高等数学映射与函数

高等数学课件映射与函数第1页，课件共78页，创作于2023年2月一、集合1.集合概念:集合：具有某种特定属性的事物的全体.

用A、B、C表示.第2页，课件共78页，创作于2023年2月有限集：由有限个元素构成的集合.无限集：由无限个元素构成的集合.集合的元素：组成这个集合的事物称为该集合的元素.用a,b,c表示.集合的表示法：列举法：按任意顺序列出集合的所有元素,并用花括号{}括起来.特点：具有明显性,适用于有限集.第3页，课件共78页，创作于2023年2月构造式法：集合与元素间的关系：（属于）集合与集合的关系：（包含）特点：具有明确性,适用于任何集合.第4页，课件共78页，创作于2023年2月数集分类:N----自然数集Z----整数集Q----有理数集R----实数集集合A内排除0的数集.集合A内排除0与负数的数集.集合集合集合集合集合第5页，课件共78页，创作于2023年2月不含任何元素的集合称为空集.空集为任何集合的子集.

若，且,则称A是B的真子集,记为.第6页，课件共78页，创作于2023年2月2、集合的运算

是二个集合，定义设A、B(A与B的并集)(A与B的交集)(A与B的差集)设I表示我们研究某个问题的全体,则其他集合A都是I的子集,称I为全集或基本集.A的余集或补集记为:例如:在实数集R中则有第7页，课件共78页，创作于2023年2月设A、B、C为任意三个集合，则有下列法则成立：（1）交换律（2）结合律（3）分配律（4）对偶律以上这些法则都可以根据集合相等的定义验证.第8页，课件共78页，创作于2023年2月证明:两个集合的并集的余集等于它们的余集的交集.证明:且且反之,且注:在以后的证明中,“”表示“推出”(或“蕴含”),“”表示“等价”.且于是第9页，课件共78页，创作于2023年2月直积或笛卡儿乘积例如：为xOy面上全体点的集合，记为RR第10页，课件共78页，创作于2023年2月区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.称为开区间,称为闭区间,3.区间和邻域第11页，课件共78页，创作于2023年2月称为半开区间,称为半开区间,有限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.第12页，课件共78页，创作于2023年2月无限区间用数轴可以表示区间,区间常用I表示.引进记号：（读作无穷大）（读作正无穷大）+∞(读作负无穷大）－∞

第13页，课件共78页，创作于2023年2月邻域:邻域就是开区间第14页，课件共78页，创作于2023年2月

点a的去心邻域：注若不强调δ的大小，点a的邻域记为U(a)点a的左δ邻域:开区间(a-δ,a)点a的右δ邻域:开区间(a,a+δ)第15页，课件共78页，创作于2023年2月二、映射1.

映射(mapping)的概念第16页，课件共78页，创作于2023年2月第17页，课件共78页，创作于2023年2月2.关于映射定义的说明(1)

构成映射的三要素:

)3(第18页，课件共78页，创作于2023年2月3.单射、满射、一一映射第19页，课件共78页，创作于2023年2月例1该映射既非单射,又非满射.第20页，课件共78页，创作于2023年2月例2该映射的几何意义:

将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x轴的区间[–1,1]上.该映射不是单射,是满射.第21页，课件共78页，创作于2023年2月例3该映射既是单射,又是满射,故而是一一映射.第22页，课件共78页，创作于2023年2月4.逆映射与复合映射第23页，课件共78页，创作于2023年2月注意:第24页，课件共78页，创作于2023年2月例4第25页，课件共78页，创作于2023年2月映射又称为算子.根据集合X、Y的不同情形,在不同的数学分支中,映射又有不同的惯用名称.如:从非空集合X到数集Y的映射又称为X上的泛函.从非空集合X到它自身的映射又称为X上的变换.从实数集(或其子集)X到实数集Y的映射称为定义在X上的函数.第26页，课件共78页，创作于2023年2月注意:只有单射才存在逆映射.例1,2,3中,只有例3有逆映射:第27页，课件共78页，创作于2023年2月三、函数1.函数概念因变量自变量定义设数集，则称映射为定义在D上的函数，通常简记为D称为定义域,记作,即.第28页，课件共78页，创作于2023年2月对每个,按对应法则f

