陕西省安康市汉滨区七校2022-2023学年高二下学期期末联考理科数学试题（含答案）

第第页陕西省安康市汉滨区七校2022-2023学年高二下学期期末联考理科数学试题（含答案）2022—2023学年度第二学期期末质量检测

高二理科数学

考生注意：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。请将答案填写在答题卡相对应的位置。

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知是虚数单位，则等于

A．B．C．D．

2．用分析法证明：要使①，只需②，这里①是②的

A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

3．如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）中，为延长线上一点，，则

A．B．C．D．

4．“猜想”又称“角谷猜想”、“克拉茨猜想”、“冰雹猜想”，它是指对于任意一个正整数，如果是偶数，就将它减半；如果是奇数，就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终总能够得到1．已知正整数数列满足上述变换规则，即：．若，则

A．1B．2C．3D．16

5．动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹是

A．椭圆B．双曲线C．双曲线的一支D．抛物线

6．设双曲线：的离心率为，则的渐近线方程为

A．B．C．D．

7．如图，阴影部分的面积是

A．B．C．D．

8．函数的图象大致是

A．B．C．D．

9．王老师是高三的班主任，为了更好地督促班上的学生完成作业，王老师特地组建了一个学习小组的钉钉群，群的成员由学生、家长、老师共同组成．已知该钉钉群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该钉钉群人数的最小值为

A．－18B．20C．22D．28

10．已知，直线与曲线相切，则

A．B．－1C．－2D．

11．如图，椭圆中心在坐标原点，为左焦点，当时，其离心率，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率

A．B．C．D．

12．已知函数（为自然对数的底数），若在上有解，则实数的取值范围是

A．B．C．D．

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

13．命题“，”的否定是“”．

14．北京冬奥会短道速滑队组织甲、乙、丙等6名队员参加选拔赛，已知比赛结果没有并列名次，记“甲得第一名”为，“乙得第一名”为，“丙得第一名”为，若是真命题，是真命题，则得第一名的是．

15．已知空间向量，，两两夹角均为60°，其模均为1，则．

16．设，为双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且满足，则的面积是．

三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）

已知复数（，是虚数单位）．

（1）若是纯虚数，求的值；

（2）设是的共轭复数，复数在复平面上对应的点在第一象限，求的取值范围．

18．（本小题满分12分）

计算：，；所以；又计算：，，；所以，．

（1）分析以上结论，试写出一个一般性的命题；

（2）判断该命题的真假，若为真，请用分析法给出证明；若为假，请说明理由．

19．（本小题满分12分）

已知数列中，．

（1）求，，的值；

（2）猜测的表达式，并用数学归纳法证明．

20．（本小题满分12分）

已知四棱锥的底面是等腰梯形，，，，，．

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值．

21．（本小题满分12分）

已知椭圆：的离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线经过的左焦点且与相交于、两点，以线段为直径的圆经过椭圆的右焦点，求的方程．

22．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）求的单调区间；

（2）当时，是否恒成立，并说明理由．

2022—2023学年度第二学期期末质量检测

高二理科数学参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．A2．B3．B4．D5．D6．C7．C8．A9．C10．B11．B12．C

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

13．，14．乙15．16．4

三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）

解：

（1）．

因为是纯虚数，所以且，解得．

（2）因为是的共轭复数，所以．

所以．

因为复数在复平面上对应的点在第一象限，

所以

解得，即实数的取值范围为．

18．（本小题满分12分）

解：

（1）一般性的命题：是正整数，则

（2）命题是真命题．

要证：，

只需证明：

只需证明：

整理得：

只需证明：

只需证明：，而此式显然成立，所以原不等式成立．

19．（本小题满分12分）

解：

（1）因为，，

所以，

同理，，

即，，；

（2）猜想，

证明如下：

①当时，，显然满足题意，

②设，（且）时，，

则，

即当时，等式也成立，

综上可得．

20．（本小题满分12分）

解：

（1）在等腰梯形中，，

∵，

∴，所以，即，

又因为，且，平面PBD，平面PBD．所以平面，

又因为平面，因此平面平面．

（2）如图，连接，由（1）知，平面，所以，

所以，

所以，即，

又∵，∴以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

则，，，

设平面的法向量为，因为，，

所以即

令，则，，所以平面的一个法向量，

∵平面，∴平面的一个法向量，

所以，

所以二面角的余弦值为．

21．（本小题满分12分）

解：

（1）由题意得，，，解得，

∴椭圆的方程为；

（2）由题目可知不是直线，且、，

设直线的方程为，点、，

代入椭圆方程，整理得：，

∴①，②，

由，得：③，④，

∵，，由题意知，

∴，将①②③④代入上式并整理得，

∴，

因此，直