35821期权及其他衍生产品中文第26章hullofod

第26章再论模型和数值算法期权、期货及其他衍生产品（第八版）Copyright

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20121几何布朗运动的三种选择常方差弹性模型（CEV）跳跃-扩散混合模型方差-Gamma模型期权、期货及其他衍生产品（第八版）Copyright

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20122CEV模型dS

=

(r

-

q)Sdt

+sS

a

dz当a

=1时，该模型是布莱克-斯科尔斯模型。当a

>1时，波动率随股票价格的上升而增加。当a

<1时，波动率随股票价格的上升而减小。如果使用非中心卡方分布的累计分布，那么欧式期权的定价存在解析表达式。期权、期货及其他衍生产品（第八版）Copyright

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20123CEV模型中的隐含波动率Ksimpa

<

1a

>

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20124跳跃-扩散混合模型当随机跳跃叠加在资产价格所遵循的扩散过程上时，默顿提出的定价公式为：dS

/

S

=

(r

-

q

-

lk

)dt

+sdz

+

dpdp—随机跳跃k

—跳跃的平均大小ldt

—在时间dt内跳跃发生的概率lk—由跳跃而触发的平均收益率期权、期货及其他衍生产品（第八版）Copyright

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20125模拟跳跃过程在每一个时间步骤上，从二项式分布中抽取样本来确定跳跃的次数抽样确定每一次跳跃的幅度期权、期货及其他衍生产品（第八版）Copyright

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20126跳跃与波动率微笑跳跃对期限较短的期权的隐含波动率有重大影响。跳跃对期限较长的期权隐含波动率的效应就微小得多。期权、期货及其他衍生产品（第八版）Copyright

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20127方差-Gamma模型定义g为服从Gamma过程的变量在时间T内的变化。在Gamma过程中，微小跳跃经常发生，但大的跳跃只是偶尔发生。以g为条件的lnST服从正态分布，其方差与g成正比。模型中的三个参数：v

：Gamma过程的方差率s2：单位时间内lnS的平均方差率

Q

：刻画偏度的参数期权、期货及其他衍生产品（第八版）Copyright

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20128理解方差-Gamma模型g定义了在时间T内信息到达的速度（g有时被称为经济时间的度量）

。如果g很大，lnS变化量的均值和方差也较大；如果g很小，信息到达量很少，lnS变化量的均值和方差也较小。期权、期货及其他衍生产品（第八版）Copyright

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20129时变波动率带入布莱克-斯科尔斯-默顿模型中的方差率应该是平均方差率。假定s1

是第一年的波动率，s2

是第二年和第三年的波动率。在第3年年末，累计方差为

s1

+2s22

23年的平均波动率为

1

2

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201210s2

+

2s23s2

=

s2

+

2s2

;

s

=1

2随机波动率模型S期权、期货及其他衍生产品（第八版）Copyright

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201211adV

=

a(VL

-V

)dt

+

xV

dzV当V

和S

不相关时，欧式期权的价格等于布莱克-斯科尔斯-默顿价格在平均方差率的分布上进行积分。dS

=

(r

-

q)dt+

V

dzS随机波动率模型（续）当V

和S

负相关时，我们得到向下倾斜的波动偏态，这与股票市场上观察到的结果类似。当V

和S

正相关时，偏态向上倾斜（部分商品有时会出现这种模式）。期权、期货及其他衍生产品（第八版）Copyright

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201212IVF模型期权、期货及其他衍生产品（第八版）Copyright

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201213对隐含波动率函数模型所创建的资产价格过程而言，资产价格与所观察到的期权价格完全匹配。常见的几何布朗运动模型dS

=

(r

-

q)Sdt

+s

Sdz可以改写为dS

=[r(t)

-

q(t)]Sdt

+s

(S

,

t)Sdz波动率函数mkt期权、期货及其他衍生产品（第八版）Copyright

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201214K

2

(¶2

c

¶K

2

)¶t

+

q(t

)cmkt

+

K

[r

(t

)

