机电控制工程基础-第2版课件第4章-系统的频域分析

第四章系统的频域分析频率特性的基本概念幅相频率特性——奈奎斯特图对数频率特性——伯德图频率响应频率响应线性定常系统输入正弦信号

稳态响应

系统的输入与输出频率响应ω——输入信号的频率Xi——输入信号的振幅xo(t)——频率响应A(ω)——幅频特性Xo(ω)——输出信号的振幅φ(ω)——相位差系统的输入与稳态输出输出信号的频率与输入信号相同，幅值变小，相位滞后。频率特性输出信号的相位与输入信号的相位之差。(1)幅频特性(2)相频特性输出信号的幅值与输入信号的幅值之比。(3)频率特性幅频特性与相频特性的总称。记作：(1)利用关系式求取频率特性的求取方法稳态输出幅频特性相频特性频率特性(2)根据系统的传递函数求取频率特性的求取方法复变函数幅频特性相频特性实频特性虚频特性(2)根据系统的传递函数求取频率特性的求取方法传递函数频率特性幅频特性相频特性稳态输出1）改变输入谐波信号Xiejφ(ω)的频率ω，测出与此相应的输出幅值Xo(ω)与相位差φ(ω)；2）作出幅值比Xo(ω)/Xi对频率ω的函数曲线，即幅频特性曲线；3）作出相位φ(ω)对频率ω的函数曲线，即相频特性曲线。(3)用实验方法求取频率特性的求取方法频率特性的极坐标图（Nyquist图）

当ω从0→∞时，G(jω)端点在复平面相对应的轨迹。典型环节的Nyquist图(1)比例环节传递函数G(s)=K频率特性G(jω)=K幅频特性|G(jω)|=K相频特性∠G(jω)=0°实频特性

u(ω)=K虚频特性

v(ω)=0当ω从0→∞时，Nyquist图为实轴上的一定点，坐标为(K，j0)。

典型环节的Nyquist图

(2)积分环节传递函数G(s)=1/s频率特性G(jω)=幅频特性|G(jω)|=1/ω相频特性∠G(jω)=-90°实频特性u(ω)=0虚频特性

v(ω)=当ω从0→∞时，幅频特性由∞→0，相位与ω无关。Nyquist图是虚轴的下半轴，由无穷远点指向原点。典型环节的Nyquist图(3)微分环节传递函数G(s)=s频率特性G(jω)=jω幅频特性|G(jω)|=ω相频特性∠G(jω)=90°实频特性u(ω)=0虚频特性

v(ω)=ω当ω从0→∞时，幅频特性由0→∞，相位与ω无关。Nyquist图是虚轴的上半轴，由原点指向无穷远点。典型环节的Nyquist图(4)惯性环节传递函数频率特性幅频特性相频特性实频特性虚频特性

当ω从0→∞时，Nyquist图为一个半圆。典型环节的Nyquist图(5)一阶微分环节传递函数G(s)=Ts+1频率特性G(jω)=jTω+1幅频特性相频特性实频特性虚频特性当ω从0→∞时，Nyquist图是在第一象限内过(1,j0)点且平行于虚轴的一条直线。典型环节的Nyquist图(6)振荡环节传递函数频率特性幅频特性相频特性

典型环节的Nyquist图(6)振荡环节当ω从0→∞(λ从0→∞)时，幅频特性由1→0，相频特性由0°→-180°。Nyquist图始于点(1,j0)，终于点(0,j0)，曲线和虚轴交点的频率就是无阻尼固有频率ωn，此时的幅值为1/2ξ，曲线在第三、四象限，ξ取值不同，Nyquist图的形状也不同。典型环节的Nyquist图ξ≤0.707时，幅频特性曲线将会出现峰值Mr谐振频率(6)振荡环节典型环节的Nyquist图(7)二阶微分环节传递函数频率特性幅频特性相频特性当ω从0→∞时，Nyquist图始于点(1,j0)，终于点(-∞,j∞)，曲线和虚轴交点的频率就是无阻尼固有频率，此时的幅值是2ξ，曲线在第一、二象限，ξ取值不同，Nyquist图的形状也不同。典型环节的Nyquist图(8)延迟环节传递函数G(s)=e-τs频率特性

