专题10 12定直线2020年高考数学一轮复习高分点拨文理科通用教师版纸间书屋

第十二讲 3】已知𝐴,𝐵两点在抛物线C𝑥2=4𝑦上，点𝑀(0,4)满足=𝜆（1）若线段|𝐴𝐵|=12√2，求直线𝐴𝐵4（2）（1）设𝐴(𝑥1𝑦1)𝐵(𝑥2𝑙𝐴𝐵𝑦=𝑘𝑥+4与𝑥2=4𝑦联立得𝑥2−4𝑘𝑥−16=𝛥=(−4𝑘)2−4(−16)=16𝑘2+64>0，𝑥1+𝑥2=4𝑘,𝑥1𝑥2=|𝐴𝐵|=√1+𝑘2·√(𝑥1+𝑥2)2−4𝑥1𝑥2=√1+𝑘2·4√𝑘2+4，又|𝐴𝐵|=12√2，即√1+𝑘2·4√𝑘2+4=12√2，解得：𝑘2=2𝑘2=−7（舍，所以直线的方程𝑦=±√2𝑥+（2）证明：过点𝐴的切线：𝑦=1𝑥(𝑥−𝑥+𝑦=1𝑥𝑥−12 2 4过点𝐵的切线：𝑦=1𝑥𝑥−12 4联立①②得点𝑁𝑥1+𝑥24)，所以点𝑁在定直线𝑦=−421．已知抛物线𝐶：𝑥2=2𝑝𝑦(𝑝>0)的焦点为𝐹，点𝑀(2𝑚)(𝑚>0)在抛物线上，且|𝑀𝐹|=（1）𝑥2=4𝑦（2）

=𝑚2

=又𝑀(2𝑚)在抛物线上，所以2𝑝𝑚=由①②，解得𝑝=2，𝑚=1，所以抛物线𝐶的方程为𝑥2=4𝑦.（2）①当𝑥0=0，即点𝑃为原点时，易知点𝑄在直线𝑦=0②当𝑥0≠0，即点𝑃由（1）得，𝑥2=4𝑦，则𝑦=12所以在点𝑃处的切线的斜率为1𝑥2所以在点𝑃处的切线𝑙的方程为𝑦𝑦=1𝑥(𝑥𝑥) 2 又𝑥2=4𝑦，所以𝑦−𝑦=1𝑥(𝑥−𝑥)可化为𝑦=1𝑥𝑥−𝑦 2 2 又过点𝐹与切线𝑙垂直的方程为𝑦−1=−2 1𝑦=2𝑥0𝑥−

𝑦−1=

2𝑥消去𝑥，得𝑦=−1(𝑦−1)𝑥2−𝑦 0因为𝑥2=4𝑦0，所以(∗)可化为𝑦=−𝑦𝑦0，即(𝑦01)𝑦=0，由𝑦0>0，可知𝑦=0，即垂足𝑄必在𝑥轴上.0所以点𝑄必在直线𝑦=0上，综上，点𝑄必在直线𝑦=0考向二2】如图，菱形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为8√2=−4，斜率为𝑘的直线𝑙交𝑦轴于点𝑃，且=2⃑⃑⃑⃑⃑，以线段𝐵𝐷为长轴，𝐴𝐶为短轴的椭圆与直线𝑙相交于𝑀𝑁两点（𝑀与𝐴在𝑥轴同侧）.（2）求证：𝐴𝑁与𝐶𝑀的交点在定直线𝑦=18

+4

=1（2）（1）设𝐴(0𝑏𝐵(−𝑎0𝐷(𝑎∴⋅=−𝑎2+𝑏2,∴{2𝑎𝑏=−𝑎2+𝑏2=

(−𝑎,−𝑏),=(𝑎,解得𝑎2=8𝑏2=∴椭圆方程为𝑥2+𝑦2= 易得𝑃(0,4)，设直线𝑙𝑦=𝑘𝑥+4与椭圆𝑥2+2𝑦2=8(1+2𝑘2)𝑥2+16𝑘𝑥+24=0由𝛥>0得𝑘2>3，设𝑀(𝑥,𝑘𝑥4)𝑁(𝑥,

+ ∴

∴𝑥1+𝑥2=−1+2𝑘2,𝑥1𝑥2=1+=𝑘𝑥1+6直线𝑀𝐶的方程为𝑦+2=𝑘𝑥1+6

=𝑘𝑥2+2直线𝐴𝑁的方程为𝑦−2=

𝑥(𝑘𝑥

𝑘𝑥𝑥

24𝑘

12𝑘 1= 2

= =12 2= =1+2𝑘2 2222

24𝑘

12𝑘12𝑘+

3( +𝑥)