-

q(t

)]

¶cmkt

¶K2

¶cmkt使模型与欧式期权价格相匹配的波动率函数为[s(

K

,

t

)]2

=IVF模型的优势和劣势模型在未来每一个时点上都将资产价格的概率分布进行匹配。模型没法保证所获得的资产价格联合概率分布在两个或更多时刻都是对的。期权、期货及其他衍生产品（第八版）Copyright

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201215可转换债券经常使用二叉树模型来对可转换债券进行定价，在每一个时间区间Dt

内，价格上涨的概率为pu价格下降的概率为pd违约概率为1-exp(-lt)（

l

为风险率）公司违约时，股价会变为0，但债券会有一定的回收比率。期权、期货及其他衍生产品（第八版）Copyright

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201216概率u期权、期货及其他衍生产品（第八版）Copyright

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201217d

=

1pu

=pd

=u

=

eu

-

d(s2

-l)Dtu

-

due-lDt

-

aa

-

de-lDt节点计算期权、期货及其他衍生产品（第八版）Copyright

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201218定义：

Q1：既没有被转换也没有被赎会情形下的债券价格

Q2：赎回情形下的债券价格

Q3：转换情形下的债券价格节点上的债券价格=max[min(Q1,Q2),Q3]例26-19个月期面值为100美元的零息债券可转换为2股股票在任意时刻都能以113美元的价格赎回股票的最初价格为50美元波动率为每年30%股票不支付股息无风险利率为5%违约密度l为每年1%回收率为40%期权、期货及其他衍生产品（第八版）Copyright

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201219树形GD76.42152.85B66.34132.69HA57.60115.19E57.60115.1950.00106.93C50.00106.36I43.41101.20F43.41100.0037.6898.61J32.71100.00DefaultDefaultDefault0.0040.000.0040.000.0040.00期权、期货及其他衍生产品（第八版）Copyright

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201220数值计算程序期权、期货及其他衍生产品（第八版）Copyright

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201221主题：使用二叉树方法来对路径依赖期权定价障碍式期权定价与两个随机变量相关的期权定价使用蒙特卡罗模拟法对美式期权定价路径依赖型期权:传统观点树形方法对美式期权的定价效果较好，但不能用来对路径依赖型期权进行定价。蒙特卡罗模拟法对路径依赖型期权的定价较好，但不能用来对美式期权进行定价。期权、期货及其他衍生产品（第八版）Copyright

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201222树形方法应用的扩展在对部分路径依赖型期权进行定价时，使用倒推的方法。我们先用回望期权来说明这种方法，然后使用这种方法来对亚式期权进行定价。期权、期货及其他衍生产品（第八版）Copyright

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201223回望期权考虑美式回望期权：S

=50，s

=

40%，r

=

10%，Dt

=1

个月，期限为3个月。收益为Smax-ST

。对每个节点上的股票价格都取最大值就能对这种期权进行定价。（这个例子只是为了说明定价方法。这种方法并不是处理美式回望期权最有效的办法。）期权、期货及其他衍生产品（第八版）Copyright

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201224例:美式回望看跌期权S0

=50，s

=40%，r

=10%，Dt

=1个月56.1256.124.6844.5550.006.3862.9962.993.3650.0056.12

50.006.12

2.6639.6950.0010.3170.7070.700.00期权、期货及其他衍生产品（第八版）Copyright

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20122556.1262.99

56.126.87

0.0044.5556.12

50.0011.57

5.4535.3650.0014.6450.005.47A节点上方的数值为股票价格；

中间数值为股票价格在达到该节点可能路径上的最大值；最下面的数值为期权的价格。为什么这种方法有效？期权、期货及其他衍生产品（第八版）Copyright

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201226这种方法之所以对回望期权的定价有效，是因为期权收益只与股票价格路径的一个函数有关（我们称之为