G(jω)=e-jτω

=cosτω-jsinτω幅频特性|G(jω)|=1相频特性∠G(jω)=-τω实频特性cosτω虚频特性

-sinτωNyquist图是一单位圆，其幅值恒为1，相位∠G(jω)则随ω顺时针方向的变化成正比，即端点在单位圆上无限循环。系统的Nyquist图绘制方法（1）由频率特性G(jω)求出实频特性u(ω)和虚频特性v(ω)，写出系统的幅频特性|G(jω)|和相频特性∠G(jω)的表达式；（2）求出若干特征点，如ω=0、ω=∞、曲线与实轴的交点Im[G(jω)]=0、与虚轴的交点Re[G(jω)]=0，及对应点的|G(jω)|和∠G(jω)；（3）补充必要的中间几点，绘出Nyquist的大致图形。系统由若干个典型环节串联组成，绘制Nyquist图时，需要将这些环节频率特性中对应的矢量模相乘，相角相加，绘出Nyquist的概略图即可。系统的传递函数为

，试绘制其Nyquist图。解：系统的频率特性该系统为I型系统，由比例环节、积分环节和惯性环节所组成。幅频特性相频特性当ω=0时，|G(jω)|=∞，∠G(jω)=－90°；当ω→∞时，|G(jω)|=0，∠G(jω)=－180°。当ω→0时，曲线的渐进线Re→－KT，Im→－∞。系统的传递函数为

，试绘制其Nyquist图。解：系统的频率特性该系统为I型系统，由比例环节、积分环节和两个惯性环节所组成。幅频特性相频特性当ω=0时，|G(jω)|=∞，∠G(jω)=－90°，u(0)→－K(T1+T2)，v(0)→－∞；当ω→∞时，|G(jω)|=0，∠G(jω)=－270°，

u(∞)→0，v(∞)→0。Nyquist曲线在第Ⅱ和第Ⅲ象限，以－K(T1+T2)为渐近线。与实轴交点：v(ω)=0求得，系统的传递函数为

，试绘制其Nyquist图。解：系统的频率特性该系统为I型系统，由比例环节、两个积分环节和惯性环节所组成。幅频特性相频特性当ω=0时，|G(jω)|=∞，∠G(jω)=－180°，u(0)→－∞，v(0)→－∞；当ω→∞时，|G(jω)|=0，∠G(jω)=－360°，

u(∞)→0，v(∞)→0。Nyquist曲线在第Ⅰ和第Ⅱ象限。与虚轴交点：u(ω)=0求得，系统传递函数为

，绘制其Nyquist图。解：系统的频率特性该系统为I型系统，由比例环节、积分环节、一阶微分环节和惯性环节所组成。幅频特性相频特性当ω=0时，|G(jω)|=∞，∠G(jω)=－90°，u(0)→

K(T1-T2)>0

，v(0)→∞；当ω→∞时，|G(jω)|=0，∠G(jω)=－90°，

u(∞)→0，v(∞)→0。若传递函数含有一阶微分环节，Nyquist图发生弯曲。

Nyquist图的一般形状(1)0型系统当ω=0时，|G(jω)|=K，∠G(jω)=0°；当ω→∞时，|G(jω)|=0，∠G(jω)=－(n－m)×90°。因此，0型系统Nyquist曲线起始于正实轴上的K点，终止于原点，由第几象限趋于原点取决于∠G(jω)=－(n－m)×90°(2)Ⅰ型系统当ω=0时，|G(jω)|=∞，∠G(jω)=－90°；当ω→∞时，|G(jω)|=0，∠G(jω)=－(n－m)×90°。因此，Ⅰ型系统Nyquist曲线的渐近线在低频段趋于负虚轴，在高频段趋于原点，由第几象限趋于原点取决于∠G(jω)=－(n－m)×90°Nyquist图的一般形状(3)Ⅱ型系统当ω=0时，|G(jω)|=∞，∠G(jω)=－180°；当ω→∞时，|G(jω)|=0，∠G(jω)=－(n－m)×90°。因此，Ⅱ型系统Nyquist曲线的渐近线在低频段趋于负实轴，高频段趋于原点，由第几象限趋于原点取决于∠G(jω)=－(n－m)×90°(4)当G(s)包含有振荡环节时，上述结论不变。(5)当G(s)包含有一阶微分环节时，相位非单调下降，Nyquist曲线发生“弯曲”。频率特性的对数坐标图（Bode图）Bode图横坐标频率特性的对数坐标图（Bode图）Bode图纵坐标L(ω)=20lg|G(jω)|G(jω)比例环节传递函数G(s)=K频率特性

