上海市卢湾区陕西中学高二数学理期末试题含解析

上海市卢湾区陕西中学高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是（）A．x﹣y﹣3=0 B．2x+y﹣3=0 C．x+y﹣1=0 D．2x﹣y﹣5=0参考答案：A【考点】直线和圆的方程的应用；直线与圆相交的性质．【专题】计算题．【分析】由圆心为O（1，0），由点P为弦的中点，则该点与圆心的连线垂直于直线AB求解其斜率，再由点斜式求得其方程．【解答】解：已知圆心为O（1，0）根据题意：Kop=kABkOP=﹣1kAB=1，又直线AB过点P（2，﹣1），∴直线AB的方程是x﹣y﹣3=0故选A【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系及其方程的应用，主要涉及了弦的中点与圆心的连线与弦所在的直线垂直．2.已知函数是定义在实数集R上的奇函数，且成立（其中的导函数），若，，，则，，的大小关系是(

)

A. B. C. D.参考答案：A3.图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】第1代“勾股树”中，小正方形的个数3＝21+1﹣1＝3，所有正方形的面积之和为2＝（1+1）×1，第2代“勾股树”中，小正方形的个数7＝22+1﹣1，所有的正方形的面积之和为3＝（2+1）×1，以此类推，第n代“勾股树”所有正方形的个数为2n+1﹣1，第n代“勾股树”所有正方形的面积的和为：（n+1）×1＝n+1．【详解】解：第1代“勾股树”中，小正方形的个数3＝21+1﹣1＝3，如图（2），设直角三角形的三条边长分别为a，b，c，根据勾股定理得a2+b2＝c2，即正方形A的面积+正方形B的面积＝正方形C的面积＝1，所有正方形的面积之和为2＝（1+1）×1，第2代“勾股树”中，小正方形的个数7＝22+1﹣1，如图（3），正方形E的面积+正方形F的面积＝正方形A的面积，正方形M的面积+正方形N的面积＝正方形B的面积，正方形E的面积+正方形F的面积+正方形M的面积+正方形N的面积＝正方形A的面积+正方形B的面积＝正方形C的面积＝1，所有的正方形的面积之和为3＝（2+1）×1，…以此类推，第n代“勾股树”所有正方形的个数为2n+1﹣1，第n代“勾股树”所有正方形的面积的和为：（n+1）×1＝n+1．故选：A．【点睛】本题考查正方形的性质及勾股定理的应用，考查归纳推理等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，是中档题．4.下列命题中的真命题是（

）A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则参考答案：D5.复数等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B6.在△ABC中，周长为7.5cm，且sinA：sinB：sinC＝4：5：6,下列结论：①

②③

④

其中成立的个数是

(

)A．0个

B．1个

C．2个

D．3个参考答案：C

7.已知i为虚数单位，a为实数，复数z＝(a－2i)(1＋i)在复平面内对应的点为M，则“点M在第四象限”是“a＝1”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：B【分析】把复数的表示形式写成标准形式，根据复数在第四象限，得到复数的坐标所满足的条件，横标大于零，纵标小于零，得到a的取值范围，得到结果．【详解】解：∵复数z＝（a﹣2i）（1+i）＝a+2+（a﹣2）i，∴在复平面内对应的点M的坐标是（a+2，a﹣2），若点在第四象限则a+2＞0，a﹣2＜0，∴﹣2＜a＜2，∴“点M在第四象限”是“a＝1”的必要而不充分条件，故选：B．【点睛】本题考查充要条件问题，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查各个象限的点的坐标特点，本题是一个基础题．8.已知x>0、y>0、

+

=1.若x+2y>m－2m恒成立，则实数m的取值范围是

(

)

A.m≥4或m≤－2

B.－2＜m＜4

C.m≥2或m≤－4

D.－4＜m＜2参考答案：B略9.已知m、n为两条不同的直线，、为两个不同的平面，下列命题中正确的是（

）A．若∥，m∥，则m∥

B．若⊥，m⊥，则m⊥

C．若m⊥，m⊥，则∥

D．若m∥，m⊥n，则n⊥参考答案：C10.不等式的解集是（）A.

B.C.

D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，已知椭圆的方程为：，是它的下顶点，是其右焦点，

的延长线与椭圆及其右准线分别交于、两点，若点恰好是的中点，则此椭圆的离心率是

▲

.参考答案：12.若函数f(x)=x2+在区间上单调递增，则实数的取值范围是

参考答案：略13.已知△ABC中，a=,b=,B=60°,那么角A等于__________．参考答案：45°14.已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点。若点到该抛物线焦点的距离为，则__________参考答案：

15.已知两圆。则经过两圆交点的公共弦所在的直线方程为____

___

参考答案：x-y+2=016.已知，用数学归纳法证明时，等于参考答案：略17.下列各数

、

、

、中最小的数是___参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）设命题p：（x﹣2）2≤1，命题q：x2+（2a+1）x+a（a+1）≥0，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】命题p：（x﹣2）2≤1，可得解集A=[1，3]．命题q：x2+（2a+1）x+a（a+1）≥0，可得B=（﹣∞，﹣a﹣1]∪[﹣a，+∞）．根据p是q的充分不必要条件，即可得出．【解答】解：命题p：（x﹣2）2≤1，解得1≤x≤3，记A=[1，3]．命题q：x2+（2a+1）x+a（a+1）≥0，解得x≤﹣a﹣1，或x≥﹣a．记B=（﹣∞，﹣a﹣1]∪[﹣a，+∞）．∵p是q的充分不必要条件，∴3≤﹣a﹣1，或﹣a≤1，∴a≤﹣4，或a≥﹣1．∴实数a的取值范围为（﹣∞，﹣4]∪[﹣1，+∞）．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E、F分别是BC，PC的中点，，．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求二面角的大小．参考答案：（1）见解析（2）第一问利用线面垂直的判定定理和建立空间直角坐标系得到法向量来表示二面角的。第二问中，以A为原点，如图所示建立直角坐标系，，设平面FAE法向量为，则，，∴，即二面角的大小为20.已知一个正三角形的周长为，求这个正三角形的面积。设计一个算法，解决这个问题。参考答案：算法步骤如下：

第一步：输入的值；第二步：计算的值；第三步：计算的值；第四步：输出的值。21.已知a,b为常数，a,方程有二个相等的实数解.（1）求的解析式.（2）当时，求值域.参考答案：（1）由方程即即有二个相等的实数解且0（2）由（1）知对称轴开口向下，在[1,2]上减当时，时，略22.解不等式参考答案：[解法]由

，且

在上为增函数，故原不等式等

．…5分分组分解