2022-2023学年天津津津中学高三数学理联考试卷含解析

2022-2023学年天津津津中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.从区间[﹣1，1]内随机取出一个数a，使3a+1＞0的概率为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】几何概型．【分析】本题利用几何概型求概率，首先解得的区间长度以及与区间[﹣1，1]的长度，求比值即得．【解答】解：由3a+1＞0，解得：a＞﹣，故满足条件的概率p==，故选：C．2.已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为 （

）A． B． C． D．参考答案：B3.

已知函数，若，则的所有可能值为（

）A.1

B.1或

C.

D.1或参考答案：D4.复数（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D，选D.5.是函数的零点,,则① ② ③ ④其中正确的命题为 A．①③ B．①④ C．②③ D．②④参考答案：B略6.设集合，，则(

▲)（A） （B）

（C）

（D）参考答案：A略7.某地一天内的气温（单位：℃）与时刻（单位：时）之间的关系如图（1）所示，令表示时间段内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差）．与之间的函数关系用下列图象表示，则正确的图象大致是（）参考答案：答案：D解析：结合图象及函数的意义可得。8.已知集合,则等于A．{-1,0,1} B．{1} C．{-1,1} D．{0,1}参考答案：B略9.设数列是等差数列，且，，是数列的前项和，则（）A．

B．

C．

D．参考答案：答案：B10.若向量，则下列结论正确的是(

)．A．

B.

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设是各项均为非零实数的等差数列的前项和，且满足条件，则的最大值为

。参考答案：12.已知函数满足且时,,则方程解的个数为_________.参考答案：略13.设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x?Q}，若P＝{1，2，3，4}，Q＝{x|＜2，x∈R}，则P－Q＝________．参考答案：{4}14.在△ABC中,,,则与的夹角为

．参考答案：设,则.所以，所以与的夹角为.15.则=

参考答案：答案：116.函数的定义域是_________．参考答案：

17.已知曲线C的极坐标方程为，则C与极轴的交点到极点的距离是

。参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数．（Ⅰ）若，解不等式：；（Ⅱ）若的解集为，，求的最小值．参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）.∴或，即或，考点：绝对值不等式、基本不等式．19.如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面三角形ABCD，E是PD的中点（1）证明：直线CE//平面PAB（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M-AB-D的余弦值参考答案：（1）令中点为，连结，，．∵，为，中点，∴为的中位线，∴．又∵，∴．又∵，∴，∴．∴四边形为平行四边形，∴．又∵，∴（2）以中点为原点，如图建立空间直角坐标系．设，则，，，，，．在底面上的投影为，∴．∵，∴为等腰直角三角形．∵为直角三角形，，∴．设，，．∴．．∴．∴，，．设平面的法向量．，∴，．设平面的法向量为，．∴．∴二面角的余弦值为．20.如图,某市拟在长为的道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段,该曲线段为函数的图象,且图象的最高点为;赛道的后一部分为折线段.为保证参赛运动员的安全,限定.(1)求的值和两点间的距离;(2)应如何设计,才能使折线段线段最长?

参考答案：（Ⅰ）依题意，有（1’），又，。

（2’），当时，

（4’）

又

（5’）（Ⅱ）解法一在△MNP中∠MNP=120°，MP=5，设∠PMN=，则0°<<60°由正弦定理得,

（7’）故（10’）0°<<60°

（11’）当=30°时，折线段赛道MNP最长，亦即，将∠PMN设计为30°时，折线段道MNP最长

（12’）解法二：在△MNP中，∠MNP=120°，MP=5，由余弦定理得∠MNP=即

（7’）故，从而，即（10’）当且仅当时，折线段道MNP最长

（12’）21.（本小题满分12分）设公差不为0的等差数列的首项为1，且构成等比数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，，求的前项和参考答案：【知识点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和．D4D5

【答案解析】（Ⅰ）2n-1；（Ⅱ）解析：（I）设等差数列的公差为d,(d),则构成等比数列，，即解得d=0（舍去）或d=2,1+2(n-1)=2n-1

……………….3分（II）由已知（）当n=1时，=；当时，（）=，=，（）由（I），2n-1（），（）…………7分两式相减得，=，

…………….12分【思路点拨】（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d（d≠0），由a2，a5，a14构成等比数列得关于d的方程，解出d后利用等差数列的通项公式可得an；（Ⅱ）由条件可知，n≥2时，=1﹣﹣（1﹣）=，再由（Ⅰ）可求得bn，注意验证n=1的情形，利用错位相减法可求得Tn。22.(本小题满分14分)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比。已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）

（1）分别写出两种产品的收益与投资的函数关系。

（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资