2023年人教版中学七7年级下册数学期末解答题培优题

2023年人教版中学七7年级下册数学期末解答题培优题

一、解答题

1．动手试一试，如图1，纸上有10个边长为1的小正方形组成的图形纸．我们可以按图

2的虚线AB,BC将它剪开后，重新拼成一个大正方形ABCD．

（1）基础巩固：拼成的大正方形ABCD的面积为______，边长AD为______；

（2）知识运用：如图3所示，将图2水平放置在数轴上，使得顶点B与数轴上的1重

合．以点B为圆心，BC边为半径画圆弧，交数轴于点E，则点E表示的数是______；

（3）变式拓展：

①如图4，给定55的方格纸（每个小正方形边长为1），你能从中剪出一个面积为13的

正方形吗？若能，请在图中画出示意图；

②请你利用①中图形在数轴上用直尺和圆规表示面积为13的正方形边长所表示的数．

．．．．．

2．如图，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64．

（1）求出这个魔方的棱长；

（2）图中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的边长．

3．如图,8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形,

（1）每块小长方形地砖的长和宽分别是多少?(要求列方程组进行解答)

（2）小明想用一块面积为7平方米的正方形桌布，沿着边的方向裁剪出一块新的长方形桌

布，用来盖住这块长方形木桌，你帮小明算一算，他能剪出符合要求的桌布吗？

4．如图，阴影部分（正方形）的四个顶点在5×5的网格格点上．

（1）请求出图中阴影部分（正方形）的面积和边长

（2）若边长的整数部分为a，小数部分为b，求a2b13的值．

5．如图用两个边长为18cm的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸片，沿着大正方形纸

片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长方形纸片长宽之比为3:2，且面积为

30cm2请说明理由．

二、解答题

6．已知，AB∥CD，点E在CD上，点G，F在AB上，点H在AB，CD之间，连接FE，

EH，HG，∠AGH＝∠FED，FE⊥HE，垂足为E．

（1）如图1，求证：HG⊥HE；

（2）如图2，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于点M，求证：∠GHE＝

2∠GME；

（3）如图3，在（2）的条件下，FK平分∠AFE交CD于点K，若∠KFE：∠MGH＝13：5，

求∠HED的度数．

7．如图，已知直线l1//l2，点A、在直线l1上，点C、D在直线l2上，点C在点D的右侧，

B

ADC80,ABC2n,BE平分ABC,DE平分ADC，直线BE、DE交于点E．

（1）若n20时，则BED___________；

（2）试求出BED的度数（用含n的代数式表示）；

（3）将线段BC向右平行移动，其他条件不变，请画出相应图形，并直接写出BED的度

数．（用含n的代数式表示）

8．如图1，MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间．

（1）求证：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；

（2）如图2，CD∥AB，点E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求证：∠MCA＝∠DCE；

（3）如图3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝60°，求∠AFB的度数．

9．已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE的角分线相交于点F．

（1）如图1，若BM、DM分别是∠ABF和∠CDF的角平分线，且∠BED＝100°，求∠M的

度数；

（2）如图2，若∠ABM＝1∠ABF，∠CDM＝1∠CDF，∠BED＝°，求∠M的度数；

3

3

1

1

（3）若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，请直接写出∠M与∠BED之间的数量关系

n

n

10．已知AB∥CD，线段EF分别与AB，CD相交于点E，F．

（1）请在横线上填上合适的内容，完成下面的解答：

如图1，当点P在线段EF上时，已知∠A＝35°，∠C＝62°，求∠APC的度数；

解：过点P作直线PH∥AB，

所以∠A＝∠APH，依据是

因为AB∥CD，PH∥AB，

所以PH∥CD，依据是

所以∠C＝（

；

；

），

）+（

所以∠APC＝（

）＝∠A+∠C＝97°．

（2）当点P，Q在线段EF上移动时（不包括E，F两点）：

①如图2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立吗？请说明理由；

②如图3，∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠M+∠MPQ+∠PQM＝180°，请直接写

