辽宁省丹东市第一中学高三数学理测试题含解析

辽宁省丹东市第一中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列函数中，在区间上为增函数的是(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：A考点：函数的单调性与最值因为(A)在区间上为增函数，(B)

，(C)

，

(D)

在区间上均为减函数

故答案为：A2.已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B为切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为(

)参考答案：C略3.《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】由题意知：，，设，则，在中，列勾股方程可解得，然后由得出答案.【详解】解：由题意知：，，设，则在中，列勾股方程得：，解得所以从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为故选：C.【点睛】本题考查了几何概型中的长度型，属于基础题.4.如图，E、F分别是三棱锥P-ABC的棱AP、BC的中点，PC＝10，AB＝6，EF＝7，则异面直线AB与PC所成的角为（

）A．60°B．45°C．0°D．120°参考答案：A5.执行如图所示的程序框图，若输出的值为105，则输入的n（n∈N+）值可能为（）A．5 B．6 C．7 D．8参考答案：D【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当S=105，i=9时由题意，应该不满足条件9＜n，输出S的值为105，由7＜n＜9，即可得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得i=1，S=1满足条件i＜n，S=1，i=3满足条件i＜n，S=3，i=5满足条件i＜n，S=15，i=7满足条件i＜n，S=105，i=9此时，由题意，应该不满足条件9＜n，退出循环，输出S的值为105．故7＜n＜9，故选：D．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的S，i的值是解题的关键，属于基础题．6.过点且在轴上的截距和在轴上的截距相等的直线方程为（

）（A）

（B）

（C）或

（D）或参考答案：D若直线过原点，设直线方程为，把点代入得，此时直线为，即。若直线不经过原点，在设直线方程为，即。把点代入得，所以直线方程为，即，所以选D.7.如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变,则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】空间几何体的结构G4D蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆直径为1.鸡蛋的表面积为，所以球的半径为1，所以球心到截面的距离为.而截面到底面的距离即为三角形的高，所以球心到底面的距离为.【思路点拨】先求出球心到截面的距离为，再求球心到底面的距离为。8.已知，，且，则=（）A．（2，﹣4） B．（﹣2，4） C．（2，﹣4）或（﹣2，4） D．（4，﹣8）参考答案：C【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量模的平方等于向量坐标的平方和向量共线坐标交叉相乘相等列出方程组求出．【解答】解：设=（x，y），由题意可得，解得或，∴=（2，﹣4）或（﹣2，4）．故选：C．9.已知复数，则对应的点在A第一象限

B第二象限

C第三象限

D第四象限参考答案：C略10.如图，直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，正视图和俯视图如图所示，则其侧视图的面积为（

）A． B．

C．4

D．2参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知等比数列，若a3a4a8=8，则ala2…a9=____．参考答案：51212.已知长方形ABCD中，AB=4，BC=1，M为AB的中点，则在此长方形内随机取一点P，P与M的距离小于1的概率为．参考答案：【考点】几何概型．【专题】计算题；规律型；数形结合；转化法；概率与统计．【分析】本题利用几何概型解决，这里的区域平面图形的面积．欲求取到的点P到M的距离大于1的概率，只须求出圆外的面积与矩形的面积之比即可．【解答】解：根据几何概型得：取到的点到M的距离小1的概率：p====．故答案为：．【点评】本题主要考查几何概型．如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．13.已知函数（其中e为自然对数的底数）为偶函数，则实数a的值为____．参考答案：1【分析】利用恒成立可得实数的值．【详解】因为为偶函数，所以恒成立即，整理得到恒成立，故，填.【点睛】含参数的偶函数（或奇函数），可通过取自变量的特殊值来求参数的大小，注意最后检验必不可少，也可以利用（或）恒成立来求参数的大小.14.已知函数，若方程在区间内有3个不等实根，则实数的取值范围是．参考答案：试题分析：结合题中所给的函数解析式，作出函数与的图像，利用两个图形的交点个数问题确定的取值范围，结合图形可以确定的取值范围是.考点：函数的零点与方程根的关系，方程根的个数的应用，函数与方程的思想，数形结合解决问题.15.高二年级的5个文科班级每班派2名同学参加年级学生会选举，从中选出4名学生进入学生会，则这4名学生中有且只有两名学生自同一个班级的概率为_______．参考答案：16.在的展开式中，项的系数为__________.参考答案：-617.某班甲、乙两位同学升入高中以的5次数学考试成绩的茎叶图如图，则乙同学这5次数学成绩的中位数是

