另一点来表示,如图(2)所示,可以写成射线AB.同时注意引导归纳:这两个点的排列顺序不能互相交换,表示端点的字母必须写在另一个字母的前面,也不能用一个小写字母表示.(3)直线的图形及表示方法.用直线上的两个点来表示或用一个小写字母来表示,如图(3)所示,可以写成直线AB、直线BA、直线l.探究活动3从生活中寻找线段、射线、直线生活中,有哪些物体可以近似地看作线段、射线、直线?学生讨论后举例子,如:吃饭的筷子、铅笔给我们以线段的形象;手电筒、激光笔射出的光线都给我们以射线的形象;高速路上的白色实线等给我们以直线的形象.[设计意图]让学生充分交流,丰富线段、射线、直线的生活背景,进一步巩固所学的线段、射线、直线的知识,并从中使学生感受现实生活中含有大量的数学信息,提高学习兴趣,培养学生分析、解决问题的能力.探究活动4线段、射线、直线的区别思路一观察图形,你能发现直线、射线、线段的联系和区别吗?图形名称图形表示方法端点个数延伸性能否度量线段线段a线段AB线段BA2个不能延伸可度量射线射线OA1个向一方无限延伸不可度量直线直线l直线AB直线BA无端点向两个方向无限延伸不可度量注意:射线的端点字母要放在前面,用一个字母表示线段、直线时要用小写字母.[设计意图]让学生自己总结归纳,通过比较直线、射线、线段的联系和区别,加深学生理解线段、射线、直线的概念,以及它们的区别与联系,进一步发展学生抽象概括的能力.思路二填写表格:图形名称图形表示方法端点个数延伸性能否度量线段射线直线[处理方式]学生积极思考,与同伴交流、合作探索,教师巡视,留意学生合作交流的情况,适时指导,对学生的回答做出积极评价,同时借助多媒体给出的表格寻求线段、射线、直线的区别和联系.猜猜看:你能说出下列谜语的谜底吗?(1)有始有终——打一线的名称.(2)有始无终——打一线的名称.(3)无始无终——打一线的名称.[设计意图]让学生主动参与活动、参与数学概念、数学思维的形成过程.感受线段、射线、直线的区别与联系,最后举例加以验证,有利于培养学生的归纳、比较、抽象、概括等能力.有趣的谜语增强了学生的感性认识,有助于学生进一步认识和记忆三线的概念.巩固练习(一)请用两种方式分别表示出右图中的两条直线,点O是两条直线的公共点.根据直线的两种表示方法可以表示为:直线BO或直线m,直线AO或直线n.[设计意图]巩固直线、射线、线段的表示方法,训练图形语言与文字语言的相互转化.探究活动5直线的性质出示问题:做一做.(1)过一个点A可以画几条直线?(2)过两点A,B可以画几条直线?(3)如图所示,如果将一根细木条固定在墙上,至少需要几个钉子?它的依据是什么?分析:过一个已知点可以画无数条直线,过两个已知点可以画出直线但只能画一条直线.[处理方式]引导学生动手画图,自主思考,相互讨论,描述从操作中所发现的结论,与学生共同总结直线性质并板书“经过两点有且只有一条直线”.注意:(1)“有”表示存在性,“仅有”表示唯一性.(2)直线的性质还可以说成“两点确定一条直线”.[设计意图]学生通过动手画图,培养几何作图能力,并在作图过程中发现直线的某些性质.巩固练习(二)如右图所示,木匠师傅锯木料时,一般先在木料上画出两个点,然后过这两点弹出一条墨线,这是为什么?生:根据直线的基本性质“经过两点有一条直线,并且只有一条直线”,经过木料上画出的两个点能弹出一条笔直的墨线,而且只能弹出一条这样的墨线.师:请你举出一个能反映“经过两点有且只有一条直线”的实例.生1:射击时,目标在准星和缺口确定的直线上.生2:耕完地以后打畦田,先由两头确定直线,再画石灰线.生3:建筑工地垒墙时要挂线.[设计意图]给学生足够的时间,并鼓励他们积极思考,使学生联系实际,达到学以致用的目的.探究活动6拓展探索,实现创新出示问题:通过画图分析,填空.(1)当直线a上标有一个点时,可得到条射线,条线段;(2)当直线a上标有两个点时,可得到条射线,条线段;(3)当直线a上标有三个点时,可得到条射线,条线段;(4)当直线a上标有四个点时,可得到条射线,条线段;(5)当直线a上标有n个点时,可得到条射线,条线段.分析:借助图形探索规律,可得:当直线a上标出一个点时,可得到2=2×1条射线,0条线段;当直线a上标出两个点时,可得到4=2×2条射线,1条线段;当直线a上标出三个点时,可得到6=2×3条射线,3=1+2条线段;当直线a上标出四个点时,可得到8=2×4条射线,6=1+2+3条线段;当直线a上标出n个点时,可得到2n条射线,n(n[设计意图]通过“数线段”的活动,拓宽学生的思路,提高学生的思维能力,引发学生将一些生活问题转化为数学问题来思考.[知识拓展]1.线段无粗细之分,有两个端点.理解线段的概念要掌握它的三个特征:直的、有两个端点、可以度量.2.射线:将线段向一个方向无限延长就形成了射线.手电筒、探照灯等射出来的光线可以近似地看成射线.射线的特点:直的、有一个端点、向一方无限延伸.3.直线:将线段向两个方向无限延长就形成了直线.直线的特点:直的、没有端点、向两方无限延伸.4.经过两点有且只有一条直线,可以简述为:两点确定一条直线.“有且只有”中的“有”表示存在性,“只有”表示唯一性,“确定”与“有且只有”的意义相同.1.线段、射线、直线的概念.2.线段、射线、直线的表示方法.3.直线的性质:(1)两条直线相交,只有一个交点.(2)经过两点有且只有一条直线,可以简述为:两点确定一条直线.1.手电筒射出来的光线给我们的形象是 ()A.线段B.射线C.直线D.折线解析:手电筒射出来的光线是向一方无限延伸的,只有射线符合这个特点.故选B.2.经过A,B,C三点的任意两点,可以画出的直线条数为 ()A.1或2 B.1或3C.2或3 D.1或2或3解析:当三点在同一条直线上时,可以画出一条直线;当三点不在同一条直线上时,可以画出三条直线,故选B.3.线段有个端点,射线有个端点,直线端点.解析:线段有两个端点,射线有一个端点,直线没有端点.答案:两一没有4.在直线l上取三点A,B,C,共可得条射线,条线段.解析:从直线上的一点向两方取射线可以得到2条,三个点可以得到6条射线,3条线段.答案:635.要把木条固定在墙上至少需要钉个钉子,依据是.解析:由两点确定一条直线可知至少需要两个钉子.答案:两两点确定一条直线1线段、射线、直线1.线段2.射线3.直线4.线段、射线、直线的区别与联系一、教材作业【必做题】教材第108页习题4.1的1,2题.【选做题】教材第108页习题4.1的3,4题.二、课后作业【基础巩固】1.如图所示,下列不正确的几何语句是 ()A.直线AB与直线BA是同一条直线B.射线OA与射线OB是同一条射线C.射线OA与射线AB是同一条射线D.线段AB与线段BA是同一条线段2.