出∠M，∠A与∠C的数量关系．

三、解答题

11．如图1，E点在BC上，AD．ACBBED180．

（1）求证：AB//CD

（2）如图2，AB//CD,BG平分ABE，与EDF的平分线交于H点，若DEB比DHB

大60，求DEB的度数．

（3）保持（2）中所求的DEB的度数不变，如图3，BM平分EBK,DN平分CDE，作

BP//DN，则PBM的度数是否改变？若不变，请直接写出答案；若改变，请说明理由．

12．课题学习：平行线的"等角转化"功能．

阅读理解：

如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC，求∠BAC＋∠B＋∠C的度数．

（1）阅读并补充下面推理过程

解：过点A作ED∥BC，

∴∠B＝∠EAB，∠C＝

又∵∠EAB＋∠BAC＋∠DAC＝180°

∴∠B＋∠BAC＋∠C＝180°

解题反思：

从上面推理过程中，我们发现平行线具有"等角转化"的功能，将∠BAC，∠B，∠C"凑"在一

起，得出角之间的关系，使问题得以解决．

方法运用：

（2）如图2，已知AB∥ED，求∠B＋∠BCD＋∠D的度数．（提示：过点C作CF∥AB）

深化拓展：

（3）如图3，已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝70°，点B在点A的左侧，

∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与

CD两条平行线之间，求∠BED的度数．

13．已知点A，B，O在一条直线上，以点O为端点在直线AB的同一侧作射线OC，

OD，OE使BOCEOD60．

（1）如图①，若OD平分BOC，求AOE的度数；

（2）如图②，将EOD绕点O按逆时针方向转动到某个位置时，使得OD所在射线把

BOC分成两个角．

①若COD:BOD1:2，求AOE的度数；

②若COD:BOD1:n（n为正整数），直接用含n的代数式表示AOE．

14．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看

江水及两岸河堤的情况，如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线

自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，若灯A转动的速度是a°/

秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足a4bab520．假定这一带长江两岸

河堤是平行的，即PQ//MN，且BAN60

（1）求a、b的值；

（2）若灯B射线先转动45秒，灯A射线才开始转动，当灯B射线第一次到达BQ时运动

停止，问A灯转动几秒，两灯的光束互相平行?

（3）如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作

CDAC交PQ于点D，则在转动过程中，BAC与BCD的数量关系是否发生变化?若不

变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．

15．如图，直线PQ//MN，一副三角板（ABCCDE90，ACB30，

EAC60,DCEDEC45）按如图①放置，其中点E在直线PQ上，点B,C均在直线

MN上，且CE平分ACN．

（1）求DEQ的度数．

（2）如图②，若将三角形ABC绕B点以每秒5的速度按逆时针方向旋转（A,C的对应点

分别为F,G）．设旋转时间为t秒(0t36)．

①在旋转过程中，若边BG//CD，求t的值；

②若在三角形ABC绕B点旋转的同时，三角形CDE绕E点以每秒4的速度按顺时针方向

旋转（C,D的对应点分别为H,K）．请直接写出当边BG//HK时t的值．

四、解答题

16．如图，直线AB//CD，E、F是AB、CD上的两点，直线l与AB、CD分别交于点

G、H，点P是直线l上的一个动点（不与点G、H重合），连接PE、PF．

（1）当点P与点E、F在一直线上时，GEPEGP，FHP60，则

PFD_____．

（2）若点P与点E、F不在一直线上，试探索AEP、EPF、CFP之间的关系，并证

明你的结论．

17．操作示例：如图1，在△ABC中，AD为BC边上的中线，△ABD的面积记为S1，△ADC

的面积记为S2．则S1=S2．

解决问题：在图2中，点D、E分别是边AB、BC的中点，若△BDE的面积为2，则四边形

ADEC的面积为

拓展延伸：

（1）如图3，在△ABC中，点D在边BC上，且BD=2CD，△ABD的面积记为S1，△ADC的

面积记为S2．则S1与S2之间的数量关系为

.

．

（2）如图4，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连接BE、CD交于点O，且

BO=2EO，CO=DO，若△BOC的面积为3，则四边形ADOE的面积为

何数量关系？并说明理由；

【问题迁移】

如图2，DF∥CE，点P在三角板AB边上滑动，∠PCE=∠，∠PDF=∠.

.

18．【问题探究】如图1，DF∥CE，∠PCE=∠，∠PDF=∠，猜想∠DPC与、之间有

（1）当点P在E、F两点之间运动时，如果=30°，=40°，则∠DPC=

°.

（2）如果点P在E、F两点外侧运动时（点P与点A、B、E、F四点不重合），写出∠DPC

与、之间的数量关系，并说明理由．

（图1）

（图2）

19．直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运

动,A、B不与点O重合，如图1，已知AC、BC分别是∠BAP和∠ABM角的平分线，

（1）点A、B在运动的过程中，∠ACB的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；

若不发生变化，试求出∠ACB的大小.

（2）如图2，将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，则∠ABO＝________,

如图3，将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，则∠ABO＝________

（3）如图4，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其反

3

向延长线交于E、F，则∠EAF＝；在△AEF中，如果有一个角是另一个角的倍，求∠ABO

2

的度数.