1+

1+

=12𝑘+(−16𝑘−𝑥

−( +𝑥)∴𝑦=1

1+

1+

1+ 1．已知点(1,2)，(√23)都在椭圆𝐶：𝑦+𝑥=1(𝑎>𝑏>0)

求椭圆𝐶过点𝑀(0,1)的直线𝑙与椭圆𝐶交于不同的两点𝑃，𝑄（异于顶点，记椭圆𝐶与𝑦轴的两个交点分别为𝐴2，若直线𝐴1𝑃与𝐴2𝑄交于点𝑆，证明：点𝑆恒在直线𝑦=4（1）𝑦2𝑥21（2） 2+

= 【解析（1）由题意得{

，得{𝑎=4,，故椭圆𝐶的方程为𝑦2+𝑥2=3+

=

𝑏2= （2）由题意可设直线𝑙的方程为𝑦=𝑘𝑥+1，𝑃(𝑥1𝑦1)，𝑄(𝑥2𝑦2+𝑥2=联立{ 整理得(𝑘2+2)𝑥2+2𝑘𝑥−3=𝑦=𝑘𝑥+

+

=−2𝑘，𝑥

=−3，则2𝑘𝑥

=

+𝑥

1

1 由题意不妨设𝐴(0,2)，𝐴(02)，则直线𝐴𝑃的方程为𝑥=𝑥1(𝑦

直线𝐴𝑄的方程为𝑥=𝑥2(𝑦+ 𝑥=𝑥1(𝑦−

整理得

+2)𝑥(𝑦−2)=

−2)𝑥(𝑦+𝑥=𝑥2(𝑦+ 所以(3𝑥1+𝑥2)𝑦=4𝑘𝑥1𝑥26𝑥1把①代入上式，得(3𝑥1𝑥2)𝑦=4𝑘𝑥1𝑥2+6𝑥1−2𝑥2=6(𝑥1+𝑥2+6𝑥12𝑥2=12𝑥14𝑥2当𝑥≠−3𝑥时，可得𝑦=4，当𝑥=−3𝑥时，易求

=

=𝑘𝑥1−1，即𝐴𝑃∥𝐴𝑄

综上，故点𝑆恒在直线𝑦=4|⃑⃑⃑2|⃑⃑⃑ （2）设=(5,0),=

⃑ =(𝑎 ⃑ 过点𝐹的动直线𝑙与曲线𝐶′交于不同两点𝑀𝑁，过点𝑀作𝑦轴垂线𝑙′，试判断直线𝑙′与直线𝑁𝐻的交点

0)（3=【答案

+

=1𝑦≠0（2） （1）设动点𝐶(𝑥𝑦)，其中𝑦≠0.由√(𝑥+

+

=

(𝑥

1)+2

2得：𝑥2+𝑦2=1(𝑦≠设点𝐶′(𝑥′,𝑦′)，由

𝑥′=𝑦′=

𝑥得𝑦

5,3

+𝑦

=1(𝑦′≠即曲线𝐶′的轨迹方程为𝑥2+𝑦2=1(𝑦≠ 显然过点𝐹(4,0)的直线𝑙不垂直𝑦轴，设𝑙𝑥=𝑚𝑦+4，同时设𝑀(𝑥1𝑦1)，𝑁(𝑥2𝑥=𝑚𝑦+由{

+9

=

消𝑥整理得：(9𝑚2+25)𝑦2+72𝑚𝑦−81=由定理得

+

=−

，𝑦

= 1

直线𝑙1𝑦直线𝑁𝐻𝑦=8

(𝑥2−8

=𝑚𝑦=

(𝑥−829∴𝑥=41+ 把定理中的𝑦

=

=

−

−

1

+8(𝑦2+ 𝑥

+9𝑚 9𝑚+25

4故两直线𝑙′，𝑁𝐻的交点恒落在直线𝑥=254已知椭圆𝐶:𝑥2𝑦2=1(𝑎>𝑏>0)和抛物线𝐶:𝑥2=2𝑝𝑦(𝑝>0)，在𝐶，𝐶1

标为(2,1)，(−√20)，(12（Ⅱ）设𝑃是𝐶2在第一象限上的点，𝐶2在点𝑃处的切线𝑙与𝐶1交于𝐴𝐵两点，线段𝐴𝐵的中点为𝐷，过原点𝑂的【答案】(1)𝐶:𝑥2+𝑦2=1,𝐶:𝑥2=4𝑦;(2)1 （Ⅰ）(−√2