如图所示,观察图形,下列说法正确的个数是 ()①直线BA和直线AB是同一条直线;②射线AC和射线AD是同一条射线;③三条直线两两相交时,一定有三个交点.A.1 B.2 C.3 D.0【能力提升】3.已知点B,C在线段AD上,下图中以A为一个端点的线段有几条?以B为一个端点的线段有几条?以C为一个端点的线段有几条?以D为一个端点的线段有几条?图中共有多少条线段?请分别表示出来.4.如图所示,A,B,C,D四个图形中各有一条射线和一条线段,它们能相交的是 ()【拓展探究】5.按要求作图:如图所示,在同一平面内有四个点A,B,C,D.①画射线CD;②画直线AD;③连接AB;④画直线BD与直线AC相交于点O.6.阅读下表:线段AB上的点数n(包括A,B两点)图例线段总条数y33=1+246=1+2+3510=1+2+3+46解答下列问题:(1)在表中空白处分别画出图形,写出线段总条数;(2)猜测线段总条数y与线段上的点数n之间有什么关系;(3)当n=10时,计算y的值.【答案与解析】1.C(解析:射线OA与射线AB不是同一条射线,因为端点不同.)2.B(解析:①直线BA和直线AB是同一条直线,正确;②射线AC和射线AD是同一条射线,都是以A为端点,同一方向的射线,正确;③三条直线两两相交时,一定有三个交点,错误,也可能只有一个交点.所以共有2个正确的.故选B.)3.解:3条,分别是线段AB,AC,AD;3条,分别是线段BA,BC,BD;3条,分别是线段CA,CB,CD;3条,分别是线段DC,DB,DA.图中共有6条线段,分别为线段AB,AC,AD,BC,BD,CD.4.C(解析:直线的特点是两端都没有端点、可以向两端无限延伸;射线是有一个端点,向一端可以无限延伸;线段是有限的长度,不能无限延伸,可以测量.故选C.)5.解:如图所示.6.解析:当n=3时,线段总条数3=1+2=3×(3-1)2;当n=4时,线段总条数6=1+2+3=4×(4-1)2;当n=5时,线段总条数10=1+2+3+4解:(1)图形如图所示,线段总条数为15=1+2+3+4+5.(2)y=n(n-1)2.(3)当n=10时,在这次教学活动中,利用多媒体为学生创设了生动、直观的活动情景,充分调动了学生的学习积极性.采用了探究式教学模式,充分发挥了学生的主体作用,体现了学生自主学习、合作学习、探究学习、操作学习的数学学习策略,使学生真正成为课堂的主人.在设计中没有关注学生的人文价值和情感态度,没有及时鼓励学生的积极参与与探究的信心.教师及时参与到学生的学习小组,发现问题并及时解决问题.随堂练习(教材第107页)1.解:例如:栽树时只要确定两个树坑的位置,就能确定一行树坑所在的直线.2.提示:选择的字母不同,表示就不同.习题4.1(教材第108页)1.解:直线AO或直线n;直线OB或直线m.2.解:如图所示.3.解:经过两点有且只有一条直线.4.解:(1)如图(1)所示,为叙述方便,可以给原图的7根火柴棒编上号,分别去掉原图的火柴棒①②③④⑦,②⑤,②③,①③④,③⑥,⑥,②③④⑦,③,⑦,就可以摆出1,2,3,4,5,6,7,9,0九个数字.(2)如字母B可以用如图(2)所示的图形表示,其他略.教法:采用让学生自学、回顾、探究、反思、自评的教学方式,让学生的主体地位得到充分体现;从学生好奇、好学、好问、好动手等心理特点出发,通过作图、问答反思等方式充分暴露学生的思维;同时结合学生的生活经验,把理论与实际的应用合为一体,帮助学生在学习的过程中理解、掌握新知识,提高他们的自学能力和解决实际问题的能力.学法:引导学生主动探索,发现问题;互动合作,解决问题;归纳概括,形成能力.指出图中线段、射线、直线分别有多少条,并把线段表示出来.〔解析〕数线段时从一端数,不回头;数射线时找端点,一个端点两条射线.解:线段有3条,分别为线段AB,线段AC,线段BC.射线有6条.直线有1条.〔解题策略〕引导学生回想前面所学线段、射线、直线表示方法的区别与联系,说一说怎样表示线段、射线、直线,然后让学生完成本道题的回答,最后教师提问、点拨怎样数线段、射线、直线.2比较线段的长短1.直观理解两点之间线段最短的性质.2.能够用圆规画一条线段与已知线段等长.3.利用直尺和圆规等简单工具比较两条线段的长短.学生通过自主学习,在生活经验中获得知识,并通过实际操作掌握正确的作图方法.1.感受数学无处不在.2.使用工具解决数学问题的意识和能力.【重点】1.在观察和实践的基础上认识“两点之间线段最短的性质”.2.会使用直尺和圆规比较两条线段的长短.【难点】1.使用圆规进行作图.2.使用直尺等工具比较两条线段的长短.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】预习教材P110导入一:[过渡语]同学们,老师今天想考考你们的眼力如何?看看谁具有一双慧眼.问题1如图所示,从A地到B地共有五条路,小红应选择第条路最近.生:选择第③条路最近.师:你具有一双慧眼,根据生活经验,可以发现“两点之间的所有连线中,线段最短”,我们把这一事实简述为“两点之间,线段最短”,把两点之间线段的长度叫做两点之间的距离.问题2图中两条线段a与b的长度谁长谁短?生1:a长.生2:一样长.师:看来这个问题挺有迷惑性哦,实际上a与b的长度一样长,在现实生活中有很多事情我们不能光凭直觉,还需要用事实来说明,今天老师将和同学们一起来学习有关比较线段长短的方法.[设计意图]问题1通过对寻找最短路径的设计引出线段的性质及两点之间距离的概念,问题2的设计主要是想让学生明确数学的严谨,不能只通过眼睛来看问题,从而引出比较线段长短的必要性.导入二:师:什么叫线段、射线和直线?它们之间的联系和区别是什么?让学生观察如图所示的图片(多媒体出示图片),并回答两点之间什么最短.[处理方式]第1问学生口述,第2问由第1问作为基础,这时教师要恰当引导,以问题的形式提示,例如:这样做好不好?不好,为什么还要这样做?这其中蕴含着怎样的数学道理?“抄近路”就是运用两点之间线段最短的原理,学生会很快接受这个道理.学生容易发现结论:两点之间的所有连线中,线段最短,可以简述为:两点之间线段最短.教师适时补充定义:两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离.[设计意图]利用生活中可以感知的新闻情境,极大激发学习兴趣,使学生感受生活中所蕴含的数学道理.学生水到渠成知道两点之间线段最短,并学习两点间的距离的定义.探究活动1探究性质“两点之间线段最短”出示问题:如图所示,从A地到C地有四条路,哪条路最近?[处理方式]点名让学生选择自己要走的路,从A到C地的四条路中,一般地,人们会走中间的直路,而不会走其他曲折的路,如果把这些路看成各种形状的线,显然线段AC最短,进而引导学生得出结论:两点之间的所有连线中,线段最短.可以简述为:两点之间线段最短.