第七讲分布函数及连续型随机变量

第七讲分布函数及连续型随机变量第1页，课件共27页，创作于2023年2月一、随机变量的概念（P21）由于随机试验的所有结果是知道的，就可以对每一个结果赋予一个相应的值，这就建立了“事件”与数之间的一种函数系，而这种关系中自变量不是数，而是随机试验的结果(样本点)，因而称为“样本点的函数”。且不论自变量还是因变量，它们取到某个“值”都是带有偶然性的，是不确定的。我们把这种取值带有随机性的变量称为随机变量，一般用希腊字母或用大写字母X,Y,Z…来表示。(理论定义见P22定义2.1）第2页，课件共27页，创作于2023年2月随机变量的分类：第3页，课件共27页，创作于2023年2月二、离散型随机变量（P22）定义(P22)：

X

x1 x2

…

xK …

P

p1 p2 … pk …定义2.2：设离散型随机变量X取值x1,x2,…,xn,…且取这些值的概率依次为p1,p2,…,pn,…,则称P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)为X的概率函数或概率分布或分布律。为X的概率分布表或分布列分布律的性质（P22)：(1)pk0,k＝1,2,…;

而称非负性归一性第4页，课件共27页，创作于2023年2月

(0-1)分布若随机变量X只取0,1两个值,则称X服从(0－1)分布。其概率函数为：P{X＝k}＝pk(1－p)1－k,(0<p<1)k＝0，1分布列为：1、两点分布(P22)（贝努里分布）：只有两个可能取值的随机变量所服从的分布三、常用离散型随机变量的分布（P22）第5页，课件共27页，创作于2023年2月2、二项分布（P23）定义2.4：如果随机变量的概率函数为其中则称服从参数为的二项分布，简记为：第6页，课件共27页，创作于2023年2月定义：如果随机变量的概率函数为则称服从参数为普哇松分布，简记为：3、泊松（Poisson)分布（普哇松分布）（P24）第7页，课件共27页，创作于2023年2月要求：

（1）明确随机变量的含义。（2）掌握离散型随机变量的概率分布。（3）掌握几个常用离散型随机变量的分布及相关概率计算。第8页，课件共27页，创作于2023年2月第9页，课件共27页，创作于2023年2月一、分布函数（P27）第七讲分布函数和连续型随机变量

定义(P27)：设是随机变量，对任意实数，事件的概率称为随机变量的分布函数。记为，即第10页，课件共27页，创作于2023年2月第11页，课件共27页，创作于2023年2月分布函数的性质(P28)

若x1<x2,则F(x1)

F(x2);(2)规范性：对任意实数x，0F(x)1，且

若某函数满足上述3条性质，则它一定是某随机变量的分布函数

(1)单调不减性：教材P28第14行…“四条”应改为“（1）（2）（3）条”

例1中证明满足（4）的部分去掉第12页，课件共27页，创作于2023年2月例1：解：第13页，课件共27页，创作于2023年2月一般地，对离散型随机变量P{X=xk}＝pk,k＝1,2,…其分布函数为解

012P0.10.60.3例2:设随机变量具有分布律如右表试求出的分布函数。二、离散型随机变量的分布函数（P28）第14页，课件共27页，创作于2023年2月一般结论：X

x1 x2

…

xK …

P

p1 p2 … pk …设随机变量X的分布列为：则X的分布函数为：第15页，课件共27页，创作于2023年2月0－1－2123P0.10.20.20.10.30.1课练:设随机变量具有分布律如下表试求出的分布函数。第16页，课件共27页，创作于2023年2月三、连续型随机变量(P30)

定义(P31)：对任意实数x，如果随机变量的分布函数F（x）可以写成则称为连续型随机变量，为的概率密度函数，简称概率密度或密度函数.常记为～,(-<x<+)由积分知识可知，连续型随机变量的分布函数的几何意义是：以概率密度曲线为顶，以X轴为底的一个左开口曲边梯形的面积（见P31）第17页，课件共27页，创作于2023年2月

密度函数的性质(P31-32)(1)非负性

0，(-<x<)；

(2)归一性（4）对任意实数b，连续型随机变量取该值的概率为零，即(-<b<)，则P{=b}＝0。第18页，课件共27页，创作于2023年2月

连续型随机变量落入某区间的概率等于其密度函数在该区间上的积分或其分布函数在该区间“右端点”处的值减去“左端点”处的值记在P32第19页，课件共27页，创作于2023年2月例3：解：第20页，课件共27页，创作于2023年2月对任意实数c,d(a<c<d<b)，都有1、均匀分布(P32)则称服从区间[a,b]上的均匀分布。记作~U[a,b]试求其分布函数F(x)四、常用连续型随机变量的分布（P32）

第21页，课件共27页，创作于2023年2月记在P33第22页，课件共27页，创作于2023年2月例4.长途汽车起点站于每时的10分、25分、55分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客候车时间超过10分钟的概率1545解：设A=“乘客候车时间超过10分钟”X为乘客于某时X分钟到达，则XU[0,60]第23页，课件共27页，创作于2023年2月2、指数分布（P33）第24页，课件共27页，创作于2023年2月第25页，课件共27页，创作于2023年2月本次课要求：（1）明确分布函数的含义。

（2）掌握连续型随机变量的概率分布密度函数和分布函数及简单概率计算。