；已知两位同学这5次成绩的平均数都是84，成绩比较稳定的是

_____________（第二个空填“甲”或“乙”）．参考答案：【知识点】极差、方差与标准差；茎叶图．I2，甲

解析：根据茎叶图中的数据，乙的5次数学成绩按照大小顺序排列后，第3个数据是82，∴中位数是82；观察甲乙两位同学的5次数学成绩，甲的成绩分布在81～90之间，集中在平均数84左右，相对集中些；乙的成绩分布在79～91之间，也集中在平均数84左右，但相对分散些；∴甲的方差相对小些，成绩较稳定些．故答案为：82，甲．【思路点拨】根据茎叶图中的数据，结合中位数的概念，得出乙的中位数是多少，再分析数据的波动情况，得出甲的成绩较稳定些．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆（）右顶点与右焦点的距离为，短轴长为.（I）求椭圆的方程；

（II）过左焦点的直线与椭圆分别交于、两点，若三角形的面积为，求直线的方程．参考答案：解：（Ⅰ）由题意，

解得即：椭圆方程为

（Ⅱ）当直线与轴垂直时，，

此时不符合题意故舍掉；

当直线与轴不垂直时，设直线的方程为：，

代入消去得：.

设，则，

所以.

原点到直线的距离，所以三角形的面积.由，

所以直线或.

略19.（本小题满分10分）

设数列：1，-2，-2，3，3，3，-4，-4，-4，-4，…，即当时，.记对于，定义集合，，且.(1)求集合中元素的个数;(2)求集合中元素的个数.参考答案：20.（本小题满分12分）如图1，平面四边形ABCD关于直线AC对称，，，，把△ABD沿BD折起（如图2），使二面角为直二面角．（Ⅰ）求AD与平面ABC所成的角的余弦值；（Ⅱ）求二面角的大小的正弦值．参考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）【知识点】空间中的线面角的求法；二面角的求法解析：如图2所示，以的中点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立空间直角坐标系，则

,

（Ⅰ）设面的法向量为

取有

,

与面所成角的余弦值是.

…6分

（Ⅱ）同理求得面的法向量为，则

则二面角的正弦值为. ………12分【思路点拨】（Ⅰ）先建立空间直角坐标系，再写出点坐标，进而利用公式求出线面角；（Ⅱ）直接代入公式求出二面角即可。21.已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点P是椭圆C上的一个动点，且面积的最大值为.（1）求椭圆C的方程；（2）设斜率不为零的直线PF2与椭圆C的另一个交点为Q，且PQ的垂直平分线交轴于点，求直线PQ的斜率.参考答案：（1）（2）或【分析】（1）由题得到关于a,b,c的方程，解方程组即得椭圆的标准方程；（2）设直线的方程为，线段的中点为，根据，得，解方程即得直线PQ的斜率.【详解】(1)因为椭圆离心率为，当P为C的短轴顶点时，的面积有最大值.所以，所以，故椭圆C的方程为:.（2）设直线方程为，当时，代入，得:.设，线段的中点为，，即因为，则，所以，化简得，解得或，即直线的斜率为或.【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.22.已知函数的图像是由的图像经过如下三步变换得到的：①将的图像整体向左平移个单位；②将①中的图像的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的；?将②中的图像的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍。

（Ⅰ）求的周期和对称轴；

（Ⅱ）在中，分别是的对边，且