[设计意图]学生通过观察得出结论,增强对图形的直观体验,感受到发现的乐趣,从而产生学习数学的成就感.从上面的例子中可以发现线段AC最短,我们把两点间线段的长度叫做两点之间的距离.那么线段AC的长度就是A与C两点之间的距离.两点间的距离是长度,是一个数量,而不是线段图形本身.跟踪练习小狗、小猫为什么都选择直的路?[处理方式]学生一定会给予肯定的回答,重点引导学生解释原因:两点之间线段最短.[设计意图]通过学生喜欢的漫画增强对知识的理解与应用.思路一活动内容教材议一议的内容.问题1怎样比较两棵树的高矮?怎样比较两根铅笔的长短?怎样比较窗框相邻两边的长?问题2在黑板上画出两条线段,同时让学生在草稿纸上画出两条线段,让学生思考、讨论比较方法.[处理方式]先在具体问题中设问,让学生自由发言,使他们在解答问题中形成认知冲突,激发学生的解决问题的热情.然后教师点明课题:把两棵树的高度、两根铅笔的长、窗框相邻两边的长看成两条线段,怎么比较它们?[设计意图]利用生活中可以感知的情景,极大激发学习兴趣,使学生感受生活中所蕴含的数学道理.让学生感受从实际问题中抽象出所要比较的线段大小的过程.动手实践:怎样比较下面两条线段的长短呢?图(1)将线段AB移到线段CD上,使线段AB的端点A与线段CD的端点C重合,若端点B与端点D重合,则得到线段AB等于线段CD,可以记为AB=CD.图(2)将线段AB移到线段CD上,使线段AB的端点A与线段CD的端点C重合,若端点B落在线段CD上,则得到线段AB小于线段CD,可以记作AB<CD.图(3)将线段AB移到线段CD上,使线段AB的端点A与线段CD的端点C重合,若端点B落在线段CD外,则得到线段AB大于线段CD,可以记作AB>CD.重叠比较法:将两条线段的各一个端点对齐,另外两点在重合点的同侧,再看另一个端点的位置.[设计意图]学生通过亲身实践,感受知识的形成过程,培养学生的动手、动脑、动口能力.学生归纳两条线段的长短关系,进而向学生渗透分类的思想.跟踪练习如图所示,比较折线AB和线段CD的长短,你有什么方法?需要什么工具?[处理方式]让学生独立思考完成,找学生代表回答并演示.生:我可以用度量法,折线AB可以一段一段地测量然后相加,线段CD可以直接测量,就可以比较长短了.所以我只需要刻度尺就可以了.我还有一种方法,利用圆规把折线一段一段放到线段CD上就可以比较了.所以我只需要圆规就可以了.[设计意图]开拓学生思维,学以致用,顺其自然地过渡到用尺规作一条线段等于已知线段.思路二活动内容怎样比较两条线段的长短?方法一:测量法(工具:可用刻度尺).教师利用多媒体演示.方法二:叠合法(工具:可用圆规).教师利用多媒体演示.度量法:即用一把刻度尺量出两条线段的长度,再进行比较,如图所示.4.1cm>3.1cm叠合法:起点对齐,看终点.(1)如果点B与点D重合,记作AB=CD,如图(1)所示.(2)如果点B在线段CD的延长线上,记作AB>CD,如图(2)所示.(3)如果点B在线段CD上,记作AB<CD,如图(3)所示.[处理方式]先单独完成,然后小组汇报讨论结果,师生共同完善,形成方法:方法一,用刻度尺分别量出线段AB和线段CD的长度,再将长度进行比较.方法二,把线段AB,CD放在同一直线上比较,步骤有三:一,将线段AB的端点A与线段CD的端点C重合;二,将线段AB沿着线段CD的方向落下;三,若端点B与端点D重合,则得到线段AB等于线段CD,可记作:AB=CD,若端点B落在线段CD上,则得到线段AB小于线段CD,可记作:AB<CD,若端点B落在线段CD的延长线上,则得到线段AB大于线段CD,可记作:AB>CD.说明:如果两条线段的长短相差很大,就可以直接观测进行比较.[设计意图]师生交流并归纳出线段长短的比较方法,教师用多媒体演示比较过程,先让学生动手操作,独立完成,更能加深学生的体会,这样的设计能让学生体会方法的获得过程.应关注全体学生,充分调动他们的积极性,让他们广泛参与、积极主动地学习.探究活动2探索作一条线段等于已知线段(尺规作图)尺规作图:只用没有刻度的直尺和圆规画图称为尺规作图.示范作图:同学们对比较线段长短的方法掌握得很好,下面我们一起探究一下如何用圆规作一条线段等于已知线段.演示画法:如图所示,已知线段AB,①先作一条射线A'C';②用圆规量取已知线段AB的长度;③在射线上截取A'B'=AB,线段A'B'就是所求的线段.跟踪练习已知线段a,b,画一条线段c,使它的长度等于a+b.[设计意图]这里是学生第一次应用直尺、圆规进行基本作图,必须予以充分重视.首先要教学生正确地使用圆规,然后要求学生明确对作图工具的规定,作完图要标注字母,写出结果.探究活动3探索中点的概念及应用思路一[过渡语]同学们如何找到一条绳子的中点呢?[处理方式](拿出准备好的绳子)这个很简单,对折一下就可以得到中点了.学生可以有多种方法,激发学生的创新思维.[设计意图]学生通过游戏,抽象出线段的中点.学生从玩过的游戏中学到线段中点的有关知识,既降低了学习知识的难度,又激发了学生学好数学的信心.出示问题:谁可以描述一下中点的概念呢?(对照图形,如图所示)你是否可以把他们之间的关系表示出来呢?点M把线段AB分成相等的两条线段AM和BM,点M是线段AB的中点.板书AM=MB=12AB或AB=2MB=2AM[设计意图]通过游戏将抽象的问题简单化,揭示了线段中点的主旨,又将简单的问题公式化,使知识得到升华,培养了学生分析问题的能力.思路二师:如图所示,在图中,点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM,则点M叫做线段AB的中点.若M是线段AB的中点,则AM,BM,AB间有怎样的数量关系?生1:AM=BM=12生2:AB=2AM=2BM.师:若AM=BM=12AB,则说明什么问题生3:M是线段AB的中点.师:若AB=3cm,你能求出其他两条线段的长吗?生4:因为M是线段AB的中点,所以AM=BM=1.5cm.师:若AM=2cm,你能求出其他两条线段的长吗?生5:因为M是线段AB的中点,所以BM=2cm,AB=4cm.师:如果M不是线段AB的中点,是否还具有这样的性质呢?生6:不具有.师:这是中点特有的性质,所以同学们在利用中点求线段的长度的时候一定要看清楚条件.知识应用,巩固提高(教材做一做)如图所示,在直线l上顺次取A,B,C三点,使得AB=4cm,BC=3cm,如果O是线段AC的中点,那么线段OB的长度是多少?解:因为AB=4cm,BC=3cm,所以AC=AB+BC=7cm.因为点O是线段AC的中点,所以OC=12AC=3.5cm所以OB=OC-BC=3.5-3=0.5(cm).答:线段OB的长为0.5cm.[设计意图]进一步巩固中点概念,熟练应用中点进行解题,注意数形结合及分类思想.[知识拓展]1.