上海中学北校2022年高三数学理摸底试卷含解析

上海中学北校2022年高三数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.定义区间，，，的长度均为.用表示不超过的最大整数，记，其中.设，，若用表示不等式解集区间的长度，则当时，有

A．

B．

C．

D．

网参考答案：A略2.在复平面内，复数对应的点位于第一象限

第二象限

第三象限

第四象限参考答案：B试题分析：由于=1+4i-4=-3+4i,故复数对应的点是(-3,4)在第二象限，故选：B．考点：复数的概念及运算.3.已知集合，，若，则（）Ａ.

Ｂ.

Ｃ.

Ｄ.参考答案：B4.已知满足条件x2+y2≤1的点（x，y）构成的平面区域面积为S1，满足条件[x]2+[y]2≤1的点（x，y）构成的平面区域的面积为S2，其中[x]、[y]分别表示不大于x，y的最大整数，例如：[﹣0.4]=﹣1，[1.6]=1，则S1与S2的关系是(

) A．S1＜S2 B．S1=S2 C．S1＞S2 D．S1+S2=π+3参考答案：A考点：二元一次不等式（组）与平面区域．专题：计算题；不等式的解法及应用；直线与圆．分析：先把满足条件x2+y2≤1的点（x，y）构成的平面区域，满足条件[x]2+[y]2≤1的点（x，y）构成的平面区域表达出来，然后看二者的区域的面积，再求S1与S2的关系．解答： 解：满足条件x2+y2≤1的点（x，y）构成的平面区域为一个圆；其面积为：π当0≤x＜1，0≤y＜1时，满足条件[x]2+[y]2≤1；当0≤x＜1，1≤y＜2时，满足条件[x]2+[y]2≤1；当0≤x＜1，﹣1≤y＜0时，满足条件[x]2+[y]2≤1；当﹣1≤x＜0，0≤y＜1时，满足条件[x]2+[y]2≤1；当0≤y＜1，1≤x＜2时，满足条件[x]2+[y]2≤1；∴满足条件[x]2+[y]2≤1的点（x，y）构成的平面区域是五个边长为1的正方形，其面积为：5综上得：S1与S2的关系是S1＜S2，故选A．点评：本题类似线性规划，处理两个不等式的形式中，第二个难度较大，[x]2+[y]2≤1的平面区域不易理解．5.若函数f（x）=x2﹣2x+m在[3，+∞）上的最小值为1，则实数m的值为（）A．﹣3 B．2 C．﹣2 D．1参考答案：C【考点】3W：二次函数的性质．【分析】求出函数的对称轴，判断函数的单调性，列出方程求解即可．【解答】解：函数f（x）=x2﹣2x+m的对称轴为：x=1＜3，二次函数的开口向上，在[3，+∞）上是增函数，函数f（x）=x2﹣2x+m在[3，+∞）上的最小值为1，可得f（3）=1，即9﹣6+m=1．解得m=﹣2．故选：C．6.从5位男实习教师和4位女实习教师中选出3位教师派到3个班实习班主任工作，每班派一名，要求这3位实习教师中男女都要有，则不同的选派方案共有

（

）

A．210

B．420

C．630

D．840

参考答案：B7.若上是减函数，则实数b的取值范围是

（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：C8.设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（）A．

B.

C.

D.参考答案：9.已知向量?（+2）=0，||=2，||=2，则向量，的夹角为(

)A． B． C． D．参考答案：B【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】平面向量及应用．【分析】由条件可得+2=0，求得cos＜，＞的值．再由＜，＞∈，可得＜，＞的值．【解答】解：由已知||=2，||=2，向量?（+2）=0，可得+2=0，即4+2×2×2cos＜，＞=0，求得cos＜，＞=﹣．再由＜，＞∈，可得＜，＞=，故选B．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，根据三角函数的值求角，属于中档题．10.已知A，B为椭圆上的两个动点，,且满足,则的取值范围为

（

）A.[3,4] B. C.[1,9] D.参考答案：C【分析】由题可得，设，由两点间距离公式结合可得解.【详解】为椭圆上的两个动点，为其左焦点.，则有..设，则..由，得.故选C.【点睛】本题主要考查了椭圆方程的应用及数量积的坐标运算，属于中档题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.四位同学在研究函数时，分别给出下面四个结论：