2= 1+ 2= 1+1

解得：𝑎2=2，𝑏2=1，所以𝐶:𝑥2+𝑦2=1点(2,1)，(−4,4)在抛物线𝐶2上，所以𝑝=2，所以𝐶2𝑥2=（Ⅱ）设𝑃𝑚,𝑚2（𝑚>0），由𝑥2=4𝑦得𝑦=1 所以切线𝑙的方程为：𝑦−𝑚2=𝑚(𝑥−𝑚) 𝑦−𝑚2=𝑚(𝑥−设𝐴(𝑥,𝑦)，𝐵(𝑥,𝑦)，由

得：(𝑚2+2)𝑥2−𝑚3𝑥+𝑚4−4=1

𝑥2+𝑦2= 2由𝛥>

+

=

得

，代入𝑦−𝑚2=𝑚(𝑥−𝑚)得

−𝑚2

=𝑦𝐷=−1，所以

:𝑦=−1𝑥=

由{𝑦=−1𝑥得𝑦=−1，所以点𝑄在定直线𝑦=−1=（1）若=𝜆，=𝜇，求𝜆𝜇（1）1（2）交点𝑃在直线𝑦=2𝑥（1）设𝑀(𝑛0)，𝐶(0,𝑦𝐶)，𝐴(𝑥1𝑦1)，𝐵(𝑥2𝑦2)，由=𝜆=𝜇得，(𝑥1−𝑛,𝑦1)=𝜆(−𝑛,𝑦𝐶)，(𝑥2−𝑛,𝑦2)=𝜇(−𝑛,所以𝜆=𝑛−𝑥1，𝜇=𝑛−𝑥2，设𝑙：𝑦=𝑘(𝑥− 𝑦=𝑘(𝑥− ，则𝑥2=

−4𝑘𝑥+4𝑘𝑛=𝛥=(4𝑘)24×4𝑘𝑛>0，所以𝑘2𝑘𝑛>0，则𝑥1+𝑥2=4𝑘，𝑥1𝑥2=4𝑘𝑛，所以𝜆𝜇=𝑛2−𝑛(𝑥1+𝑥2)+𝑥1𝑥2=𝑛2−4𝑛𝑘+4𝑘𝑛= （2）设𝑃(𝑥𝑦)，𝑥2=4𝑦，即y=𝑥2，有y= 过𝐴的切线方程为𝑦𝑦1=

(𝑥−𝑥1)，即𝑦=

𝑥2114所以过𝐵的切线方程为𝑦

𝑥2224两方程联立得𝑥=𝑥1+𝑥2，𝑦= 由（1）知𝑥1+𝑥2=4𝑘，𝑥1𝑥2=16𝑘，所以𝑥=2𝑘，𝑦=4𝑘，所以𝑦=2𝑥，即交点𝑃在直线𝑦=2𝑥上.已知椭圆𝑊𝑥2+𝑦2=14，左、右顶点分别为𝐴,𝐵，经过点𝑃(1,0)的动直线与椭圆𝑊 不同的两点𝐶,𝐷（不与点𝐴,𝐵重合（Ⅰ）𝑥2+𝑦2=1，离心率𝑒=√

（Ⅱ）

√3（Ⅲ）𝑥= （Ⅰ）由题意，得𝑎2=4𝑚=4,解得𝑚=1.所以椭圆𝑊方程为𝑥2+𝑦2=4故𝑎=2，𝑏=1，𝑐=√𝑎2−𝑏2=√3.所以椭圆𝑊的离心率𝑒=𝑐= （Ⅱ）当直线𝐶𝐷的斜率𝑘不存在时，由题意，得𝐶𝐷的方程为𝑥=代入椭圆𝑊的方程，得𝐶(1√3)，𝐷(1 又因为|𝐴𝐵|=2𝑎=4，𝐴𝐵⊥𝐶𝐷，所以四边形𝐴𝐶𝐵𝐷的面积𝑆=1|𝐴𝐵|×|𝐶𝐷|=2当直线𝐶𝐷的斜率𝑘存在时，设𝐶𝐷的方程为𝑦=𝑘(𝑥−1)(𝑘≠0)，𝐶(𝑥1𝑦1)，𝐷(𝑥2𝑦=𝑘(𝑥−联立方程{4

