第二节行列式的性质

第二节行列式的性质1第1页，课件共43页，创作于2023年2月一行列式的性质性质1

将行列式的行与列互换，行列式的值不变。即该性质表明：行列式的行与列具有同等地位。2第2页，课件共43页，创作于2023年2月例如行列交换后有3第3页，课件共43页，创作于2023年2月性质2

行列式中的某一行（列）若有公因子，则可将公因子提到行列式外，即证明左边按第i

行展开左边4第4页，课件共43页，创作于2023年2月性质3

若行列式中的某一行（列）的每个元素都是两数之和，则此行列式可以写成两个行列式之和,这两个行列式除该行（列)以外其余行（列）全与原来行列式对应的行（列）一样，即例如5第5页，课件共43页，创作于2023年2月性质4

交换行列式中两行（列）的位置，行列式反号。即6第6页，课件共43页，创作于2023年2月例如二、三两行交换后有7第7页，课件共43页，创作于2023年2月性质5

若行列式中两行（列）相同，则行列式的值等于零。即由于交换两行后行列式没变，因此8第8页，课件共43页，创作于2023年2月性质6

若行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式的值等于零。即例如9第9页，课件共43页，创作于2023年2月性质7

若行列式中的某一行（列）的各元素都乘以同一数k，加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变，即×k10第10页，课件共43页，创作于2023年2月11第11页，课件共43页，创作于2023年2月性质8

行列式的某一行（列）的元素与另一(列)的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零。即12第12页，课件共43页，创作于2023年2月比较等式两边，可得总结按第i行展开按第i列展开13第13页，课件共43页，创作于2023年2月为了便于以后的计算过程更清楚，现引入一些记号，其中：r表示row，c表示column：14第14页，课件共43页，创作于2023年2月例1计算行列式解-804-6201-1160-2715第15页，课件共43页，创作于2023年2月例2计算行列式解该行列式的特点是：各行（列）的元素之和为616第16页，课件共43页，创作于2023年2月例3解方程解因为17第17页，课件共43页，创作于2023年2月D

例4计算

解

r4r3r3r2r2r1abcd0aababc0a2ab3a2bc0a3ab6a3bcabcd0aababc00a2ab00a3abr4r3r3r2abcd0aababc00a2ab000ar4r3a4

下页18第18页，课件共43页，创作于2023年2月对D1作运算rikrj把D1化为下三角形行列式设为

证

例5证明DD1D2其中对D2作运算cikcj把D2化为下三角形行列式设为于是对D的前k行作运算rikrj再对后n列作运算cikcj把D化为下三角形行列式故Dp11

pkkq11

qnnD1D2

下页19第19页，课件共43页，创作于2023年2月把D2n中的第2n行依次与2n1行、、第2行对调(作2n2次相邻对换)再把第2n列依次与2n1列、、第2列对调得根据例4的结果有D2nD2D2(n1)

(adbc)D2(n1)

以此作递推公式即得

D2n(adbc)2D2(n2)

(adbc)n1D2(adbc)n

解

例6计算2n阶行列式其中未写出的元素为0

结束20第20页，课件共43页，创作于2023年2月证用数学归纳法例4证明范德蒙德(Vandermonde)行列式21第21页，课件共43页，创作于2023年2月22第22页，课件共43页，创作于2023年2月n-1阶范德蒙德行列式23第23页，课件共43页，创作于2023年2月

第24页，课件共43页，创作于2023年2月第25页，课件共43页，创作于2023年2月小结（1）行列式的性质（2）行列式的基本计算方法26第26页，课件共43页，创作于2023年2月性质1

将行列式的行与列互换，行列式的值不变。性质2

行列式中的某一行（列）若有公因子，则可将公因子提到行列式外。性质3

若行列式中的某一行（列）的每个元素都是两数之和，则此行列式可以写成两个行列式之和,这两个行列式除该行（列)以外全与原来行列式对应的行（列）一样。性质4

交换行列式中两行（列）的位置，行列式反号。27第27页，课件共43页，创作于2023年2月性质5

若行列式中两行（列）相同，则行列式的值等于零。性质6

若行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式的值等于零。性质7

若行列式中的某一行（列）的各元素都乘以同一数k，加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。性质8

行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零。28第28页，课件共43页，创作于2023年2月小结（1）行列式的性质二小结、练习（2）行列式的基本计算方法29第29页，课件共43页，创作于2023年2月1、计算行列式练习2、解方程30第30页，课件共43页，创作于2023年2月3、计算行列式4、计算行列式031第31页，课件共43页，创作于2023年2月克拉默(Cramer)法则

由于求解量巨大,没有实际应用价值,一般用于理论上推导定理3如果线性方程组的系数行列式不等于零，即32第32页，课件共43页，创作于2023年2月其中是把系数行列式中第列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即那么线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以表为33第33页，课件共43页，创作于2023年2月证明在把个方程依次相加，得34第34页，课件共43页，创作于2023年2月由代数余子式的性质可知,于是当时,方程组有唯一的一个解35第35页，课件共43页，创作于2023年2月由于方程组与方程组等价,故也是方程组的解.逆否命题

如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.36第36页，课件共43页，创作于2023年2月例4

解线性方程组解由于方程组的系数行列式37第37页，课件共43页，创作于2023年2月同理可得故方程组的解为:38第38页，课件共43页，创作于2023年2月齐次线性方程组的相关定理推论1如果齐次线性方程组的系数行列式则齐次线性方程组只有零解.三、重要定理39第39页，课件共43页，创作于2023年2月推论2如果齐次线性方程组

有非零解,则它的系数行列式必为零.40第40页，课件共43页，创作于2023年2月