①函数的图象关于轴对称；

②函数的值域为(－1,1)；③若则一定有；④若规定,，则对任意恒成立．

你认为上述四个结论中正确的有

参考答案：②③.④12.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设S为△ABC的面积，S=（a2+b2﹣c2），则C的大小为

．参考答案：【考点】余弦定理．【分析】根据正弦定理关于三角形面积的公式结合余弦定理化简题中的等式，可得sinC=cosC．再由同角三角函数的基本关系，得到tanC=，结合C∈（0，π）可得C=，得到本题答案．【解答】解：∵△ABC的面积为S=absinC，∴由S=（a2+b2﹣c2），得（a2+b2﹣c2）=absinC，即absinC=（a2+b2﹣c2）∵根据余弦定理，得a2+b2﹣c2=2abcosC，∴absinC=×2abcosC，得sinC=cosC，即tanC==∵C∈（0，π），∴C=故答案为：13.在区间上随机地取一个数x，若x满足的概率为，则

.参考答案：14.设，定义为不小于实数的最小整数（如，），若，则满足的实数的取值范围是__________；若，则方程的根为__________．参考答案：；∵，∴，故，设，则，，∴原方程等价于，即，从而，∴或，相应的为，，故所有实根之和为．15.已知命题，则为__________参考答案：特称命题的否定为全称命题：.16.函数的单调增区间是______.参考答案：(1,+∞)【分析】求得函数的定义域为，令，利用二次函数的性质，求得函数的单调区间，结合据复合函数的单调性的判定方法，即可求解.【详解】由题意，函数满足，解得或，即函数的定义域为，令，则函数在单调递减，在区间单调递增，再根据复合函数的单调性，可得函数的单调递增区间为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了复合函数的单调区间的求解，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定方法，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.17.在平面直角坐标系xOy中，给定两点M(－1，2)和N(1，4)，点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标为

；参考答案：1解：当∠MPN最大时，⊙MNP与x轴相切于点P(否则⊙MNP与x轴交于PQ，则线段PQ上的点P￠使∠MP￠N更大)．于是，延长NM交x轴于K(－3，0)，有KM·KN=KP2，TKP=4．P(1，0)，(－7，0)，但(1，0)处⊙MNP的半径小，从而点P的横坐标=1．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量q=（，1），p=（，）且．求：（1）求sinA的值；

（2）求三角函数式的取值范围．参考答案：（1）∵，∴，根据正弦定理，得，

又，，，，又；

（2）原式，，

∵，且∴，∴，∴，∴的值域是19.

已知函数处取得极值.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若当恒成立，求的取值范围；

（Ⅲ）对任意的是否恒成立？如果成立，给出证明，如果不成立，

请说明理由.参考答案：

（Ⅰ）∵f(x)=x3－x2+bx+c，

∴f′(x)=3x2－x+b.

……2分

∵f(x)在x=1处取得极值，

∴f′(1)=3－1+b=0.

∴b=－2.

……3分

经检验，符合题意.

……4分

（Ⅱ）f(x)=x3－x2－2x+c.

∵f′(x)=3x2－x－2=(3x+2)(x－1)，

…5分x

1(1,2)

2f′(x)

+

0

－

0

+f(x)

……7分

∴当x=－时，f(x)有极大值+c.

又

∴x∈[－1，2]时，f(x)最大值为f(2)=2+c.

……8分

∴c2>2+c.

∴c<－1或c>2.

…………10分

（Ⅲ）对任意的恒成立.

由（Ⅱ）可知，当x=1时，f(x)有极小值.

又

…12分

∴x∈[－1，2]时，f(x)最小值为.

，故结论成立.……14分

略20.已知函数是奇函数，且.（1）求函数f(x)的解析式；

（2）判断函数f(x)在上的单调性，并加以证明.参考答案：解：（1）∵f(x)是奇函数，∴对定义域内的任意的x，都有，即，整理得：

∴q=0

又∵，∴，

解得p=2

∴所求解析式为

（2）由（1）可得=，设，

则由于=因此，当时，，从而得到即，∴是f(x)的递增区间。21.已知数列{an}的前n项和，令bn=log9an+1．（1）求数列{bn}的通项公式；（2）若数列{bn}的前n项和为Tn，数列的前n项和为Hn，求H2017．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由数列的前n项和求出数列通项公式，代入bn=log9an+1，利用对数的运算性质求得数列{bn}的通项公式；（2）求出数列{bn}的前n项和为Tn，利用裂项相消法