20．已知MN//GH,在RtABC中，ACB90,BAC30，点A在MN上，边BC在

GH上，在Rt△DEF中，DFE90,边DE在直线AB上，EDF45；

（1）如图1，求∠BAN的度数；

（2）如图2，将Rt△DEF沿射线BA的方向平移，当点F在M上时，求AFE度数；

（3）将Rt△DEF在直线AB上平移，当以A、D、F为顶点的三角形是直角三角形时，直

接写出FAN度数．

【参考答案】

一、解答题

1．（1）10，；（2）；（3）见解析；（4）见解析

【分析】

（1）易得10个小正方形的面积的和，那么就得到了大正方形的面积，求得面积的算术平

方根即可为大正方形的边长；

（2）根据大正方形的边长结合实

解析：（1）10，10；（2）101；（3）见解析；（4）见解析

【分析】

（1）易得10个小正方形的面积的和，那么就得到了大正方形的面积，求得面积的算术平

方根即可为大正方形的边长；

（2）根据大正方形的边长结合实数与数轴的关系可得结果；

（3）以2×3的长方形的对角线为边长即可画出图形；

（4）得到①中正方形的边长，再利用实数与数轴的关系可画出图形．

【详解】

解：（1）∵图1中有10个小正方形，

∴面积为10，边长AD为10；

（2）∵BC=10，点B表示的数为-1，

∴BE=10，

∴点E表示的数为101；

（3）①如图所示：

②∵正方形面积为13，

∴边长为13，

如图，点E表示面积为13的正方形边长．

【点睛】

本题考查了图形的剪拼，正方形的面积，算术平方根，实数与数轴，巧妙地根据网格的特

点画出正方形是解此题的关键．

2．（1）棱长为4；（2）边长为：（或）

【分析】

（1）由立方体的体积为棱长的立方可以得到答案；（2）用勾股定理直接计算

得到答案．

【详解】

解：（1）设正方体的棱长为，则，所以，即正方体的棱长为4．

解析：（1）棱长为4；（2）边长为：8（或22）

【分析】

（1）由立方体的体积为棱长的立方可以得到答案；（2）用勾股定理直接计算得到答案．

【详解】

解：（1）设正方体的棱长为x，则x364，所以x4，即正方体的棱长为4．

（2）因为正方体的棱长为4，所以AB＝2222822．

【点睛】

本题考查的是立方根与算术平方根的理解与计算，由实际的情境去理解问题本身就是求一

个数的立方根与算术平方根是关键．

3．(1)长是1.5m,宽是0.5m.；（2）不能.

【解析】

【分析】

（1）设每块小长方形地砖的长为xm,宽为ym,列方程组求解即可；

（2）把正方形的边长与大长方形的长比较即可.

【详解】

解:

解析：(1)长是1.5m,宽是0.5m.；（2）不能.

【解析】

【分析】

（1）设每块小长方形地砖的长为xm,宽为ym,列方程组求解即可；

（2）把正方形的边长与大长方形的长比较即可.

【详解】

解:（1）设每块小长方形地砖的长为xm,宽为ym,由题意得:

x3y

xy2,

x1.5

解得:y0.5,

∴长是1.5m,宽是0.5m.

（2）∵正方形的面积为7平方米，

∴正方形的边长是7米，

∵

7<3,

∴他不能剪出符合要求的桌布.

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用，算术平方根的应用，找出等量关系列出方程组是解

（1）的关键，求出正方形的边长是解（2）的关键.