两点之间的连线,可能是笔直的,也可能是弯曲的,在这些线中,笔直的线(即连接两点的线段)是最短的.2.两点间的距离是指线段的长度,是一个数,而不是线段本身,线段本身是一个图形.3.比较两棵树的高度、两支铅笔的长短实质都是比较两条线段的长短,比较两条线段的长短的方法一般为度量法和叠合法.1.线段的基本性质:两点之间线段最短.2.两点之间的距离:两点之间线段的长度.3.线段的两种比较方法:叠合法和度量法.4.线段的中点的概念及表示方法.1.把弯路改成直路,就能够缩短行程,其道理用几何知识解释为.答案:两点之间线段最短2.点A,B,C在同一直线上,AB=4cm,BC=7cm,则AC的长为.答案:11cm或3cm3.如图所示,AB=8cm,AC=13cm.设点E,F分别是线段AB,AC的中点,求线段EF的长.解:因为F是线段AC的中点,所以AF=12AC=132又因为E是线段AB的中点,所以AE=12AB=4cm所以EF=AF-AE=132-4=52(cm所以EF的长为52cm4.如图(1)所示,已知线段a,b,c,用尺规作图作一条线段l,使l=2a+b-c.解:如图(2)所示,线段AC即是所求作的线段.2比较线段的长短1.线段的性质:两点之间线段最短2.两点之间的距离3.比较线段长短的方法(1)度量法(2)叠合法一、教材作业【必做题】教材第112页习题4.2的1,2题.【选做题】教材第113页习题4.2的3,4题.二、课后作业【基础巩固】1.如图所示,从A到B有3条路线,最短的路线是③,理由是 ()A.因为③是直的 B.两点确定一条直线C.两点间距离的定义 D.两点之间线段最短2.下列说法正确的是 ()A.两点之间的连线中,直线最短B.若P是线段AB的中点,则AP=BPC.若AP=BP,则P是线段AB的中点D.两点之间的线段叫做两点之间的距离3.已知A,B两点之间的距离是10cm,C是线段AB上的任意一点,则AC中点与BC中点间的距离是()A.3cm B.4cm C.5cm D.不能计算4.如图所示的四条线段中,最短的一条线段是()A.a B.b C.c D.d【能力提升】5.已知两条线段的差是10cm,这两条线段的长度比是2∶3,求这两条线段的长.6.(1)如图所示,图中共有几条线段?分别表示出这些线段;(2)若CB=4cm,AB=10cm,且D是AC的中点,求AD的长.【拓展探究】7.已知线段AD=6cm,BD=2cm,C是线段AD的中点,AD,BD在一条直线上,求线段BC的长度.【答案与解析】1.D(解析:两点之间的所有连线中,线段最短.简述为:两点之间线段最短.故选D.)2.B(解析:选项A中,两点之间的连线中,直线最短,错误;选项C中,若AP=BP,则P是线段AB的中点,错误;选项D中,两点之间的线段叫做两点之间的距离,错误.故选B.)3.C(解析:∵AC+BC=AB,∴AC的中点与BC的中点间的距离=12AB=5cm.故选C.4.B(解析:采用度量法或叠合法,能得出正确结果为B.)5.解:设这两条线段的长度分别为2xcm和3xcm,则3x-2x=10,解得x=10,所以2x=20,3x=30.答:这两条线段的长度分别为20cm和30cm.6.解:(1)有6条线段,分别是:AD,AC,AB,DC,DB,CB.(2)∵CB=4cm,AB=10cm,∴AC=AB-CB=10-4=6(cm),∵D是AC的中点,∴AD=12AC=12×6=3(cm7.解:如图(1)所示,因为AD=6cm,C是线段AD的中点,所以CD=12AD=3cm,又BD=2cm,所以BCCD-BD=3-2=1(cm);如图(2)所示,因为AD=6cm,C是线段AD的中点,所以CD=12AD=3cm,又BD=2cm,所以BC=CD+BD=3+2=5(cm).所以BC=1cm或5cm学生成功地正确理解两点之间的距离和线段的中点的概念;能用直尺和圆规作一条线段等于已知线段;能用直尺、圆规等工具比较两条线段的长短.在理解两点之间的距离的过程中,用比较具体的事物、事实为依据,知识的形成水到渠成,知识运用得准确灵活,让学生直观的认识,学生接受起来就比较容易、轻松.学生的创新思维没有得到提高,部分学生的学习积极性不高,对利用线段的中点求解线段的长度掌握得不好.与学生之间的互动与交流要加强,要鼓励学生,发现他们的闪光点,给他们信心,让他们能够自主地融入课堂,快乐地学习.要注意渗透数形结合的思想,这对学生的学习非常有益.随堂练习(教材第112页)1.解:比较的方法有多种,例如,测量、用圆规截取、借助细线等.习题4.2(教材第112页)1.解:(1)线段AB比线段CD短;(2)线段AB比线段CD短;(3)从短到长依次为线段CD、线段AD、线段BC、线段AB.2.解:如图所示.(1)作射线AM.(2)以点A为圆心,以a长为半径作弧交AM于点B.(3)以点B为圆心,以b长为半径画弧,交射线BM于点C.则线段AC即为所求.3.解:如图所示,AC=4cm,BD=6cm,CD=8cm.4.解:原四边形的周长大,因为两点之间线段最短.如果是一个五边形或一个六边形,结论仍然成立.将数形结合的思想渗透给学生,使学生对数与形有一个初步的认识,为将来的学习打下基础,它为学生的思维开拓了一个新的天地,不应只是教给学生比较线段的方法,而要从数形结合的高度去认识.在教知识的同时,教给学生一种很重要的数学思想.如图所示,已知线段AD=10cm,线段AC=BD=6cm,E,F分别是线段AB,CD的中点,求EF的长.解:因为AD=AC+CD=AC+(BD-BC)=AC+BD-BC,又因为AD=10cm,AC=BD=6cm,所以10=6+6-BC,所以BC=2cm,所以AB=CD=4cm,因为E,F分别是线段AB,CD的中点,所以EB=12AB=2cm,CF=12CD=2所以EF=EB+BC+CF=2+2+2=6(cm).3角1.从现实生活中认识和形成角的概念.2.认识度、分、秒的概念,能够进行简单的度、分、秒之间的换算.3.掌握角的表示方法,能够使用量角器对角度进行测量.从丰富的现实生活中观察并抽象出角的数学模型,在学习角的表示和测量中形成角度的正确观念.1.认识生活中无处不在的角度的实例,感受学习数学的乐趣.2.经历从特殊到一般、从具体到抽象的概念的形成过程,培养数学建模的思想.【重点】1.角的概念及其表示方法.2.度、分、秒的概念和角度在不同单位之间的相互转换.【难点】正确使用量角器进行角度的测量.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】预习教材P114导入一:[过渡语]同学们,通过以上几节课的学习,我们认识了几种简单的几何图形:直线、射线和线段,而通过小学阶段的学习我们对角也有了初步的认识.你能在下列图片中找到角吗?多媒体展示:[处理方式]学生观察图片并用自己的语言表述图片中的角,教师再通过多媒体用不同的线将角标记出来.