+

=

消去𝑦，得(4𝑘2+1)𝑥2−8𝑘2𝑥+4𝑘2−4=由题意，可知𝛥>0恒成立，则

+

=

，𝑥

=四边形𝐴𝐶𝐵𝐷的面积𝑆=

+

1

1 1

𝛥𝐴𝐵𝐷=2|𝐴𝐵|×|𝑦1|+2|𝐴𝐵|×1=2|𝐴𝐵|×|𝑦1−𝑦2|=2|𝑘(𝑥1−=2√𝑘2[(𝑥+𝑥)2−4𝑥𝑥]=

1

√设4𝑘2+1=𝑡，则四边形𝐴𝐶𝐵𝐷的面积𝑆=2√−1−23，1∈( 所以𝑆=2√−(1+1)2+4<（Ⅲ）结论：点𝑀在一条定直线上，且该直线的方程为𝑥已知抛物线𝐶𝑦2=4𝑥，过点(−1,0)的直线与抛物线𝐶相切，设第一象限的切点为（1）(1,2)（2）𝑦2𝑥4或𝑦2𝑥 （1）由题意知可设过点(−1,0)的直线方程为𝑥=𝑡𝑦𝑥=𝑡𝑦− 联立{𝑦2=4𝑥

−4𝑡𝑦+4=又因为直线与抛物线相切，则𝛥=0，即𝑡=当𝑡=1时，直线方程为𝑦=𝑥+1，则联立得点𝑃坐标为（2）设直线𝑙的方程为：𝑥=𝑚𝑦+2，𝐴(𝑥1𝑦1)，𝐵(𝑥2𝑥=𝑚𝑦+ 联立{𝑦2= 得

4𝑚𝑦8=0，则𝛥>0𝑦1𝑦2=−8,𝑦1+𝑦2=2则𝑥𝑥=(𝑦1𝑦2)=

+𝑥=𝑡(𝑦+𝑦)+4=4𝑚2+1

由于圆𝑀是以线段𝐴𝐵为直径的圆过点𝑃，则⋅=𝑥1𝑥2−(𝑥1+𝑥2)+1+𝑦1𝑦2−2(𝑦1+𝑦2)+4=4𝑚2+8𝑚3=0，则𝑚=−1或𝑚=− 则直线𝑙的方程为𝑦=−2𝑥4或𝑦=−2𝑥+ F是抛物线Cx24y的焦点，AxyBx

物线CAB

ABFPPF2AF·BFxx2xx【解析】(Ⅰ)抛物线C:y ，则y PAyy11xx1y1x1PBy2x2

x1x2x1x2ABykx1，代入Cx24yx24kx40 4ABykxm，代入Cx24yx24kx4m0x1x2=4mP2km4k24k2m

2m1244kAFBFy1y1kxm1kxm1k2xxkm1x

m 1 7．已知动圆过定点(1,0)，且与直线𝑥=−1,,𝐶（1）𝑦24𝑥（2）m，其方程是𝑦𝑥（1）如图，设𝑀为动圆圆心，设𝐹(1,0)，过点𝑀作直线𝑥=−1的垂线，垂足为由题意知：|𝑀𝐹|=|𝑀𝑁|即动点𝑀到定点𝐹与到定直线𝑥=−1的距离相等，由抛物线的定义知，点𝑀的轨迹)∵|𝑀𝑁|,∴|𝑥+1|=√(𝑥−1)2+𝑦2，化简得𝑦2=（2）C𝐴(4,4)mCB、C，使𝛥𝐴𝐵𝐶的垂心为H(8,0)𝐵(𝑥1𝑦1𝐶(𝑥2𝑦2),显然直线𝐴𝐻的斜率为−1m1m𝑦𝑥𝑏，由{𝑦2=𝑦=𝑥+

,消去𝑥化简得：𝑦24𝑦4𝑏=0,∴

+

=4,

⋅

=4𝑏𝛥=1616𝑏>0，即𝑏<1.𝛥𝐴𝐵𝐶H(8,0)，所以𝐴𝐶𝐵𝐻𝑥18)(𝑥24𝑦1(𝑦240.即𝑥1𝑥24𝑥18𝑥2𝑦𝑦−

+32=0,∴𝑦12𝑦22−

−𝑏)−8(𝑦−𝑏)+𝑦𝑦−

+32=0∴𝑦12𝑦22+𝑦𝑦−8(𝑦1

1

1 𝑦212𝑏+32=0，∴𝑏2+16𝑏=0,∴𝑏=0或𝑏=−=𝑥𝐴(4,4)m=8．已知椭圆𝛤𝑥2+𝑦2=1(𝑎>𝑏>0)4，离心率为 过𝑃(1,0)作动直线