4．（1）S=13，边长为；（2）6

【详解】

分析：(1)、利用正方形的面积减去四个直角三角形的面积得出阴影部分的面

积，从而得出正方形的边长；(2)、根据无理数的估算得出a和b的值，然后得

出答案．

解析：（1）S=13，边长为13；（2）6

【详解】

分析：(1)、利用正方形的面积减去四个直角三角形的面积得出阴影部分的面积，从而得出

正方形的边长；(2)、根据无理数的估算得出a和b的值，然后得出答案．

详解：解：（1）S=25-12=13,边长为

(2)a=3，b=

-3原式=9+

-3-

，

=6．

点睛：本题主要考查的就是无理数的估算，属于中等难度的题型．解决这个问题的关键就

是根据正方形的面积得出边长．

5．不能截得长宽之比为，且面积为cm2的长方形纸片，见解析

【分析】

根据拼图求出大正方形的边长，再根据长方形的长、宽之比为3：2，计算长方

形的长与宽进行验证即可．

【详解】

解：不能，

因为大正方形纸

解析：不能截得长宽之比为3:2，且面积为30cm2的长方形纸片，见解析

【分析】

根据拼图求出大正方形的边长，再根据长方形的长、宽之比为3：2，计算长方形的长与宽

进行验证即可．

【详解】

解：不能，

因为大正方形纸片的面积为（18）2+（18）2=36（cm2），

所以大正方形的边长为6cm，

设截出的长方形的长为3bcm，宽为2bcm，

则6b2=30，

所以b=5（取正值），

所以3b=35=45＞36，

所以不能截得长宽之比为3：2，且面积为30cm2的长方形纸片．

【点睛】

本题考查了算术平方根，理解算术平方根的意义是正确解答的关键．

二、解答题

6．（1）见解析；（2）见解析；（3）40°

【分析】

（1）根据平行线的性质和判定解答即可；

（2）过点H作HP∥AB，根据平行线的性质解答即可；

（3）过点H作HP∥AB，根据平行线的性质解答即可．

解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）40°

【分析】

（1）根据平行线的性质和判定解答即可；

（2）过点H作HP∥AB，根据平行线的性质解答即可；

（3）过点H作HP∥AB，根据平行线的性质解答即可．

【详解】

证明：（1）∵AB∥CD，

∴∠AFE＝∠FED，

∵∠AGH＝∠FED，

∴∠AFE＝∠AGH，

∴EF∥GH，

∴∠FEH+∠H＝180°，

∵FE⊥HE，

∴∠FEH＝90°，

∴∠H＝180°﹣∠FEH＝90°，

∴HG⊥HE；

（2）过点M作MQ∥AB，

∵AB∥CD，

∴MQ∥CD，

过点H作HP∥AB，

∵AB∥CD，

∴HP∥CD，

∵GM平分∠HGB，

∴∠BGM＝∠HGM＝1∠BGH，

2

∵EM平分∠HED，

∴∠HEM＝∠DEM＝1∠HED，

2

∵MQ∥AB，

∴∠BGM＝∠GMQ，

∵MQ∥CD，

∴∠QME＝∠MED，

∴∠GME＝∠GMQ+∠QME＝∠BGM+∠MED，

∵HP∥AB，

∴∠BGH＝∠GHP＝2∠BGM，

∵HP∥CD，

∴∠PHE＝∠HED＝2∠MED，

∴∠GHE＝∠GHP+∠PHE＝2∠BGM+2∠MED＝2（∠BGM+∠MED），

∴∠GHE＝∠2GME；

（3）过点M作MQ∥AB，过点H作HP∥AB，

由∠KFE：∠MGH＝13：5，设∠KFE＝13x，∠MGH＝5x，

由（2）可知：∠BGH＝2∠MGH＝10x，

∵∠AFE+∠BFE＝180°，

∴∠AFE＝180°﹣10x，

∵FK平分∠AFE，

∴∠AFK＝∠KFE＝1∠AFE，

2

1

即(18010x)13x，

2

解得：x＝5°，

∴∠BGH＝10x＝50°，

∵HP∥AB，HP∥CD，

∴∠BGH＝∠GHP＝50°，∠PHE＝∠HED，

∵∠GHE＝90°，

∴∠PHE＝∠GHE﹣∠GHP＝90°﹣50°＝40°，

∴∠HED＝40°．

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质定理以及灵活构造平行线

是解题的关键．

7．（1）60°；（2）n°+40°；（3）n°+40°或n°-40°或220°-n°

【分析】

（1）过点E作EF∥AB，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED的度

数；

（2）同（1）中方法求解

解析：（1）60°；（2）n°+40°；（3）n°+40°或n°-40°或220°-n°

【分析】

（1）过点E作EF∥AB，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED的度数；

（2）同（1）中方法求解即可；

（3）分当点B在点A左侧和当点B在点A右侧，再分三种情况，讨论，分别过点E作

EF∥AB，由角平分线的定义，平行线的性质，以及角的和差计算即可．

【详解】

解：（1）当n=20时，∠ABC=40°，

过E作EF∥AB，则EF∥CD，

∴∠BEF=∠ABE，∠DEF=∠CDE，

∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，

∴∠BEF=∠ABE=20°，∠DEF=∠CDE=40°，

∴∠BED=∠BEF+∠DEF=60°；

（2）同（1）可知：

∠BEF=∠ABE=n°，∠DEF=∠CDE=40°，

∴∠BED=∠BEF+∠DEF=n°+40°；

（3）当点B在点A左侧时，由（2）可知：∠BED=n°+40°；

当点B在点A右侧时，

如图所示，过点E作EF∥AB，

∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=2n°，∠ADC=80°，

∴∠ABE=1∠ABC=n°，∠CDG=1∠ADC=40°，

2

2

∵AB∥CD∥EF，

∴∠BEF=∠ABE=n°，∠CDG=∠DEF=40°，

∴∠BED=∠BEF-∠DEF=n°-40°；

如图所示，过点E作EF∥AB，

∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=2n°，∠ADC=80°，

∴∠ABE=1∠ABC=n°，∠CDG=1∠ADC=40°，

2

2

∵AB∥CD∥EF，

∴∠BEF=180°-∠ABE=180°-n°，∠CDE=∠DEF=40°，

∴∠BED=∠BEF+∠DEF=180°-n°+40°=220°-n°；

如图所示，过点E作EF∥AB，

∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=n°，∠ADC=70°，

∴∠ABG=1∠ABC=n°，∠CDE=1∠ADC=40°，

2

2

∵AB∥CD∥EF，

∴∠BEF=∠ABG=n°，∠CDE=∠DEF=40°，

∴∠BED=∠BEF-∠DEF=n°-40°；

综上所述，∠BED的度数为n°+40°或n°-40°或220°-n°．

【点睛】

此题考查了平行线的判定与性质，以及角平分线的定义，正确应用平行线的性质得出各角

之间关系是解题关键．

8．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）120°．

【分析】

（1）过点A作AD∥MN，根据两直线平行，内错角相等得到∠MCA＝∠DAC，

∠PBA＝∠DAB，根据角的和差等量代换即可得解；

（2）

解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）120°．

【分析】

（1）过点A作AD∥MN，根据两直线平行，内错角相等得到∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝

∠DAB，根据角的和差等量代换即可得解；

（2）由两直线平行，同旁内角互补得到∴、∠CAB+∠ACD＝180°，由邻补角定义得到

∠ECM+∠ECN＝180°，再等量代换即可得解；

（3）由平行线的性质得到，∠FAB＝120°﹣∠GCA，再由角平分线的定义及平行线的性质

得到∠GCA﹣∠ABF＝60°，最后根据三角形的内角和是180°即可求解．

【详解】

解：（1）证明：如图1，过点A作AD∥MN，

∵MN∥PQ，AD∥MN，

∴AD∥MN∥PQ，

∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，

∴∠CAB＝∠DAC+∠DAB＝∠MCA+∠PBA，

即：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；

（2）如图2，∵CD∥AB，

∴∠CAB+∠ACD＝180°，

∵∠ECM+∠ECN＝180°，

∵∠ECN＝∠CAB

∴∠ECM＝∠ACD，

即∠MCA+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，

∴∠MCA＝∠DCE；

（3）∵AF∥CG，

∴∠GCA+∠FAC＝180°，

∵∠CAB＝60°

即∠GCA+∠CAB+∠FAB＝180°，

∴∠FAB＝180°﹣60°﹣∠GCA＝120°﹣∠GCA，

由（1）可知，∠CAB＝∠MCA+∠ABP，

∵BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，

∴∠ACN＝2∠GCA，∠ABP＝2∠ABF，

又∵∠MCA＝180°﹣∠ACN，

∴∠CAB＝180°﹣2∠GCA+2∠ABF＝60°，

∴∠GCA﹣∠ABF＝60°，

∵∠AFB+∠ABF+∠FAB＝180°，

∴∠AFB＝180°﹣∠FAB﹣∠FBA

＝180°﹣（120°﹣∠GCA）﹣∠ABF

＝180°﹣120°+∠GCA﹣∠ABF

＝120°．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，线段、角、相交线与平行线，准确的推导是解决本题的关

键．

9．（1）65°；（2）；（3）2n∠M+∠BED=360°

【分析】

（1）首先作EG∥AB，FH∥AB，连结MF，利用平行线的性质可得

∠ABE+∠CDE=260°，再利用角平分线的定义得到∠ABF+

解析：（1）65°；（2）3606；（3）2n∠M+∠BED=360°

【分析】

（1）首先作EG∥AB，FH∥AB，连结MF，利用平行线的性质可得∠ABE+∠CDE=260°，再

利用角平分线的定义得到∠ABF+∠CDF=130°，从而得到∠BFD的度数，再根据角平分线的

定义和三角形外角的性质可求∠M的度数；

（2）先由已知得到∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，由（1）得∠ABE+∠CDE=360°-

∠BED，∠M=∠ABM+∠CDM，等量代换即可求解；

（3）由（2）的方法可得到2n∠M+∠BED=360°．

【详解】

解：（1）如图1，作EG//AB，FH//AB，连结MF，

AB//CD，

EG//AB//FH//CD，

ABFBFH，CDFDFH，ABEBEG180，GEDCDE180，

ABEBEGGEDCDE360，

BEDBEGDEG100，

ABECDE260，

ABE和CDE的角平分线相交于E，

ABFCDF130，

BFDBFHDFH130，

BM、DM分别是ABF和CDF的角平分线，

MBF1ABF，MDF1CDF，

2

2

MBFMDF65，

BMD1306565；

（2）如图1，ABMABF，CDM1CDF，

1

3

3

ABF3ABM，CDF3CDM，

ABE与CDE两个角的角平分线相交于点F，

ABE6ABM，CDE6CDM，

6ABM6CDMBED360，

BMDABMCDM，

6BMDBED360，

BMD360；

6

（3）由（2）结论可得，2nABM2nCDME360，MABMCDM，

则2nMBED360．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质和四边形的内角和，关键在于掌握两直线平行同位角相等，

内错角相等，同旁内角互补的性质．

10．（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行；

∠CPH；∠APH，∠CPH；（2）①∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立，理由见

解答过程；②3∠PMQ+∠A+∠C＝360°．

解析：（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行；∠CPH；

∠APH，∠CPH；（2）①∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立，理由见解答过程；

②3∠PMQ+∠A+∠C＝360°．

【分析】

（1）根据平行线的判定与性质即可完成填空；

（2）结合（1）的辅助线方法即可完成证明；

（3）结合（1）（2）的方法，根据∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，

∠PMQ+∠MPQ+∠PQM＝180°，即可证明∠PMQ，∠A与∠C的数量关系．

【详解】

解：过点P作直线PH∥AB，

所以∠A＝∠APH，依据是两直线平行，内错角相等；

因为AB∥CD，PH∥AB，

所以PH∥CD，依据是平行于同一条直线的两条直线平行；

所以∠C＝（∠CPH），

所以∠APC＝（∠APH）+（∠CPH）＝∠A+∠C＝97°．

故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行；∠CPH；

∠APH，∠CPH；

（2）①如图2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立，理由如下：

过点P作直线PH∥AB，QG∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥PH∥QG，

∴∠A＝∠APH，∠C＝∠CQG，∠HPQ+∠GQP＝180°，

∴∠APQ+∠PQC＝∠APH+∠HPQ+∠GQP+∠CQG＝∠A+∠C+180°．

∴∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立；

②如图3，

过点P作直线PH∥AB，QG∥AB，MN∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥PH∥QG∥MN，