“路径函数”）。在每个节点上，路径函数的数值可由该节点上的股票价格和上一个节点上路径函数的数值计算得出。随着时间步长的增长，节点上路径函数不同取值的个数不会增长得太快。推广这种方法可以被推广到对每一个节点所对应的路径函数值的数量没有限制的情形。基本思想是没有必要考虑路径函数每一个可能的取值。在每个节点上，只考虑有代表意义的路径函数值就够了。期权、期货及其他衍生产品（第八版）Copyright

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201227向前推进第一步计算每一个节点上路径函数的最大值和最小值。第二步是在最小值和最大值的区间中选择路径函数的代表性值。最简单的方法：选取最小值和最大值，对两者中间的区域进行N等分。期权、期货及其他衍生产品（第八版）Copyright

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201228倒推归纳在每一个节点上，对路径函数所有可能的取值，我们按照通常的方法从树形的后面开始进行倒推。当为了得到路径函数的值而需要衍生产品在

某个节点上的值时，如果节点没有直接考虑，那么我们使用线性或二次函数插值的方法。期权、期货及其他衍生产品（第八版）Copyright

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201229算术平均值期权定价的局部计算S的平均值期权价值46.655.64249.045.92351.446.20653.836.492S

=

45.72S的平均值期权价值43.883.43046.753.75049.614.07952.484.416S

=

54.68S的平均值期权价值47.997.57551.128.10154.268.63557.399.178Y期权、期货及其他衍生产品（第八版）Copyright

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201230Z0.5056S

=

50.00X0.4944S=50，X=50，s=40%，r

=10%，T=1年，Dt=0.05年，我们所处的时点为4Dt。算术平均值期权定价的局部计算（续）期权、期货及其他衍生产品（第八版）Copyright

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201231当5个观察值的平均值为51.44时，考虑节点X。节点Y：如果股票价格上升到节点Y，那么新的平均值为51.98，通过插值方法计算的期权价值为8.247。节点Z：如果股票价格上升到节点Z，新的平均值为50.49，通过插值方法计算的期权价值为4.182。节点X：期权的价值为(0.5056×8.247

+

0.4944×4.182)e–0.1×0.05

=

6.206使用树形方法来对障碍期权进行定价当使用树形方法来对障碍期权进行定价时，收敛速度较慢。这是因为，障碍期权在树形方法中的设定不准确。期权、期货及其他衍生产品（第八版）Copyright

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201232敲出期权的实际障碍与树形结构的障碍：二叉树情形期权、期货及其他衍生产品（第八版）

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201233树形结构的障碍实际障碍三叉树的内外部障碍外部障碍现实障碍内部障碍期权、期货及其他衍生产品（第八版）Copyright

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201234解决方法假定内部障碍为真正障碍时，计算期权价格；假定外部障碍为真正障碍时，计算期权价格；对以上两个价格进行插值。确保节点总是落在障碍上。利用自适用网格方法。在所有情形中，三叉树优于二叉树。期权、期货及其他衍生产品（第八版）Copyright

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201235用三维树形对两个相关变量进行建模方法将相关变量变换为不相关的变量，对变换后的变量构建树形。通过调整节点的位置来考虑相关性。通过调整概率来考虑相关性。期权、期货及其他衍生产品（第八版）Copyright

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201236蒙特卡罗模拟法与美式期权两种方法：最小二乘法行使边界参数化方法考虑一个无股息股票上的3年期美式看跌期权，当前的股票价格为1.00，期权执行价格为1.10，无风险利率为每年6%。期权、期货及其他衍生产品（第八版）Copyright

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201237模拟路径期权、期货及其他衍生产品（第八版）Copyright

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201238路径t

=

0t

=1t

=2t

=311.001.091.081.3421.001.161.261.5431.001.221.071.0341.000.930.970.9251.001.111.561.5261.000.760.770.9071.000.920.841.0181.000.881.221.34最小二乘法使用最小二乘法从终点开始倒推计算每个时点上继续持有期权的价格。假设第二年年末实值期权的路径有5条，S的5个观察值分别为1.08