2022-2023学年广东省河源市源西中学高二数学理下学期期末试卷含解析

2022-2023学年广东省河源市源西中学高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.有三个命题：（1）空间四边形ABCD中，若AC=BC，AD=BD，则AB⊥CD．（2）过平面的一条斜线存在一个平面与垂直．（3）两个平面斜交，则其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面都不垂直．其中正确的命题个数（

）．．0

．1

．2

．3参考答案：D2.以下四个命题中，正确的是（

）A.若，则三点共线B.若{a,b,c}为空间的一个基底，则{a+b,b+c,c+a}构成空间的另一个基底C.|(a·b)c|=|a|·|b|·|c|D.为直角三角形的充要条件是

参考答案：B略3.定义集合运算：A*B={z|z=xy，x∈A，y∈B}．设A={1，2}，B={0，2}，则集合A*B的所有元素之和为(

) A．0 B．2 C．3 D．6参考答案：D考点：集合的确定性、互异性、无序性．分析：根据题意，结合题目的新运算法则，可得集合A*B中的元素可能的情况；再由集合元素的互异性，可得集合A*B，进而可得答案．解答： 解：根据题意，设A={1，2}，B={0，2}，则集合A*B中的元素可能为：0、2、0、4，又有集合元素的互异性，则A*B={0，2，4}，其所有元素之和为6；故选D．点评：解题时，注意结合集合元素的互异性，对所得集合的元素的分析，对其进行取舍．4.若双曲线的焦点为，则双曲线的渐近线方程为（***）A．B．C．D．参考答案：B略5.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能是（）A．

B． C． D．参考答案：C6.过点（0，1）与双曲线仅有一个公共点的直线共有（

）A.1条

B.2条

C.3条

D.4条参考答案：D略7.已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到抛物线准线的距离为（

）A．1

B．

C．

D．2参考答案：C8.除以9的余数是（

）A．8

B．4

C．2

D．1参考答案：A9.一组数据共有7个数，记得其中有10,2,5,2,4,2，还有一个数没记清，但知道这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，这个数的所有可能值的和为()A．9

B．3

C．17

D．－11参考答案：A略10.已知函数的图象上一点及邻近一点，则等于（）A．4B．C．D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在4次独立重复试验中，随机事件恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件在一次试验中发生的概率的取值范围是

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．参考答案：12.已知O是△ABC的外心，AB=2a，AC=，∠BAC=120°，若=x+y，则x+y的最小值是．参考答案：2考点： 向量在几何中的应用．专题： 平面向量及应用．分析： 建立直角坐标系，求出三角形各顶点的坐标，因为O为△ABC的外心，把AB的中垂线m方程和AC的中垂线n的方程，联立方程组，求出O的坐标，利用已知向量间的关系，待定系数法求x和y的值，最后利用基本不等式求最小值即可．解答： 解：如图：以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立直角系：则A（0，0），B（2a，0），C（﹣，），∵O为△ABC的外心，∴O在AB的中垂线m：x=a上，又在AC的中垂线n上，AC的中点（﹣，），AC的斜率为tan120°=﹣，∴中垂线n的方程为y﹣=（x+）．把直线m和n的方程联立方程组，解得△ABC的外心O（a，+），由条件=x+y，得（a，+）=x（2a，0）+y（﹣，）=（2ax﹣，），∴，解得x=+，y=，∴x+y=++=+（）=2．当且仅当a=1时取等号．故答案为：2．点评： 本题考查求两条直线的交点坐标的方法，三角形外心的性质，向量的坐标表示及向量相等的条件，待定系数法求参数值．属中档题．13.正方体中，与对角线异面的棱有

条.

参考答案：614.设曲线在点处的切线与轴，轴所围成的三角形面积为，则的最大值为_________________．参考答案：15.已知是函数的导数，有，，若，则实数的取值范围为

．参考答案：16.设直线与圆相交于两点，，则的值为________．参考答案：0

17.椭圆C：的焦距是______．参考答案：8试题分析：由题意可知：，从而，即，所以焦距是.考点：由椭圆的标准方程求几何性质.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知直线l：y＝x＋m，m∈R.(1)若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；(2)若直线l关于x轴对称的直线为l′，问直线l′与拋物线C：x2＝4y是否相切？说明理由．参考答案：法一：(1)依题意，点P的坐标为(0，m)．因为MP⊥l，所以×1＝－1，解得m＝2，即点P的坐标为(0,2)．从而圆的半径r＝|MP|＝＝2，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.(2)因为直线l的方程为y＝x＋m，所以直线l′的方程为y＝－x－m.由得x2＋4x＋4m＝0.Δ＝42－4×4m＝16(1－m)．(1)当m＝1，即Δ＝0时，直线l′与拋物线C相切；(2)当m≠1，即Δ≠0时，直线l′与拋物线C不相切．综上，当m＝1时，直线l′与拋物线C相切；当m≠1时，直线l′与拋物线C不相切．法二：(1)设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为(x－2)2＋y2＝r2.解得