∴∠A＝∠APH，∠C＝∠CQG，∠HPQ+∠GQP＝180°，∠HPM＝∠PMN，∠GQM＝

∠QMN，

∴∠PMQ＝∠HPM+∠GQM，

∵∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠PMQ+∠MPQ+∠PQM＝180°，

∴∠APM+∠CQM＝∠A+∠C+∠PMQ＝2∠MPQ+2∠MQP＝2（180°﹣∠PMQ），

∴3∠PMQ+∠A+∠C＝360°．

【点睛】

考核知识点：平行线的判定和性质．熟练运用平行线性质和判定，添加适当辅助线是关

键．

三、解答题

11．（1）见解析；（2）100°；（3）不变，40°

【分析】

（1）如图1，延长交于点，根据，，可得，所以，可得，又，进而可得结论；

（2）如图2，作，，根据，可得，根据平行线的性质得角之间的关系，再

解析：（1）见解析；（2）100°；（3）不变，40°

【分析】

（1）如图1，延长DE交AB于点F，根据ACBBED180，CEDBED180，可

得ACBCED，所以AC//DF，可得ADFB，又AD，进而可得结论；

（2）如图2，作EM//CD，HN//CD，根据AB//CD，可得AB//EM//HN//CD，根据平

行线的性质得角之间的关系，再根据DEB比DHB大60，列出等式即可求DEB的度

数；

（3）如图3，过点E作ES//CD，设直线DF和直线BP相交于点G，根据平行线的性质和

角平分线定义可求PBM的度数．

【详解】

解：（1）证明：如图1，延长DE交AB于点F，

ACBBED180，CEDBED180，

ACBCED，

AC//DF，

ADFB，

AD，

DFBD，

AB//CD；

（2）如图2，作EM//CD，HN//CD，

AB//CD，

AB//EM//HN//CD，

1EDF180，MEBABE，

BG平分ABE，

ABG1ABE，

2

AB//HN，

2ABG，

CF//HN，

23，

1ABE3，

2

DH平分EDF，

31EDF，

2

1ABE1EDF，

2

2

1(EDFABE)，

2

EDFABE2，

设DEB，

1MEB180EDFABE180(EDFABE)1802，

DEB比DHB大60，

60，

1802(60)

解得100

DEB的度数为100；

（3）PBM的度数不变，理由如下：

如图3，过点E作ES//CD，设直线DF和直线BP相交于点G，

BM平分EBK，DN平分CDE，

EBMMBK1EBK，

2

CDNEDN1CDE，

2

ES//CD，AB//CD，

ES//AB//CD，

DESCDE，

BESABE180EBK，

GPBK，

由（2）可知：DEB100，

CDE180EBK100，

EBKCDE80，

BP//DN，

CDNG，

PBKGCDN1CDE，

2

PBMMBKPBK

1EBK1CDE

2

2

1(EBKCDE)

