辽宁省丹东市东港十字街中学高三数学理摸底试卷含解析

辽宁省丹东市东港十字街中学高三数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知a，b为非零实数，且a＜b，则下列命题一定成立的是（）参考答案：C2.下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递减的函数是（）A．y=2x3 B．y=|x|+1 C．y=﹣x2+4 D．y=2|x|参考答案：C【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】在A中，y=2x3是奇函数，在（0，+∞）上单调递增；在B中，y=|x|+1在（0，+∞）上单调递增；在C中，y=﹣x2+4偶函数，在（0，+∞）上单调递减；在D中，y=2|x|在（0，+∞）上单调递增．【解答】解：在A中，y=2x3是奇函数，在（0，+∞）上单调递增，故A错误；在B中，y=|x|+1是偶函数，在（0，+∞）上单调递增，故B错误；在C中，y=﹣x2+4偶函数，在（0，+∞）上单调递减，故C正确；在D中，y=2|x|偶函数，在（0，+∞）上单调递增，故D错误．故选：C．3.函数f（x）=的零点的个数：

（

）A．8

B．7

C．6

D．5参考答案：B略4.某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的值是（

） A．63

B．31

C．27

D．15参考答案：A略5.已知x，y满足，则3x﹣2y的最大值为（）A．﹣4 B．8 C．11 D．13参考答案：C【考点】简单线性规划．【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值．【解答】解：由已知得到可行域如图：设z=3x﹣2y，得到y=，当此直线经过图中A（3，﹣1）时在y轴的截距最小，z最大，所以z的最大值为3×3+2=11；故选C．6.已知数列{an}的通项公式，则（）A.150 B.162 C.180 D.210参考答案：B【分析】由通项公式，首先判断数列的单调性，去掉要求和式的绝对值，再进行计算。【详解】由对勾函数的性质可知：当时，数列为递减；当时，数列为递增。所以====162【点睛】数列问题常见的方法和注意点：（1）求和常常要根据数列的通项公式的形式和特点，灵活选择方法，不可以用固定的思维模式去考虑问题。如含绝对值的求和问题的关键点在于先把绝对值去掉，再求和。（2）常见的求和方法有：倒序求和，错位相消，裂项法，分组求和法，公式法等。

7.已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2+2x，若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） B．（﹣2，1） C．（﹣1，2） D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）参考答案：B【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由题意可先判断出f（x）=x2+2x=（x+1）2﹣1在（0，+∞）上单调递增，根据奇函数的对称区间上的单调性可知，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，从而可比较2﹣a2与a的大小，解不等式可求a的范围【解答】解：∵f（x）=x2+2x=（x+1）2﹣1在（0，+∞）上单调递增又∵f（x）是定义在R上的奇函数根据奇函数的对称区间上的单调性可知，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增∴f（x）在R上单调递增∵f（2﹣a2）＞f（a）∴2﹣a2＞a解不等式可得，﹣2＜a＜1故选B8.设为定义在上的奇函数，当时，，则

A．-1

B．-4

C．1

D．4

参考答案：B9.如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】由题意连接A1C1，则∠AC1A1为所求的角，在△AC1A1计算．【解答】解：连接A1C1，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∴A1A⊥平面A1B1C1D1，则∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成角．在△AC1A1中，sin∠AC1A1===．故选D．10.设x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．1024 B．256 C．8 D．4参考答案：B【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：由z==22x﹣y，令u=2x﹣y，作出约束条件，对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=2x﹣u由图象可知当直线y=2x﹣u过点A时，直线y=2x﹣u的截距最小，此时u最大，由，解得，即A（5，2）．代入目标函数u=2x﹣y，得u=2×5﹣2=8，∴目标函数z==22x﹣y，的最大值是28=256．故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.执行如右图所示的程序框图，若输入的的值为10，则输出的 .参考答案：412.将初始温度为0℃的物体放在室温恒定为30℃的实验室里，现等时间间隔测量物体温度，将第n次测量得到的物体温度记为，已知.已知物体温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为k）.给出以下几个模型，那么能够描述这些测量数据的一个合理模型为__________：（填写模型对应的序号）①；②；③.在上述模型下，设物体温度从5℃升到10℃所需时间为amin，从10℃上升到15℃所需时间为bmin，从15℃上升到20℃所需时间为cmin，那么与的大小关系是________（用“＞”，“=”或“＜”号填空）参考答案：②

＞【分析】由温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为），即可得到，再根据函数模型，分别求得的值，结合作差比较，即可得到答案.【详解】由题意，将第次测量得到的物体温度记为，则两次的体温变化为，又由温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为），所以，当物体温度从5℃升到10℃所需时间为，可得，可得，当物体温度从10℃上升到15℃所需时间为，可得，可得，当物体温度从15℃上升到20℃所需时间为，可得，可得，可是，又由，即与的大小关系是.故答案为：②，＞【点睛】本题主要考查了函数的模型的选择，以及实际应用问题的求解，其中解答中认真审题，正确理解题意，选择适当的函数模型是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.13.在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，C=45°，且a，2，b成等比数列，则△ABC的面积为

．参考答案：【考点】正弦定理；等比数列的性质．【分析】先利用等比中项的性质求得ab=4，再利用三角形面积公式S=absinC计算其面积即可【解答】解：∵a，2，b成等比数列，∴ab=4∴△ABC的面积S=absinC=×4×sin45°=故答案为14.下列五个函数中：①；②；③；④；⑤，当时，使恒成立的函数是

(将正确的序号都填上）.参考答案：②③15.已知向量则实数k等于______.参考答案：16.在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=5：7：8，则∠B的大小是．参考答案：【考点】HR：余弦定理；GR：两角和与差的正切函数．【分析】根据sinA：sinB：sinC=5：7：8，利用正弦定理可求得a，b，c的关系，进而设a=5k，b=7k，c=8k，代入余弦定理中求得cosB的值，进而求得B．【解答】解：sinA：sinB：sinC=5：7：8∴a：b：c=5：7：8设a=5k，b=7k，c=8k，由余弦定理可得cosB==；∴∠B=．故答案为．17.已知下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为___________。

参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.坐标系与参数方程．

在直角坐标系中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．（Ⅰ）写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；（Ⅱ）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．

参考答案：略19.（本小题满分12分）已知向量（1）求；（2）求的最值．参考答案：(1)

……

(6分）(2)∴最大值是5，此时最小值是1，此时…………（12分）20.（本小题满分13分）已知函数（、均为正常数）．（1）证明函数在内至少有一个零点；（2）设函数在处有极值，对于一切，不等式总成立，求的取值范围；参考答案：解：（1）∵…………………2分…………4分

∴函数在内至少有一个零点……………6分（2）∵，∴……7分

由题意得，即…………8分

问题等价于对一切恒成立……9分

记，则………10分

∵………11分∴即∴，即在上是减函数……………12分∴，于是，故的取值范围是………13分21.等比数列的各项均为正数，且（Ⅰ)求数列的通项公式；（Ⅱ）设求数列的前n项和.参考答案：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由得所以．由条件可知c>0，故．由得，所以．故数列{an}的通项式为an=．（Ⅱ

）故所以数列的前n项和为22.如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，，，E为棱AP的中点，且AD⊥CE.（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（Ⅱ）当直线PB与底面ABCD成30°角时，求二面角B-CE-P的余弦值.参考答案：解：(Ⅰ)取的中点，连，，为等边三角形，，又，，又，又PD⊥平面ABCD，又PD平面PAD平面