G(jω)=K对数幅频特性

L(ω)=20lg|G(jω)|=20lgK对数相频特性

φ(ω)=∠G(jω)=0°典型环节的Bode图对数幅频特性曲线是一条高度为20lgK的水平直线；对数相频特性曲线是与0°重合的一直线。(2)积分环节传递函数频率特性对数幅频特性对数相频特性典型环节的Bode图对数幅频特性曲线是一条过(1,0)点，斜率为－20dB/dec的直线。对数相频特性曲线为一条－90°的水平线。(2)二重积分环节传递函数频率特性对数幅频特性对数相频特性典型环节的Bode图对数幅频特性曲线是一条过(1,0)点，斜率为－40dB/dec的直线。对数相频特性曲线为一条－180°的水平线。典型环节的Bode图(3)微分环节传递函数频率特性对数幅频特性对数相频特性对数幅频特性曲线是一条过(1,0)点，斜率为20dB/dec的直线。对数相频特性曲线为一条90°的水平线。当ω<<ωT时，L(ω)≈0dBφ(ω)=0°当ω>>ωT时，L(ω)≈20lgωT－20lgω

φ(ω)=－90°典型环节的Bode图(4)惯性环节传递函数频率特性对数幅频特性对数相频特性转角频率ωT在低频段的渐近线为0dB线，相频特性为0°;在高频段的渐近线是－20dB/dec的直线，相频特性为－90°。典型环节的Bode图(5)一阶微分环节传递函数频率特性对数幅频特性对数相频特性当ω<<ωT时，L(ω)≈0dBφ(ω)=0°当ω>>ωT时，L(ω)≈20lgω－20lgωT

φ(ω)=90°在低频段的渐近线为0dB线，相频特性为0°;在高频段的渐近线是20dB/dec的直线，相频特性为90°。当ω<<ωn(λ≈0)时，L(ω)≈0dB