2

180

2

40．

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．

12．（1）∠DAC；（2）360°；（3）65°

【分析】

（1）根据平行线的性质即可得到结论；

（2）过C作CF∥AB根据平行线的性质得到∠D=∠FCD，∠B=∠BCF，然后根据

已知条件即可得到结论；

解析：（1）∠DAC；（2）360°；（3）65°

【分析】

（1）根据平行线的性质即可得到结论；

（2）过C作CF∥AB根据平行线的性质得到∠D=∠FCD，∠B=∠BCF，然后根据已知条件即

可得到结论；

（3）过点E作EF∥AB，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED的度数．

【详解】

解：（1）过点A作ED∥BC，

∴∠B=∠EAB，∠C=∠DCA，

又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°，

∴∠B+∠BAC+∠C=180°．

故答案为：∠DAC；

（2）过C作CF∥AB，

∵AB∥DE，

∴CF∥DE，

∴∠D=∠FCD，

∵CF∥AB，

∴∠B=∠BCF，

∵∠BCF+∠BCD+∠DCF=360°，

∴∠B+∠BCD+∠D=360°；

（3）如图3，过点E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF，

∴∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，

∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=60°，∠ADC=70°，

∴∠ABE=1∠ABC=30°，∠CDE=1∠ADC=35°，

2

2

∴∠BED=∠BEF+∠DEF=30°+35°=65°．

【点睛】

此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线，利用平行线的性质进行

推算．

13．（1）；（2）①；②．

【分析】

（1）依据角平分线的定义可求得，再依据角的和差依次可求得和，根据邻补角

的性质可求得结论；

（2）①根据角相等和角的和差可得∠EOC=∠BOD，再根据比例关系可得，最

解析：（1）AOE90；（2）①AOE80；②AOE(12060n)．

n1

【分析】

（1）依据角平分线的定义可求得COD30，再依据角的和差依次可求得EOC和

BOE，根据邻补角的性质可求得结论；

（2）①根据角相等和角的和差可得∠EOC=∠BOD，再根据比例关系可得BOD，最后依

据角的和差和邻补角的性质可求得结论；

②根据角相等和角的和差可得∠EOC=∠BOD，再根据比例关系可得BOD，最后依据角的

和差和邻补角的性质可求得结论．

【详解】

解：（1）∵OD平分BOC，BOCEOD60，

∴COD1BOC30，

2

∴EOCEODCOD30，

∴BOEEOCBOC90，

∴AOE180BOE90；

（2）①∵BOCEOD，

∴∠EOC+∠COD=∠BOD+∠COD，

∴∠EOC=∠BOD，

∵BOC60，COD:BOD1:2，

∴BOD60240，

3

∴EOCBOD40，

∴BOEEOCBOC100，

∴AOE180BOE80；

②∵BOCEOD，

∴∠EOC+∠COD=∠BOD+∠COD，

∴∠EOC=∠BOD，

∵BOC60，COD:BOD1:n，

∴BOD60n(60n)，

n1n1

∴EOCBOD(60n)，

n1

∴BOEEOCBOC(60n60)，

n1

∴AOE180BOE(12060n)．

n1

【点睛】

本题考查邻补角的计算，角的和差，角平分线的有关计算．能正确识图，利用角的和差求

得相应角的度数是解题关键．

14．（1），；（2）15秒或63秒；（3）不发生变化，

【分析】

（1）利用非负数的性质解决问题即可．

（2）分三种情形，利用平行线的性质构建方程即可解决问题．

（3）由参数表示，即可判断．

【详解】

解析：（1）a4，b1；（2）15秒或63秒；（3）不发生变化，3BAC4BCD

【分析】

（1）利用非负数的性质解决问题即可．

（2）分三种情形，利用平行线的性质构建方程即可解决问题．

（3）由参数t表示BAC，BCD即可判断．

【详解】

解：（1）∵a4bab520,

∴a4b0,

ab50

a4，b1；

（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，

①当0t45时，

4t(45t)1，

解得t15；

②当45t90时，

4t180180t45，

解得t63；

③当90t135时，

4t360t45，

解得t135，（不合题意）

综上所述，当t=15秒或63秒时，两灯的光束互相平行；

（3）设A灯转动时间为t秒，

CAN1804t，

BAC60(1804t)4t120，

又PQ//MN，

BCACBDCANt1804t1803t，

而ACD90，

BCD90BCA90(1803t)3t90，

BAC:BCD4:3，

即3BAC4BCD．

【点睛】

本题考查平行线的性质和判定，非负数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用

参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．

15．（1）60°；（2）①6s；②s或s

【分析】

（1）利用平行线的性质角平分线的定义即可解决问题．

（2）①首先证明∠GBC=∠DCN=30°，由此构建方程即可解决问题．

②分两种情形：如图③中，当

解析：（1）60°；（2）①6s；②

10s70s

或

3

3

【分析】

（1）利用平行线的性质角平分线的定义即可解决问题．

（2）①首先证明∠GBC=∠DCN=30°，由此构建方程即可解决问题．

②分两种情形：如图③中，当BG∥HK时，延长KH交MN于R．根据∠GBN=∠KRN构建

方程即可解决问题．如图③-1中，当BG∥HK时，延长HK交MN于R．根据

∠GBN+∠KRM=180°构建方程即可解决问题．

【详解】

解：（1）如图①中，

∵∠ACB=30°，

∴∠ACN=180°-∠ACB=150°，

∵CE平分∠ACN，

∴∠ECN=1∠ACN=75°，

2

∵PQ∥MN，

∴∠QEC+∠ECN=180°，

∴∠QEC=180°-75°=105°，

∴∠DEQ=∠QEC-∠CED=105°-45°=60°．