所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.(2)同法一．

19.已知函数f（x）=x2﹣alnx．（1）若f（x）在上是单调递减函数，求实数a的取值范围；（2）记g（x）=f（x）+（2+a）lnx﹣2（b﹣1）x，并设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若，求g（x1）﹣g（x2）的最小值．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）令f′（x）≤0在上恒成立，分离参数得a≥2x2，利用二次函数的单调性求出最值即可得出a的范围；（2）令g′（x）=0，根据根与系数的关系可得x1+x2=b﹣1，x1x2=1，化简得g（x1）﹣g（x2）=2ln+（﹣），令=t，根据b的范围得出t的范围，利用函数单调性可求得h（t）=2lnt+（﹣t）的范围，得出结论．【解答】解：（1）∵f（x）=x2﹣alnx在上是单调减函数，∴f′（x）=2x﹣≤0在上恒成立，∴a≥2x2恒成立，x∈．∵y=2x2在上单调递增，∴y=2x2在上的最大值为2×52=50，∴a≥50．（2）g（x）=x2﹣alnx+（2+a）lnx﹣2（b﹣1）x=x2+2lnx﹣2（b﹣1）x，∴g′（x）=2x+﹣2（b﹣1）=，令g′（x）=0得x2﹣（b﹣1）x+1=0，∴x1+x2=b﹣1，x1x2=1，∴g（x1）﹣g（x2）=﹣=2ln+（x12﹣x22）+2（b﹣1）（x2﹣x1）=2ln+（x12﹣x22）+2（x1+x2）（x2﹣x1）=2ln+x22﹣x12=2ln+=2ln+（﹣），设=t，则0＜t＜1，∴g（x1）﹣g（x2）=2lnt+（﹣t），令h（t）=2lnt+（﹣t），则h′（t）=﹣﹣1=﹣＜0，∴h（t）在（0，1）上单调递减，∵b≥，∴（b﹣1）2≥，即（x1+x2）2==t++2≥，∴4t2﹣17t+4≥0，解得t≤或t≥4．又0＜t＜1，∴0．∴hmin（t）=h（）=2ln+（4﹣）=﹣4ln2．∴g（x1）﹣g（x2）的最小值为﹣4ln2．【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系，函数最值的计算，利用根与系数的关系化简g（x1）﹣g（x2）是解题的关键点，属于中档题．20.某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口的O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇.（Ⅰ）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行时间应为多少小时？（Ⅱ）为保证小艇在30分钟内（含30分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；参考答案：答:希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇的航行时间为1/3小时（Ⅱ）设小艇与轮船在B处相遇由题意可知，（vt）2=202+（30t）2-2·20·30t·cos（90°-30°），化简得：由于0＜t≤1/2，即1/t≥2所以当=2时，取得最小值，即小艇航行速度的最小值为海里/小时解法二：（I）过点O作⊥,垂足为C，若希望相遇时航行距离最小，则相遇于点C处.如图，在中，，,.答：（Ⅱ）设相遇处为B（B应在AC的延长线上），设则轮船和小艇的航行时间解得：小艇的航行速度当时取得最大值，取得最小值，此时略21.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF=，EF交于BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′=．（Ⅰ）证明：D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角B﹣D′A﹣C的正弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）由底面ABCD为菱形，可得AD=CD，结合AE=CF可得EF∥AC，再由ABCD是菱形，得AC⊥BD，进一步得到EF⊥BD，由EF⊥DH，可得EF⊥D′H，然后求解直角三角形得D′H⊥OH，再由线面垂直的判定得D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，由已知求得所用点的坐标，得到的坐标，分别求出平面ABD′与平面AD′C的一个法向量，设二面角二面角B﹣D′A﹣C的平面角为θ，求出|cosθ|．则二面角B﹣D′A﹣C的正弦值可求．【解答】（Ⅰ）证明：∵ABCD是菱形，∴AD=DC，又AE=CF=，∴，则EF∥AC，又由ABCD是菱形，得AC⊥BD，则EF⊥BD，∴EF⊥DH，则EF⊥D′H，∵AC=6，∴AO=3，又AB=5，AO⊥OB，∴OB=4，∴OH==1，则DH=D′H=3，∴|OD′|2=|OH|2+|D′H|2，则D′H⊥OH，又OH∩EF=H，∴D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）解：以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，∵AB=5，AC=6，∴B（5，0，0），C（1，3，0），D′（0，0，3），A（1，﹣3，0），，，设平面ABD′的一个法向量为，由，得，取x=3，得y=﹣4，z=5．∴．同理可求得平面AD′C的一个法向量，设二面角二面角B﹣D′A﹣C的平面角为θ，则|cosθ|=．∴二面角B﹣D′A﹣C的正弦值为sinθ=．22.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛．（1）求所选3人都是男生的概率；（2）求所选3人恰有一名女生的概率．参考答案：【考点】C3：概率的基本性质．【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验所包含的所有事件是从6人中选3人共有C63种结果，（1）由于满足条件的事件是所选3人都是男生有C43种结果，再根据古典概型公式得到结果．（2）由满足条件的事件是所选3人中恰有1名女生