总有唯一确定的值y与之对应,这个值称为函数f

在x处的函数值,记作f(x),即y=f(x).函数值f(x)的全体所构成的集合称为函数f

的值域,记作或f(D),即第29页，课件共78页，创作于2023年2月函数是从实数集到实数集的映射,其值域总在R内.函数的两要素:定义域与对应法则f.如果两个函数的定义域相同,对应法则也相同,那么这两个函数就是相同的,否则就是不同的.作业第7题第30页，课件共78页，创作于2023年2月约定:定义域是自变量所能取的使算式有(实际)意义的一切实数值.如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数．例如:第31页，课件共78页，创作于2023年2月对于多值函数,往往只要附加一些条件,就可以将它化为单值函数,这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支.例如,在由方程给出的对应法则中,附加“”的条件,就可得到一个单值分支第32页，课件共78页，创作于2023年2月表示函数的主要方法有三种:表格法、图形法、解析法（公式法）.定义:点集称为函数的图形.第33页，课件共78页，创作于2023年2月(1)符号函数几个特殊的函数举例1-1xyo定义域D=(－∞,+∞),值域={1,0,－1}.第34页，课件共78页，创作于2023年2月(2)取整函数y=[x][x]表示不超过x的最大整数12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线[1.2][-2.5]=1=-330定义域D=(－∞,+∞),值域=Z.第35页，课件共78页，创作于2023年2月例3函数y=2它的定义域值域它的图形是一条平行于x轴的直线.Oxyy=2第36页，课件共78页，创作于2023年2月例4函数定义域D=(－∞,+∞),这个函数称为绝对值函数.Oxy值域=[0,+∞).第37页，课件共78页，创作于2023年2月绝对值:运算性质:绝对值不等式:第38页，课件共78页，创作于2023年2月分段函数：在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为

分段函数。

第39页，课件共78页，创作于2023年2月例5函数是一个分段函数.它的定义域D=[0,+∞).如:yxO1第40页，课件共78页，创作于2023年2月例6解：分段函数的定义域，是使函数有定义的实数的全体.故（1）的定义域

（2）的定义域第41页，课件共78页，创作于2023年2月第42页，课件共78页，创作于2023年2月2、函数的特性M-Myxoy=f(x)D有界无界M-MyxoD1．函数的有界性:第43页，课件共78页，创作于2023年2月(2)有界与否是和D有关的.(1)当一个函数有界时，它的界是不唯一的.注意:使(3)证明无界的方法:对于任意正数M,总存在第44页，课件共78页，创作于2023年2月1.有界4.无界,有界.第45页，课件共78页，创作于2023年2月2．函数的单调性:xyo第46页，课件共78页，创作于2023年2月xyo第47页，课件共78页，创作于2023年2月3.单调增4.单调减,单调增.第48页，课件共78页，创作于2023年2月3．函数的奇偶性:偶函数yxox-xsocx第49页，课件共78页，创作于2023年2月奇函数yxox-xSinx，tanx第50页，课件共78页，创作于2023年2月5.偶函数6.奇函数7.非奇非偶函数第51页，课件共78页，创作于2023年2月4．函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.函数sinx,cosx的周期是函数tanx的周期是第52页，课件共78页，创作于2023年2月有理数点无理数点•1xyo例10狄利克雷函数它是一个周期函数,任何有理数都是它的周期,但它没有最小正周期.第53页，课件共78页，创作于2023年2月3.反函数与复合函数反函数的定义:设函数是单射,则它存在逆映射称此映射为函数f

的反函数.如:函数是单射,其反函数为若函数f(x)在D上是单调函数,则也是f(D)上的单调函数.注意：反函数的求法第54页，课件共78页，创作于2023年2月DD)(xfy=函数第55页，课件共78页，创作于2023年2月

直接函数与反函数的图形关于直线对称.相对于反函数原来的函数y=f(x)称为直接函数.第56页，课件共78页，创作于2023年2月复合函数定义:定义,且函数u=g(x)在D上有则由下式确定的函数称为由函数u=g(x)和函数构成的复合函数,它的定义域为D,变量u称为中间变量.函数g与函数f

构成的复合函数通常记为设函数的定义域为的定义域为设函数第57页，课件共78页，创作于2023年2月函数g与函数f

构成复合函数的条件是:函数g在D上的值域g(D)必须含在f

的定义域内,即注意：1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;第58页，课件共78页，创作于2023年2月∴是由这三个函数复合而成的。2.复合函数可以由两个以上的简单函数经过复合构成.第59页，课件共78页，创作于2023年2月4.函数的运算设函数f(x),g(x)的定义域依次为则可以定义这两个函数的下列运算：和(差)积商;),()())((Dxxgxfxgfα=±第60页，课件共78页，创作于2023年2月5、基本初等函数1、幂函数定义域：视的取值而定。第61页，课件共78页，创作于2023年2月偶奇增增奇减第62页，课件共78页，创作于2023年2月2、指数函数第63页，课件共78页，创作于2023年2月3、对数函数第64页，课件共78页，创作于2023年2月4、三角函数正弦函数余弦函数正切函数余切函数正割函数余割函数第65页，课件共78页，创作于2023年2月奇有有偶奇奇周期内增周期内减第66页，课件共78页，创作于2023年2月5、反三角函数定义域：[-1，1]值域：主值区间：