（2）①如图②中，

∵BG∥CD，

∴∠GBC=∠DCN，

∵∠DCN=∠ECN-∠ECD=75°-45°=30°，

∴∠GBC=30°，

∴5t=30，

∴t=6s．

∴在旋转过程中，若边BG∥CD，t的值为6s．

②如图③中，当BG∥HK时，延长KH交MN于R．

∵BG∥KR，

∴∠GBN=∠KRN，

∵∠QEK=60°+4t，∠K=∠QEK+∠KRN，

∴∠KRN=90°-（60°+4t）=30°-4t，

∴5t=30°-4t，

∴t=10s．

3

如图③-1中，当BG∥HK时，延长HK交MN于R．

∵BG∥KR，

∴∠GBN+∠KRM=180°，

∵∠QEK=60°+4t，∠EKR=∠PEK+∠KRM，

∴∠KRM=90°-（180°-60°-4t）=4t-30°，

∴5t+4t-30°=180°，

∴t=70s．

3

综上所述，满足条件的t的值为

10s70s

3或3．

【点睛】

本题考查几何变换综合题，考查了平行线的性质，旋转变换，角平分线的定义等知识，解

题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问

题，属于中考压轴题．

四、解答题

16．（1）120°；（2）∠EPF=∠AEP+∠CFP或∠AEP=∠EPF+∠CFP，证明见详

解．

【分析】

（1）根据题意，当点与点、在一直线上时，作出图形，由AB∥CD，

∠FHP=60°，可以推出

解析：（1）120°；（2）∠EPF=∠AEP+∠CFP或∠AEP=∠EPF+∠CFP，证明见详解．

【分析】

（1）根据题意，当点P与点E、F在一直线上时，作出图形，由AB∥CD，∠FHP=60°，可

以推出GEPEGP=60°，计算∠PFD即可；

（2）根据点P是动点，分三种情况讨论：①当点P在AB与CD之间时；②当点P在AB

上方时；③当点P在CD下方时，分别求出∠AEP、∠EPF、∠CFP之间的关系即可．

【详解】

（1）当点P与点E、F在一直线上时，作图如下，

∵AB∥CD，∠FHP=60°，GEPEGP，

∴GEPEGP=∠FHP=60°，

∴∠EFD=180°-∠GEP=180°-60°=120°，

∴∠PFD=120°，

故答案为：120°；

（2）满足关系式为∠EPF=∠AEP+∠CFP或∠AEP=∠EPF+∠CFP．

证明：根据点P是动点，分三种情况讨论：

①当点P在AB与CD之间时，

过点P作PQ∥AB，如下图，

∵AB∥CD，

∴PQ∥AB∥CD，

∴∠AEP=∠EPQ，∠CFP=∠FPQ，

∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=∠AEP+∠CFP，

即∠EPF=∠AEP+∠CFP；

②当点P在AB上方时，如下图所示，

∵∠AEP=∠EPF+∠EQP，

∵AB∥CD，

∴∠CFP=∠EQP，

∴∠AEP=∠EPF+∠CFP；

③当点P在CD下方时，

∵AB∥CD，

∴∠AEP=∠EQF，

∴∠EQF=∠EPF+∠CFP，

∴∠AEP=∠EPF+∠CFP，

综上所述，∠AEP、∠EPF、∠CFP之间满足的关系式为：∠EPF=∠AEP+∠CFP或

∠AEP=∠EPF+∠CFP，

故答案为：∠EPF=∠AEP+∠CFP或∠AEP=∠EPF+∠CFP．

【点睛】

本题考查了平行线的性质，外角的性质，掌握平行线的性质是解题的关键，注意分情况讨

论问题．

17．解决问题：6；拓展延伸：（1）S1=2S2（2）10.5

【解析】

试题分析：解决问题：连接AE，根据操作示例得到S△ADE=S△BDE，

S△ABE=S△AEC，从而得到结论；

拓展延伸：（1）

解析：解决问题：6；拓展延伸：（1）S1=2S2（2）10.5

【解析】

试题分析：解决问题：连接AE，根据操作示例得到S△ADE=S△BDE，S△ABE=S△AEC，从而得到结

论；

拓展延伸：（1）作△ABD的中线AE，则有BE=ED=DC，从而得到△ABE的面积=△AED的

面积=△ADC的面积，由此即可得到结论；

（2）连接AO．则可得到△BOD的面积=△BOC的面积，△AOC的面积=△AOD的面积，

△EOC的面积=△BOC的面积的一半，△AOB的面积=2△AOE的面积．设△AOD的面积

=a，△AOE的面积=b，则a+3=2b，a=b+1.5，求出a、b的值，即可得到结论．

试题解析：解：解决问题

连接AE．∵点D、E分别是边AB、BC的中点，∴S△ADE=S△BDE，S△ABE=S△AEC．∵S△BDE=2，

∴S△ADE=2，∴S△ABE=S△AEC=4，∴四边形ADEC的面积=2+4=6．

拓展延伸：

解：（1）作△ABD的中线AE，则有BE=ED=DC，∴△ABE的面积=△AED的面积=△ADC的

面积=S2，∴S1=2S2．

（2）连接AO．∵CO=DO，∴△BOD的面积=△BOC的面积=3，△AOC的面积=△AOD的面

积．∵BO=2EO，∴△EOC的面积=△BOC的面积的一半=1.5，△AOB的面积=2△AOE的面

积．设△AOD的面积=a，△AOE的面积=b，则a+3=2b，a=b+1.5，解得：a=6，b=4.5，∴四

边形ADOE的面积为=a+b=6+4.5=10.5．

18．∠DPC=+，理由见解析；（1）70；(2)∠DPC=-，理由见解析.

【解析】（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性

质得出∠=∠DPE，∠=∠C

解析：∠DPC=+，理由见解析；（1）70；(2)∠DPC=-，理由见解析.

【解析】（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出

∠=∠DPE，∠=∠CPE，即可得出答案；

（2）化成图形，根据平行线的性质得出∠=∠DPE，∠=∠CPE，即可得出答案．

【问题探究】解：∠DPC=+

如图，

过P作PH∥DF

∵DF∥CE,

∴∠PCE=∠1=，∠PDF=∠2

∵∠DPC=∠2+∠1=+

【问题迁移】（1）70

（图1）

（图2）

(2)如图1，∠DPC=-

∵DF∥CE,

∴∠PCE=∠1=，

∵∠DPC=∠1-∠FDP=∠1-．

∴∠DPC=-

如图2，∠DPC=-

∵DF∥CE,

∴∠PDF=∠1=

∵∠DPC=∠1-∠ACE=∠1-．

∴∠DPC=-

19．（1）∠AEB的大小不会发生变化，∠ACB=45°；（2）30°，60°；（3）60°

或72°．

【分析】

（1）由直线MN与直线PQ垂直相交于O，得到∠AOB＝90°，根据三角形的外

角的性质得到∠

解析：