黑龙江省哈尔滨市南直中学高三数学理下学期摸底试题含解析

黑龙江省哈尔滨市南直中学高三数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若集合，，则的真子集的个数是（

）

A．7

B．8

C．15

D．16参考答案：A2.的外接圆的圆心为，半径为，且，则向量在方向上的投影为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A3.甲：函数，f（x）是R上的单调递增函数；乙：?x1＜x2，f（x1）＜f（x2），则甲是乙的(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数单调性的定义和性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：根据函数单调性的定义可知，若f（x）是R上的单调递增函数，则?x1＜x2，f（x1）＜f（x2），成立，∴命题乙成立．若：?x1＜x2，f（x1）＜f（x2），则不满足函数单调性定义的任意性，∴命题甲不成立．∴甲是乙成立的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数单调性的定义和性质是解决本题的关键．4.已知直线平面，直线∥平面，则“”是“”的(

)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既非充分也非必要条件参考答案：A略5.焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的渐近线方程，转化列出a，b关系式，求解双曲线的离心率即可．【解答】解：焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线方程为，可得：=，即：，解得e=．故选：A．6.若平面满足，则下列命题中的假命题为（

）A．过点垂直于平面的直线平行于平面B．过点垂直于平面的直线在平面内C．在平面内过点垂直于的直线垂直于平面

D．过点垂直于的直线在平面内参考答案：D略7.设函数，则是A．最小正周期为的奇函数

B．最小正周期为的偶函数

C．最小正周期为的奇函数

D．最小正周期为的偶函数参考答案：解析：是周期为的偶函数，选B．

8.下列函数中，是偶函数且图像关于对称的函数是（）A. B. C. D.参考答案：C9.已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（

）

参考答案：D略10.已知集合={2，0，1，4}，={|，，}，则集合中所有元素之和为（）A．2

B．-2

C．0

D．参考答案：【知识点】集合中元素的特性.A1

【答案解析】B

解析：因为，所以有下列情况成立：（1）=2，解得,当时，不满足题意，舍去，故；（2）=0，解得，经检验满足题意；（3）=1，解得，经检验满足题意；（4）=4，解得，经检验满足题意；所以集合中所有元素之和为，故选B.【思路点拨】由分情况讨论即可得到结果.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设为等差数列的前n项和，若，则的值为A8

B．7

C.6

D．5参考答案：A12.已知||=2，||=，，的夹角为30°，（+2）∥（2+λ），则（（+λ））?（﹣）=

．参考答案：1【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据即可求出λ的值，然后进行向量数量积的运算便可求出的值．【解答】解：；∴；∴；∴λ=4；∴====1．故答案为：1．13.函数的定义域为______________。参考答案：14.已知是递增的等差数列，，为其前项和，若成等比数列，则▲

.参考答案：15.函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和等于

.参考答案：616.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=2，，，若，则

．参考答案：；

17.过原点作曲线的切线，则切线的斜率为参考答案：e

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=﹣1（k为常数，k∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调区间；（2）当k=时，若函数f（x）在（﹣∞，en]（n∈Z，e是自然对数的底数）上有两个零点，求n的最小值．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论k的范围，即可求出函数的单调区间；（2）把k=代入函数解析式，结合（1）中函数的单调性，可得f（x）的极大值为f（0）=0，极小值为f（3ln2）＜0，要使函数f（x）在（﹣∞，en]（n∈Z）上有两个零点，转化为，由此不等式组可得n的最小值为2．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为R，由，得．①当k≤0时，对x∈R都有kex﹣1＜0，当x变化时，f'（x），f（x）的变化如下表：x（﹣∞，0）0（0，+∞）f′（x）+0﹣f（x）递增极大值递减此时，f（x）的增区间是（﹣∞，0）；减区间是（0，+∞）．②当0＜k＜1时，．由f'（x）=0，得x=0或x=﹣lnk＞0．当x变化时，f'（x），f（x）的变化如下表：x（﹣∞，0）0（0，﹣lnk）﹣lnk（﹣lnk，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）递增极大值递减极小值递增此时，f（x）的增区间是（﹣∞，0），（﹣lnk，+∞）；减区间是（0，﹣lnk）．③当k=1时，，此时，f（x）的增区间是（﹣∞，+∞），没有减区间．④当1＜k时，．由f'（x）=0，得x=0或x=﹣lnk＜0．当x变化时，f'（x），f（x）的变化如下表：x（﹣∞，﹣lnk）﹣lnk（﹣lnk，0）0（0，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）递增极大值递减极小值递增此时，f（x）的增区间是（﹣∞，﹣lnk），（0，+∞）；减区间是（﹣lnk，0）．（2）k=时，，由（1）②得：﹣lnk=﹣ln=3ln2，f（x）的增区间是（﹣∞，0），（3ln2，+∞）；减区间是（0，3ln2）．∴f（x）的极大值为f（0）=0，极小值为f（3ln2）==＜0，要使函数f（x）在（﹣∞，en]（n∈Z）上有两个零点，∴，∵满足en＞3ln2的最小整数n为2，当n=2时，，∴n的最小值为2．19.等差数列{an}中，已知，且，，为递增的等比数列.（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}的通项公式（），求数列{bn}的前n项和Sn.参考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）试题分析：（Ⅰ）三个数成等比数列，则，即，由此解得公差的值并求出数列的通项公式.（Ⅱ）分别令为奇数或偶数，即令或，当时利用分组求和法求得其前项和，当时，利用前项和减去第项来求和.试题解析：解：（Ⅰ）设数列的公差为，由题意，即，解之得，或（舍去），所以，即，为所求.（Ⅱ）当，时，；当，时，，.综上，（）.20.已知向量=（sin，1），=（cos，cos2），f（x）=?．（1）若f（x）=1，求cos（x+）的值；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足acosC+c=b，求函数f（B）的取值范围．参考答案：【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；三角函数的化简求值．【分析】（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出f（x）的解析式，再利用二倍角的正弦、余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由f（x）=1，得出sin（+）的值，最后将所求的式子中的角提取2，利用二倍角的余弦函数公式化简后，将sin（+）的值代入即可求出值；（2）利用余弦定理表示出cosC，代入已知的等式，整理后代入利用余弦定理表示出的cosA中，得出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，进而确定出B的范围，得出+的范围，利用正弦函数的图象与性质得出此时正弦函数的值域，即为f（B）的范围．【解答】解：（1）∵=（sin，1），=（cos，cos2），∴f（x）=?=sincos+cos2=sin+cos+=sin（+）+，又f（x）=1，∴sin（+）=，∴cos（x+）=cos2（+）=1﹣2sin2（+）=；（2）∵cosC=，acosC+c=b，∴a?+c=b，即b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，又∵A∈（0，π），∴A=，又∵0＜B＜，∴＜+＜，∴f（B）∈（1，）．21.(13’)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，小区的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有一条平行于BO的小路CD，已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）

参考答案：【解析】[解法一]设该扇形的半径为米，连接.……2分由题意，得(米)，（米），

……4分在△中，

……6分即，

……9分解得（米）答：该扇形的半径的长约为445米.

……13分

[解法二]连接，作，交于，

……2分由题意，得（米），（米），

……4分在△中，

.（米）.

……6分.……9分在直角△中，（米），，

（米）.答：该扇形的半径的长约