数学人教八年级上册（2013年新编）13-3-3 等边三角形的性质与判定（教学设计）

13.3.3等边三角形的性质与判定教学设计一、教学目标：1.知道等边三角形的定义，等边三角形与等腰三角形的关系.2.掌握等边三角形的性质和判定方法.3.熟练地运用等边三角形的性质和判定方法解决问题.二、教学重、难点：重点：探索等边三角形的性质与判定.难点：等边三角形性质和判定的应用.三、教学过程：复习回顾情景引入小明想制作一个三角形的相框，他有四根木条长度分别为10cm，10cm，10cm，6cm，你能帮他设计出几种形状的三角形？知识精讲等边三角形在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底边与腰相等，这时，三角形三边相等.我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形(正三角形).思考：把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？一个三角形的三个内角满足什么条件才是等边三角形？性质探索1.等边三角形的三个内角都相等吗？为什么？

已知：如图，AB=AC=BC.

∵AB=AC∴∠B=∠C同理∠A=∠C∴∠A=∠B=∠C∵∠A+∠B+∠C=180°∴∠A=∠B=∠C=60°等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.2.等边三角形是轴对称图形吗？若是，它有几条对称轴？等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.3.等边三角形每边上的中线，高和所对角的平分线都三线合一吗？为什么？等边三角形的三条高线，三条中线，三条角平分线，分别互相重合.归纳1.等边三角形的三边相等.2.等边三角形的三个内角都相等，并每一个角都等于60°.3.等边三角形的三条高线，三条中线，三条角平分线，分别互相重合.4.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.判定探索1.三个角都相等的三角形是等边三角形吗？为什么？

已知：如图，∠A=∠B=∠C.∵∠A=∠B∴AC=BC同理AB=AC∴AB=AC=BC即△ABC是等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形.2.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.你能证明这个结论吗？假若AB=AC，则∠B=∠C

当顶角∠A=60°时，

∠B=∠C=(180°-60°)÷2=60°

∴∠A=∠B=∠C=60°

∴△ABC是等边三角形.

当底角∠B=60°时，∠C=60°，∠A=180°-∠B-∠C=60°

∴∠A=∠B=∠C=60°

∴△ABC是等边三角形.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.归纳1.三边相等的三角形是等边三角形.2.三个角都相等的三角形是等边三角形.3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.典例解析例1.如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.求证：△ADE是等边三角形.证明：∵△ABC是等边三角形

∴∠A=∠B=∠C

∵DE∥BC

∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C

∴∠A=∠ADE=∠AED

∴△ADE是等边三角形想一想，本题还有其它证法吗？证明：∵△ABC是等边三角形

∴∠A=∠B=∠C=60°

∵DE∥BC

∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C

∴∠ADE=∠AED

∴AD=AE，且∠A=60°

∴△ADE是等边三角形例2.如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵∠ABE＝40°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.∵BE＝DE，∴∠D＝∠EBC＝20°，∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.【点睛】等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是60°，这个性质常应用在求三角形角度的问题上，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质.【针对练习】如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE=CD．求证：BD=DE．证明：∵△ABC是等边三角形，BD是角平分线，∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°．又∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，∴∠CDE=∠CED=30°．∴∠DBC=∠DEC．∴DB=DE（等角对等边）．例3.△ABC为正三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于Q点，∠BQM等于多少度？解：∵△ABC为正三角形，∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.又∵BM＝CN，∴△AMB≌△BNC(SAS)，∴∠BAM＝∠CBN，∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM＝∠ABQ【点睛】此题属于等边三角形与全等三角形的综合运用，一般是利用等边三角形的性质判定三角形全等，而后利用全等及等边三角形的性质，求角度或证明边相等.例4.等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论．解：△APQ为等边三角形．证明如下：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC.∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ，∴△ABP≌△ACQ(SAS)，∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°∴△APQ是等边三角形．【点睛】判定一个三角形是等边三角形有以下方法：一是证明三角形三条边相等；二是证明三角形三个内角相等；三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于60°.【针对练习】如图，等边△ABC中，D、E、F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．求证：△DEF是等边三角形．证明：∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF∴AF=BD=CE，∠A=∠B=∠C=60°，∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），∴DF=ED=EF，∴△DEF是等边三角形．例5.图①、图②中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．(1)如图①，线段AN与线段BM是否相等？请说明理由；(2)如图②，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．解：(1)AN＝BM.理由：∵△ACM与△CBN都是等边三角形，∴AC＝MC，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°.∴∠ACN＝∠MCB.∴△ACN≌△MCB(SAS)．∴AN＝BM.(2)△CEF是等边三角形．证明：∵∠ACE＝∠FCM=60°，∴∠ECF=60°.∵△ACN≌△MCB，∴∠CAE＝∠CMB.∵AC＝MC，∴△ACE≌△MCF(ASA)，∴CE＝CF.∴△CEF是等边三角形．课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。达标检测1.如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=35°，则∠ADB的度数为()A.25°B.60°C.85°D.95°2.如图，△ABC为等边三角形，AD⊥BC，AE=AD则∠ADE的度数为()A.30°B.60°C.45D.75°3.下列推理中，错误的是()A.因为∠A=∠B=∠C，所以△ABC是等边三角形B.因为AB=AC且∠B=∠C，所以△ABC是等边三角形C.因为∠A=60°，∠B=60°，所以△ABC是等边三角形D.因为AB=AC，∠B=60°，所以△ABC是等边三角形4.已知AD是等边△ABC的高，且BD=1cm,那么BC的长是_____cm.5.若等边△ABC的两条角平分线BD与CE交于点O，则∠BOC的度数为_____.6.如图，△ABC是周长为6的等边三角形,BD为中线，且BD=a,E为BC延长线上一点，CE=CD，则△BDE的周长为________.7.如图，等边三角形ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′处，DB′，EB′分别交AC于点F，G，若∠ADF=80°，则∠EGC的度数为______.8.如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，且点E在BC上.求证:AE=CD.9.如图，△ABC是等边三角形，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，OM∥AB，ON∥AC.求证:BM=MN=CN.【参考答案】DDB2120°2a+380°8.证明:△ABC和△BDE都是等边三角形.∴AB=BC，BE=BD∠ABC=∠EBD=60°在△ABE与△CBD中,∴△ABE≌△CBD(SAS)∴AE=CD9.证明:∵△ABC是等边三角形∴∠ABC=60°又∵OB平分∠ABC∴∠1=∠2=30°又∵OM//AB∴∠1=∠3∴∠2=∠3=30°∴BM=OM,∠OMN=60°同理CN=ON,∠ONM=60°∴∠OMN=∠ONM=∠MON=60°∴O