φ(ω)=0°当ω>>ωn

(λ>>1)时，L(ω)≈-40lgλ

φ(ω)=-180°典型环节的Bode图(6)振荡环节传递函数频率特性对数幅频特性对数相频特性在低频段的渐近线为0dB线，相频特性为0°;在高频段的渐近线是-40dB/dec的直线，相频特性为-180°。(ω/ωn=λ)二阶微分环节和振荡环节的对数频率特性仅相差一个符号。因此，其Bode图与振荡环节的Bode图关于横轴对称。典型环节的Bode图(7)二阶微分环节传递函数频率特性对数幅频特性对数相频特性(ω/ωn=λ)对数幅频特性为0dB线，对数相频特性随ω线性增加，在对数坐标系下为一曲线。典型环节的Bode图(8)延时环节传递函数G(s)=e-τs频率特性G(jω)=e-jτω=cosτω－jsinτω对数幅频特性L(ω)=20lg|G(jω)|=0对数相频特性φ(ω)=－τω系统Bode图的绘制方法（1）将传递函数G(s)化为若干个典型环节传递函数的乘积形式；（2）由传递函数G(s)求出频率特性G(jω)；（3）确定各典型环节的转角频率ωT，并把ωT按由小到大顺序排列，对于一阶环节ωT=1/T，二阶环节ωT=ωn；（4）分别绘出各环节的对数幅频特性的渐近线；（5）将各环节对数幅频特性的渐近线叠加（不包括系统总的增益K），得到系统的渐近线，在转角频率处，修正误差得到精确曲线；（6）将叠加后的曲线垂直移动20lgKdB，得到系统的对数幅频特性曲线；（7）分别绘制各环节的对数相频特性曲线；（8）将各环节相频曲线叠加，得到系统的对数相频特性曲线；（9）有延时环节时，对数幅频特性不变，对数相频特性则应加上-τω。解：(1)系统传递函数为，试绘制其Bode图。(2)确定各环节的参数比例环节K=20，L(ω)=20lg20=26dB，φ(ω)=0°；惯性环节1/(jω+1)，转角频率ωT1=1，L(ω)的斜率从0→-20dB/dec，φ(ω)从0→-90°；一阶微分环节(0.1jω+1)，转角频率ωT2=10，L(ω)的斜率从0→20dB/dec，φ(ω)从0→90°；惯性环节1/(0.01jω+1)，转角频率ωT3=100，L(ω)的斜率从0→-20dB/dec，φ(ω)从0→-90°。系统传递函数为，试绘制其Bode图。解：(1)系统传递函数为，试绘制其Bode图。(2)确定各环节的参数比例环节K=10，L(ω)=20lg10=20dB，φ(ω)=0°；积分环节1/jω，L(ω)为过（1,0）点，斜率为－20dB/dec的直线，φ(ω)=－90°；惯性环节1/(0.25jω+1)，转角频率ωT1=4，L(ω)的斜率从0→-20dB/dec，φ(ω)从0→-90°；一阶微分环节(0.1jω+1)，转角频率ωT2=10，L(ω)的斜率从0→20dB/dec，φ(ω)从0→90°；振荡环节1/[0.01(jω)2+0.1(jω)+1]，转角频率ωT3=ωn=10，ξ=0.5，L(ω)的斜率从0→-40dB/dec，φ(ω)从0→-180°。系统传递函数为，试绘制其Bode图。最小相位系统最小相位系统系统传递函数G(s)的所有极点和零点均位于复平面[s]的左半平面。非最小相位系统系统传递函数G(s)有极点或零点位于复平面[s]的右半平面。最小相位系统两个系统的传递函数分别为：非最小相位系统G2(s)相位滞后，影响系统的稳定性，也影响系统的快速性，应尽量避免采用。系统传递函数估算（1）在Bode图上，确定对数幅频特性的渐近线，求出各转角频率ωT。用斜率为0dB/dec、±20dB/dec和±40dB/dec的直线逼近实验曲线。（2）根据低频段对数幅频特性渐近线的斜率，确定系统包含积分环节的个数ν。若低频段对数幅频特性渐近线的斜率为-20νdB/dec，系统即为ν型系统。（3）根据低频段确定系统的增益K。1.

0型系统（ν=0）L(ω)=20lgK低频段对数幅频特性渐近线为一条水平线，增益K根据该水平渐近线的高度求出。2.

I型系统（ν=1）L(ω)=20lgK－20lgω当L(ω)=0，即L(ω)或延长线与0dB线相交时，对应穿越频率ωc，增益K满足K=ωc。3.II型系统（ν=2）L(ω)=20lgK－40lgω

由L(ωc)=0得K=ωc2。增益K满足K=ωc2。系统传递函数估算系统传递函数估算（4）根据对数幅频特性渐近线在转角频率处斜率的变化，确定对应的环节：从低频段开始，经过一个ωT时，若L(ω)的斜率增加-20dB/dec，则对应一个惯性环节增加20dB/dec，对应一个一阶微分环节增加-40dB/dec，对应一个振荡环节增加40dB/dec，对应一个二阶微分环节（5）将上述分析中确定的环节串联后即可得到估算的系统频率特性或传递函数。系统的幅频特性如下图，求最小相位系统的传递函数。(1)低频段斜率为－20dB/dec的直线，该系统为I型。幅频特性渐近线的延长线与0dB线的交点频率为200，故系统增益K=200。(2)ωT1=0.05，－20dB/dec→－40dB/dec，惯性环节1/(1+20jω)ωT2=0.5，－40dB/dec→