[设计意图]通过观察生活中含有角的图片的实例吸引学生,激发学生的学习兴趣,增强学生对角的直观感受.导入二:[过渡语]前几节我们具体研究了小学时初步认识的直线、射线、线段.另外,我们还认识了另一种几何图形——角.你能说出几个日常生活中给我们角的形象的物体吗?师:我们已经学习过角,对角有了一定的了解,观察图形,你能在下图中找出并画出角吗?[处理方式]学生通过观察加上小学的基础从图形中很快就能找到角,再通过举例加深对角的认识,让他们深刻领会角是现实生活中最基本的图形.[设计意图]为了更形象、更直观,用多媒体展示一些实物图形,让学生说出日常生活中给我们角的形象的物体,充分发挥学生的想象力,培养其观察事物的习惯,同时,活跃课堂气氛,调动学生学习的积极性,也培养了学生从具体实物图形中抽象出几何图形的能力.探究活动1角的概念一(静态定义)出示问题:角在生活中无处不在,而在数学的学习中,角是如何定义的呢?构成角的要素有哪些?与角有关的概念又有哪些?用什么方法可以表示一个已知的角呢?师:带着这些问题请同学们阅读教材第114页“做一做”之前的内容.[处理方式]让学生带着问题阅读教材第114页“做一做”之前的内容.[设计意图]通过自学,培养学生对教材的领悟能力.探究活动2精析角的静态定义、与角有关的概念及角的表示方法思路一多媒体展示:(1)由两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角.两条射线叫角的边,两条射线的公共端点是这个角的顶点.(2)角的表示方法,如图所示.角的表示方法小结:①用三个大写字母表示,如∠AOB或∠BOA;②用一个大写字母表示,如∠O;③用一个希腊字母表示,如∠α;④用一个数字表示,如∠1.注意:用三个大写字母表示一个角时,顶点字母一定要写在中间;用顶点字母表示角时,以该点为顶点的角只能是一个角.[处理方式](1)先由学生回答,对于不对的地方教师要给予补充,重点内容要进行板书,教学时要引导学生关注:每个角都有两条边,这两条边都是射线;角的顶点是两条射线的公共端点;顶点、两边是构成角的两个要素.(2)让学生先自学角的表示方法,然后师生共同归纳,这样一方面节约教学时间,另外一方面加深学生的记忆,特别是一个字母或三个字母表示角易错,教师要特别强调说明.[设计意图]通过教师的讲解与强调可以弥补学生在自学中对教材理解的不足.通过师生共同的总结与归纳可以使知识更加系统、有条理.思路二角的静止观点定义的得出[过渡语]同学们请观察,角的两边是前面我们学过的什么图形?它们的位置关系如何?你能否根据自己的理解和刚才老师的提问描述一下怎样的几何图形叫做角?[处理方式]学生讨论,然后找代表回答.教师在学生回答的基础上给予纠正和补充,最后给出角的正确定义.角:有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,这个公共端点叫角的顶点,这两条射线叫角的两边.出示问题:角的大小与角两边的长短有关系吗?[处理方式]学生讨论并演示:拿大小不同的两副三角板或学生的三角板与教师的三角板对比演示.让学生尽可能地发表自己的看法和观点.教师小结:角的两边既然是射线,则可以向一方无限延伸,所以角的大小与所画角的两边长短无关,仅与角的两边张开的程度有关.[设计意图]角的定义的得出,不是教师以枯燥的形式强加给学生的,而是让学生自己在观察图形的过程中,由教师引导提出问题,步步追问,自觉地去认识.在问题解决的过程中,在复习旧知识中,不知不觉学到了新知识——角.这样缩短了新旧知识间的距离,减轻了学生心理上的压力,使他们感到新知识并不难,在轻松愉快中学到了知识.同时也会感受到新旧知识之间的联系.对发展学生用普遍联系的观点看待事物有很好的作用.角的表示方法师:研究角,像直线、射线、线段一样,可以用字母表示.下面请同学们阅读教材第114页做一做上面一自然段,总结角的表示方法有几种,你能否准确地表示一个角并读出来?[处理方式]学生阅读,相互讨论,然后归纳出角的几种表示方法.[设计意图]角的四种表示方法教材中说明得很明确,语言通俗,很易理解,学生完全可以通过阅读分出四个层次,四种表示角的方法.因此可以大胆放手,培养学生阅读理解能力、归纳总结能力.[处理方式]学生阅读后,多找几个学生回答.最后通过不断补充、完善,归纳整理得出角的四种表示方法.师生总结角的四种表示方法时,对前两种表示方法应注意的问题要加以强调.第一种表示方法必须注意:顶点字母在中间.第二种表示方法只限于顶点只有一个角.这是以后学生书写过程中最易出错的地方.另外,让学生区分角的符号与小于号.这些应注意的问题最好由学生讨论,学生发现后归纳总结.探究活动3尝试成功,感知概念活动内容做一做.(多媒体展示)(1)你能用适当的方式分别表示下图中的角吗?(2)在图②中能用∠A来表示∠BAC,∠CAD,∠BAD吗?(3)将图③中的角用不同方法表示出来,并填写下表:∠1∠3∠4∠BCA∠ABC[处理方式]先由学生独立完成,若有困难,可分组讨论交流.教师进行纠错并小结:在使用四种方法表示角时,第1种方法是我们比较常用的方法,第2种方法在使用时必须注意的是以该字母为顶点的角只有一个时才能使用,这样才能不产生误解.第3,4种方法在使用时必须先在图中标记出来再使用.[设计意图]做一做的设计是让学生进一步认识和强化对角的表示方法的学习,同时让学生充分认识到在不引起混淆的情况下,角才可以用表示顶点的字母来表示.探究活动4角的概念二(动态定义)师:同学们见过剪裁相纸的裁纸刀吗?(多媒体展示裁纸刀图片如图(1)所示)我们如果把裁纸刀的手柄看成一条射线的话,在它开合的过程中就形成了角.(同时多媒体演示射线绕端点旋转成角的动画)角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的,如图(2)所示.教师通过展示裁纸刀图片和多媒体动画演示,让学生进一步体会角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的,同时向学生说明角的始边、终边及角的内部.[设计意图]让学生感受角的动态定义,增强学生对角的认识.探究活动5特殊角及角的单位换算通过小学的学习我们已经知道:1平角=180°,1周角=360°,什么样子的角是平角?什么样子的角是周角?一个一度的角又有多大呢?把半圆分成180等份,每一份所对的角叫做一度角,记作1°.多媒体展示:如图所示,让学生感受什么是一度的角.(接着教师用几何画板演示平角和周角以及锐角、直角、钝角)一条射线绕着它的端点旋转,当终边和始边成一条直线时,所成的角叫做平角,如图(1)所示.继续旋转,当终边和始边重合时,所成的角叫做周角,如图(2)所示.同时通过练习引导学生回顾:锐角大于0°小于90°,钝角大于90°而小于180°,1周角=2平角=4直角.为了更精确的度量角,还要引入度量角的更小的单位:分和秒.学生阅读教材第115页有关度、分、秒的换算规定,理解它们之间的换算关系.把1°的角分成60等份,每份叫做1分的角,记作1',又把1'的角分成60等份,每一份叫做1秒的角,记作1″.即1°=60',1'=60″.[处理方式]教师讲解、动画演示与学生自学相结合,也可以问答式或启发式.对于度、分、秒的单位换算教师要引导学生类比于时间的单位换算,它们相邻单位间的进制都是60进制的.教师对锐角和钝角的范围要重新强调,并声明我们一般所指的角都是这三种角,不研究大于平角的角,同时,还要说明:平角的两边可以构成直线,但不能说直线就是平角.[设计意图]通过几何画板文件的动画演示,进一步加深学生对角的动态定义的理解,通过引导学生回顾小学的角的知识让学生了解角的分类,有利于学生知识的系统化.通过类比可以降低学生学习度、分、秒换算的难度.计算:(1)1.45°等于多少分?等于多少秒?(2)1800″等于多少分?等于多少度?(3)36°52'36″+34°35'24″;(4)120°-45°25'32″.[处理方式]在完成本例题之前教师要引导学生理解:(1)由度化为分和由分化为秒要分别乘它们的进制60.(2)由秒化为分和由分化为度要分别除以它们的进制60.(3)在进行加法计算时应把度、分、秒分别对齐进行相加,然后满60秒进一分,满60分进一度.(4)减法的计算也应当把度、分、秒对齐进行相减,先算秒,再算分,最后算度,不够减的向上一位借位,借1'当60″,借1°当60'.[设计意图]例题的目的是为了让学生记住角的单位换算关系,对于度、分、秒的换算注意控制其难度,对于角的和与差在中考题中也有出现,所以补充后两题很有必要.同时教师要结合学情强调解题时的易错点.[知识拓展]1.构成角的要素有:顶点、两边.2.每个角都有两边,这两条边都是射线.3.角的两边有公共端点.4.只有当角的顶点处只有一个角时,才可以用表示顶点的字母表示这个角.5.用数字或希腊字母表示角时,要在角的内部靠近顶点处画弧线.1.角的定义及表示方法.2.角的度量.3.角的度量单位及换算.1.下列关于角的说法正确的个数是 ()①角是由两条射线组成的图形;②角的边越长,角越大;③在角的一边的延长线上取一点D;④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.A.1个B.2个C.3个D.4个解析:因为角是由两条具有公共端点的射线组成的图形,所以①错误;角的大小与角的两条边的长短无关,所以②错误;角的两条边是射线,无法延长,所以③错误;④正确.故选A.2.下列4个图形中,能用∠1,∠AOB,∠O三种方法表示同一个角的图形是 ()解析:由角的表示方法可知B符合题意.故选B.3.右图中,小于平角的角有 ()A.5个B.6个C.7个D.8个解析:由图形可知小于平角的角有∠BAC,∠BCA,∠ABC,∠BAD,∠CAD,∠ACD,∠ADC,∠BCD.故选D.4.将一个周角平均分成360份,其中每一份是°的角,直角等于°,平角等于°.答案:1901803角1.角的基本概念角的表示方法2.角的度量3.角的进位制1°=60'1'=60″一、教材作业【必做题】教材第117页习题4.3的1,2题.【选做题】教材第117页习题4.3的3题.二、课后作业【基础巩固】1.计算.(1)15°30'5″=″;(2)7200″='=°;(3)0.75°='=″;(4)30.26°=°'″.2.上午九点时分针与时针互相垂直,再经过分钟后分针与时针第一次成一条直线.3.如图所示,AB为一直线,O为AB上一点,OC,OD,OE是射线,则图中大于0°小于180°的角有个.【能力提升】4.已知两个角的差是36°,且它们的度数比是3∶2,则这两角的和是多少?5.如图所示,已知∠AOC=∠BOD=75°,∠BOC=30°,求∠AOD.6.如图所示,直线AB,CD相交于O,∠COE是直角,∠1=57°,求∠2.【拓展探究】7.如图所示,正方形ABCD内部有若干个点,用这些点以及正方形ABCD的顶点A,B,C,D把原正方形分割成一些三角形(互相不重叠).(1)填写下表:正方形ABCD内点的个数1234…n分割成的三角形的个数46…(2)原正方形能否被分割成2012个三角形?若能,求此时正方形ABCD内部有多少个点;若不能,请说明理由.【答案与解析】1.(1)55805(2)1202(3)452700(4)3015362.16411(解析:分针每分钟转动6°,时针每分钟转动0.5°,设再经过a分钟后分针与时针第一次成一条直线,则有6a+90-0.5a=180,解得a=164113.9(解析:按照找线段的方法,以一条射线为边,找出所有的角,再依次以下一条射线为边,直至找全所有的角.以OA为一条边的有∠AOE,∠AOD,∠AOC,以OE为一条边的有∠EOD,∠EOC,∠EOB;以OD为一条边的有∠DOC,∠DOB;以OC为一条边的有∠COB.所以一共有9个角.)4.解法1:设这两个角的度数分别为(3x)°和(2x)°,则根据题意列方程为(3x)°-(2x)°=36°,解方程得x=36,∴3×36°+2×36°=180°.解法2:设这两个角的度数和为x°,则这两个角分别为35x°和25x°,根据题意列方程为35x°-25x°=36°,解方程得5.解:∵∠AOC=75°,∠BOC=30°,∴∠AOB=∠AOC-∠BOC=75°-30°=45°,又∵∠BOD=75°,∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=45°+75°=120°.6.解:由图形可知∠AOB=180°,∠2=∠AOB-∠1-∠COE=180°-57°-90°=33°.7.解析:(1)有1个点时,内部分割成4个三角形;有2个点时,内部分割成4+2=6个三角形;那么有3个点时,内部分割成4+2×2=8个三角形;有4个点时,内部分割成4+2×3=10个三角形;有n个点时,内部分割成4+2×(n-1)=(2n+2)个三角形.(2)令2n+2=2012,求出n的值.解:(1)填表如下:正方形ABCD内点的个数1234…n分割成的三角形的个数46810…2n+2(2)能.当2n+2=2012时,n=1005,即正方形内部有1005个点.让学生观察具体的实物抽象出角的图形,通过学生画角,总结概括出角的概念;通过教具、学具演示、操作以及课件的直观演示形成角的概念,在此基础上得出平角、周角的意义,水到渠成,顺畅自然.在学习角的四种表示方法时,一方面对角的各种表示的特点进行阐述和讲解,另一方面让学生去完成表示角的练习,利用学生出错的机会,让学生通过思维的碰撞,明确怎样在具体的环境中选择最恰当的表示方法,发展学生运用几何语言进行交流的能力,这样学生认识深刻,印象鲜明.特别是角的各种表示法的学习一定要重视,要反复练习,尤其是从一个顶点出发的角不止一个时,一定要正确书写.在自主探究时,由于放给学生的时间有点长,以至于在讲度、分、秒换算时有些仓促,学生换算的格式没有过多纠正和通过练习强调与巩固.角的概念与前面的线段相比较较为抽象,让学生通过观察现实生活中各种角的实例,逐步形成角的概念.随堂练习(教材第116页)1.解:(1)在大门的北偏东90°.(2)南偏东0°(正南方向),北偏东0°(正北方向);北偏东50°.(3)∠BOD,∠BOA,∠BOC,∠DOA,∠DOC,∠AOC.(4)∠BOD,∠DOA是锐角;∠DOC是钝角;∠BOA,∠AOC是直角;∠BOC是平角.2.解:(1)0.25°=15'=900″.(2)2700″=45'=0.75°.习题4.3(教材第117页)1.解:如下表所示.∠1∠2∠3∠4∠5∠BCE∠BCA∠BAC∠DAB∠ABC2.解:(1)18°=7.5',18°=450″.(2)6000″=100',6000″=100'=53.提示:(1)30°,0°,120°,90°.(2)30°,6°.(3)115°.(4)略教法:观察法、情景教学法,在教学中要给学生充分的时间去观察图形和讨论,找出图形中的角,能总结角的表示方法;教学开头和角的应用都应把学生引入相应的情景中,激发学生学习的热情和信心.学法:学生在学习过程中,要善于动手操作、认真观察和归纳总结,只有这样才能把认为简单的问题理解和掌握,知道数学来源于生活,服务于生活.如图所示,在∠AOB的内部引一条射线OC,可得几个小于平角的角?引两条射线OC,OD呢?引三条射线OC,OD,OE呢?若引十条射线,一共会有多少个角?解:引1条射线有2+1=3个角;引2条射线有3+2+1=6个角;引3条射线有4+3+2+1=10个角;引10条射线有11+10+9+…+3+2+1=66个角.4角的比较1.理解角的定义,掌握平角和周角的概念.2.能够比较两个角的大小,利用特殊角估计一个角的大小.3.理解并掌握角平分线的概念,进一步深化对角的认识.使学生通过类比的方法,探讨比较两个角的大小的方法,经历比较角的大小的研究过程,体会角的大小比较和线段长短比较方法的一致性.1.通过利用三角板拼角,锻炼学生动手动脑能力,增加学生学习数学的兴趣.2.通过角的比较的探索,培养学生之间的合作意识及创新精神.【重点】经历比较角的大小的研究过程,体会角的大小比较和线段长短比较方法的一致性.【难点】会利用角的平分线的定义解决有关角的计算问题.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】预习教材P118~119.导入一:[过渡语]大家喜欢爬山吗?当你到达山顶时,是不是有一种一览众山小、无限风光在险峰、心旷神怡的感觉呢?(多媒体出示山的图片)其实,在学习上,成功永远属于肯攀登高峰的人.观察这座山,你会选择从哪面上山呢?(演示山坡与平面所成的角),这两个角哪个大呢?今天我们就一起来研究角的比较.(板书课题:4角的比较)[设计意图]教师运用多媒体演示角的生活实例,充分利用学生的生活经验了解角的形象.激发学生的学习兴趣,使学生进一步体会数学知识来源于生活,服务于生活.导入二:活动内容(多媒体出示如图所示的图片)回顾小学认识的各种角?我们来通过动画演示它们的形成过程,那我们又应该怎样比较两个角的大小呢?[处理方式]引导学生从坡度的大小认识到角的大小,学生积极思考老师提出的有关小学学习的角的问题,积极地把这几种角进行排序.导语:对于锐角、直角、钝角,我们很容易比较它们的大小,但当两个角的大小比较接近而且没有标明度数的时候,就很难判断出它们的大小,本节课我们就来学习如何进行角的比较.(板书课题:4角的比较)探究活动1角的比较方法:度量法与叠合法[过渡语]锐角、钝角、直角三种角之间可以排出大小关系,那么一般的两个角(可能都是锐角)如何比较它们的大小呢?思路一活动内容借助前面我们学习的如何比较两条线段的长短的方法,你能比较下图中三组角的大小吗?与同伴进行交流.[处理方式]以小组为单位,相互合作,共同探究.学生在比较角的大小的时候第(2)组两个角的大小很快就比较出来了,但在第(1)组和第(3)组的结果上意见不是很统一.在学生回忆比较线段长短的方法和观察三幅图的基础上明晰:如果两个角的大小相差很大,直接观察就可以进行比较.如果直接观察难以判断,我们有两种方法进行比较:一种方法是用量角器量出每个角的度数,再进行比较;另一种方法是将两个角叠合进行比较.讨论的结果.方法一:用量角器度量他们的度数,再进行比较;方法二:将两个角的顶点及一条边重合,另一条边放在重合边的同侧就可以比较大小,如图(1)(2)(3)所示.图(1)∠AOB和∠CO'D相等,记作∠AOB=∠CO'D;图(2)∠AOB大于∠CO'D,记作∠AOB>∠CO'D;图(3)∠AOB小于∠CO'D,记作∠AOB<∠CO'D.思路二活动内容(1)直接呈现问题:锐角、钝角、直角三种角之间可以排出大小关系,那么一般的两个角(可能都是锐角)如何比较它们的大小呢?(2)请同学们在准备好的纸片上任意画一个角,再与小组其他同学所画的角比较一下大小,并按顺序排列,说说是怎样比较的.[处理方式](1)题引导学生采用类比的方法,探索得到角的比较方法.学生很容易总结出角的比较有两种方法:一是测量法(利用量角器),二是叠合法.得到上述两种方法对学生而言是比较自然的,教师继续通过下面的设问,帮助学生明晰.师:使用叠合法比较角的大小必须注意哪些细节?角的大小与两边画出部分的长短是否相关?当然也有学生提出观察法,例如,有时两个角可以很明显地看出一个是锐角,一个是钝角,那就可以使用观察法了.对于学生的这种想法,应给予鼓励.对于(2)题,例如学生剪出的角有如下几种形状:学生总结他们比较角的大小主要采取:①量出度数比较大小;②剪下来叠合比较;③根据类别直接得到大小.共计三种方法.通过该问题,教师及时总结角的比较有三种方法:①度量法;②叠合法;③归类估测法.[设计意图]本活动的设计意在通过类比,探索得到角的比较方法,体会数学思想在解决问题中的用处,感受成功的快乐.观察与思考:角的大小与角的两边画出的长短有关吗?如图所示,角的大小与角的两边画出的长短没有关系.角的两边叉开得越小,角度就越小.[设计意图]本环节是让学生在经历了比较线段长短的过程后,类比可以知道,角的大小可以通过直接观察、测量和叠合的方法比较大小,并会用符号语言来说明两个角的大小关系.小试牛刀:根据右图,求解下列问题.(1)比较∠AOB,∠AOC,∠AOD,∠AOE的大小,并指出其中的锐角、直角、钝角、平角;(2)试比较∠BOC和∠DOE的大小.[处理方式]先通过学生的思考判断出结果,然后再充分交流比较∠BOC和∠DOE的大小的方法.[设计意图]巩固比较角的大小的方法,并进一步丰富对锐角、钝角、直角、平角的认识.探究活动2角的平分线活动内容在纸上画一个角并剪下,将它对折使其两边重合,折痕与角的两边所成的两个角的大小关系怎样?[处理方式]先让学生在纸上画一个任意角,把角的两边重合,把折痕压出来,再用不同的方法解释折痕两边的两个角的大小关系.如图所示,因为∠BOD=∠AOD或∠BOD=12∠AOB,∠AOD=12∠AOB,所以射线OD平分∠AOB,或者因为射线OD平分∠AOB,所以∠BOD=∠AOD=12∠巩固练习如图所示,∠AOB=130°,∠AOD=30°,∠BOC=70°.则:OC是∠AOB的平分线吗?OD是∠AOC的平分线吗?为什么?解:∵∠AOB=130°,∠AOD=30°,∴∠DOB=100°.又∵∠BOC=70°,∴∠DOC=30°.∴∠AOC=60°,而∠BOC=70°,∴∠AOC≠∠BOC,故OC不是∠AOB的平分线.∵∠DOC=30°,∠AOD=30°,∴∠DOC=∠AOD,∴OD是∠AOC的平分线.[设计意图]通过折纸的方式呈现角的平分线,从而引出角的平分线的概念及符号语言.规范学生对角的平分线的使用,对角的平分线的几种表达方式也是反复进行训练,使学生尽快掌握这一概念,熟练并能使用这一概念解题.探究活动3估计角的度数活动内容如图所示,(1)估计∠AOB,∠DEF的度数;(2)量一量,验证你的估计.[处理方式]先让学生估计两个角的度数,并充分交流自己估计的方法.有些学生可能是直接借助三角尺等工具进行估计,也可能是直接观察估计度数,在交流的基础上再让学生通过测量验证自己的估计.[设计意图]进一步熟悉锐角、钝角的大小范围,学会估计角的大小,并由此明确角的大小的估计方法也有多种,估计要做到有理有据,并不是盲目地去随意估计.[知识拓展]1.角的大小与它们的度数大小一致.2.初中阶段所指的角都是小于平角的角,除非有特别说明.3.可以借助旋转观点来研究角的分类问题,当一条射线绕着它的端点旋转时,角逐渐由小变大,依次形成锐角、直角、钝角、平角、周角.1.比较两个角大小的方法有度量法、叠合法.2.角的分类:(1)平角的一半是直角;(2)大于0°且小于90°的角叫锐角;(3)大于90°且小于180°的角叫钝角;(4)锐角<直角<钝角.3.角的平分线.1.如图所示,在点子图中有三个角.(1)先估计每个角的大小,再用量角器量一量;(2)找出三个角之间的关系.解:(1)两个钝角分别为135°,135°,锐角为45°.(2)图中两个钝角相等,一个钝角和一个锐角的和为180°.2.如图所示,OC是∠AOB的平分线,∠BOD=13∠COD,∠BOD=15°,则∠COD=,∠BOC=,∠AOB=解析:由题意可知,图中的等量关系为∠COD=3∠BOD,∠BOC=2∠BOD,∠AOB=2∠BOC.答案:45°30°60°3.如图所示,已知直线AB,CD相交于点O,OE平分∠COB,若∠EOB=55°,则∠BOD的度数是()A.35°B.55°C.70°D.110°解析:由题目中的已知条件可知∠BOC=2∠EOB=110°,所以∠BOD=180°-∠COB=70°.故选C.4.如图所示,(1)将一副三角板叠放在一起,使直角的顶点重合于点O,求∠AOC+∠DOB.(2)用一副三角板能画出15°的角吗?75°呢?使用一副三角板还能画出哪些度数的角?这些角有什么特点?解:(1)∠AOC+∠DOB的和等于两个直角的和,为180°.(2)能.因为15°=45°-30°=60°-45°,75°=30°+45°.还能画出30°,45°,60°,90°,105°,120°,135°,150°,180°,360°等的角,这些角的度数都是15°的整数倍.5.如图所示,O是直线AB上的一点,OD是∠AOC的平分线,OE是∠COB的平分线,∠COD=28°,求∠EOB的度数.解:由题意可知∠AOC=2∠COD=56°,∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-56°=124°,∴∠EOB=12∠BOC=62°4角的比较1.角的比较方法:度量法、叠合法2.角的分类:锐角、直角、钝角、平角、周角3.角的平分线4.估计角的大小一、教材作业【必做题】教材第120页习题4.4的1,2题.【选做题】教材第121页习题4.4的4题.二、课后作业【基础巩固】1.如图所示,∠AOB∠AOC,∠AOB∠BOC(填“>”“=”或“<”);用量角器度量∠BOC=,∠AOC=,所以∠AOC∠BOC.2.如图所示,∠AOC=+=-;∠BOC=-=-.3.如图所示,若∠AOC=∠BOD,那么∠AOD与∠BOC的关系是 ()A.∠AOD>∠BOC B.∠AOD<∠BOCC.∠AOD=∠BOC D.无法确定4.已知OC是∠AOB内部的一条射线,若∠AOC=12,则OC平分∠AOB;若OC是∠AOB的平分线,则=2∠5.用一副三角板不能画出 ()A.75°角 B.135°角 C.160°角 D.105°角【能力提升】6.如图所示,BD平分∠ABC,BE分∠ABC为2∶5两部分,∠DBE=21°,求∠ABC的度数.【拓展探究】7.如图所示,∠AOB是平角,OD,OC,OE是三条射线,OD是∠AOC的平分线,请你补充一个条件,使∠DOE=90°,并说明你的理由.【答案与解析】1.>>20°37°>(解析:角的比较可利用度量法或叠合法进行.)2.∠AOB∠BOC∠AOD∠COD∠BOD∠COD∠AOC∠AOB(解析:根据图形中的角的关系可得.)3.C(解析:由∠AOC=∠BOD可得∠AOC+∠COD=∠BOD+∠COD,即∠AOD=∠BOC.)4.∠AOB∠AOB(解析:由角平分线的定义可以直接得到.)5.C(解析:利用一副三角板可以画出度数是15°整数倍的角.故选C.)6.解:设∠ABE=2x°,则∠CBE=5x°,由题可得2x+21=5x-21,解得x=14,所以∠ABC=14°×7=98°.7.解:OE平分∠BOC.理由:因为∠AOC+∠BOC=180°,OE平分∠BOC,OD是∠AOC的平分线,所以2∠DOC+2∠EOC=180°,所以∠DOC+∠EOC=90°,所以∠DOE=90°.本节课一开始就在创设的问题情景中让学生有目的地探索问题,自然地就把实际问题转化为数学问题;紧接着,通过类比的方法,自然得到角的比较方法,并通过问题串和练习进行了分析.课后反思本节课,发现在分析的过程中,将重心放在叠合法和角的意义的理解,其实根据学生的水平,有条件的教师还可以引导学生感受测量法与叠合法有无异曲同工之处(测量其实也是叠合——被测量的角与量角器的叠合).在接下来的教学过程中,注重动手实践和直观感知与动手操作,让学生主动参与到课堂教学中来.利用角平分线等性质进行有关角度数量关系的计算学生明