圆的一般方程

1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置

和半径的大小.3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程.学习目标XUEXIMUBIAO内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PARTONE知识点圆的一般方程1.圆的一般方程当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程

称为圆的一般方程.2.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形条件图形D2＋E2－4F<0不表示任何图形D2＋E2－4F＝0表示一个点___________D2＋E2－4F>0表示以

为圆心，以

为半径的圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0思考方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，x2＋y2－2x＋4y＋6＝0分别表示什么图形？答案对方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝4，表示以(1，－2)为圆心，2为半径的圆；对方程x2＋y2－2x＋4y＋6＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝－1，不表示任何图形.思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.圆的一般方程可以化为圆的标准方程.(

)2.二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程.(

)3.若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.(

)4.任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程.(

)√×√√2题型探究PARTTWO一、圆的一般方程的概念例1若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径.解由表示圆的条件，得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，反思感悟形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法(1)由圆的一般方程的定义，D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆.(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解.应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解.跟踪训练1

已知方程x2＋y2＋2ax－by＋c＝0表示圆心为C(2,2)，半径为2的圆，则a，b，c的值依次为A.2,4,4 B.－2,4,4C.2，－4,4 D.2，－4，－4√二、求圆的一般方程例2

(1)与圆x2＋y2－4x＋6y＋3＝0同圆心，且过点(1，－1)的圆的方程是A.x2＋y2－4x＋6y－8＝0 B.x2＋y2－4x＋6y＋8＝0C.x2＋y2＋4x－6y－8＝0 D.x2＋y2＋4x－6y＋8＝0√解析设所求圆的方程为x2＋y2－4x＋6y＋c＝0，代入点(1，－1)有1＋1－4－6＋c＝0，解得c＝8，故所求圆的方程为x2＋y2－4x＋6y＋8＝0.(2)已知点A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1).①求△ABC的外接圆的一般方程；解设△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，即△ABC的外接圆的一般方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.②若点M(a,2)在△ABC的外接圆上，求a的值.解由(1)知，△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0，∵点M(a,2)在△ABC的外接圆上，∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0，即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或a＝6.延伸探究若本例(2)中将“点C(3，－1)”改为“圆C过A，B两点且圆C关于直线y＝－x对称”，其他条件不变，如何求圆C的方程？反思感悟应用待定系数法求圆的方程时应注意(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.跟踪训练2

已知一圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为

，求圆的方程.解方法一(待定系数法)设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将点P，Q的坐标分别代入上式，令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，

③∴|y1－y2|2＝(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.④故圆的一般方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.方法二(几何法)由题意，得线段PQ的垂直平分线的方程为x－y－1＝0，∴所求圆的圆心C在直线x－y－1＝0上，设其坐标为(a，a－1).①解得a＝1或a＝5，故圆的方程为(x－1)2＋y2＝13或(x－5)2＋(y－4)2＝37.3随堂演练PARTTHREE1.圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为A.(4，－6)，16 B.(2，－3)，4C.(－2,3)，4 D.(－2,3)，16√12345123452.已知圆C：x2＋y2－2x－2y＝0，则点P(3,1)在A.圆内 B.圆上C.圆外 D.无法确定√解析∵32＋12－2×3－2×1＝2>0，故点P在圆外.3.圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线2ax＋y－1＝0的距离为1，则a等于12345√解析圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心为(1,4)，4.经过A(0,0)，B(1,0)，C(2,1)三点的圆的方程为A.x2＋y2＋x－3y－2＝0 B.x2＋y2＋3x＋y－2＝0C.x2＋y2＋x＋3y＝0 D.x2＋y2－x－3y＝0√解析设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，故所求圆的方程为x2＋y2－x－3y＝0.123455.若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是____________.12345(－∞，1)解析若该方程能表示圆，即k<1.1.知识清单：(1)圆的一般方程的定义及其理解.(2)求圆的一般方程.2.方法归纳：公式法、数形结合法.3.常见误区：二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0并不一定都能表示圆的方程，表示圆时易忽视隐藏的条件D2＋E2－4F>0.课堂小结KETANGXIAOJIE4课时对点练PARTFOUR基础巩固123456789101112131415161.若圆的一般方程为x2＋y2＋6x＋6＝0，则该圆的圆心和半径分别是√123456789101112131415162.方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形为A.以(a，b)为圆心的圆

B.以(－a，－b)为圆心的圆C.点(a，b) D.点(－a，－b)√解析原方程可化为(x＋a)2＋(y＋b)2＝0，∴方程表示点(－a，－b).3.若a∈{－2,0,1,3}，则方程x2＋y2＋3ax＋ay＋

a2＋a－1＝0表示的圆的个数为A.0B.1C.2D.3√12345678910111213141516∴1－a>0，∴a<1，又a∈{－2,0,1,3}，故a＝－2,0.4.△ABC的三个顶点分别为A(－1,5)，B(－2，－2)，C(5,5)，则△ABC外接圆的方程为A.x2＋y2－4x－2y－20＝0 B.x2＋y2＋4x－2y－20＝0C.x2＋y2－4x＋2y－20＝0 D.x2＋y2＋4x＋2y－20＝0√12345678910111213141516解析设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，故所求圆的方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0.√√123456789101112131415166.(多选)若点(1，－1)在圆x2＋y2－x＋y＋m2＝0外，则下列m的取值范围中满足条件的有√√又点(1，－1)在圆外，∴1＋1－1－1＋m2>0，即m2>0，∴m≠0，123456789101112131415167.已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0上任一点A关于直线x－ay＋2＝0对称的点A′仍在该圆上，则a＝____.12345678910111213141516解析依题意圆心在直线x－ay＋2＝0上，圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，8.已知点P是圆C：x2＋y2＋4x＋ay－5＝0上任意一点，P点关于直线2x＋y－1＝0的对称点也在圆C上，则实数a＝________.12345678910111213141516－10解析由题意知圆心

应在直线2x＋y－1＝0上，代入解得a＝－10，符合D2＋E2－4F>0的条件.9.已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为

，求圆的一般方程.12345678910111213141516因为圆心在直线x＋y－1＝0上，①②所以圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.1234567891011121314151610.已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示一个圆.(1)求实数m的取值范围；解方程表示圆，∴D2＋E2－4F＝4(m＋3)2＋4(1－4m2)2－4(16m4＋9)＝－28m2＋24m＋4>0，即7m2－6m－1<0，12345678910111213141516(2)求该圆半径r的取值范围；1234567891011121314151612345678910111213141516(3)求该圆圆心的纵坐标的最小值.解圆心纵坐标y＝4m2－1，∴当m＝0时，ymin＝－1，∴该圆圆心的纵坐标最小值为－1.综合运用11.方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是半径为r(r>0)的圆，则该圆的圆心在A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限√解析因为方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是圆，故该圆的圆心在第四象限.1234567891011121314151612.要使圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与x轴的两个交点分别位于原点的两侧，则有A.D2－4F>0，F<0 B.D<0，F>0C.D≠0，F≠0 D.D<0，F<0√12345678910111213141516解析令y＝0有x2＋Dx＋F＝0，依题意该方程有一正根和一负根，∴Δ＝D2－4F>0且F<0，故选A.1234567891011121314151613.若圆C：x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0过坐标原点，则实数m的值为A.2或1B.－2或－1C.2D.1√解析将原点代入方程得2m2－6m＋4＝0，解得m＝1或m＝2.当m＝1时方程为x2＋y2＝0不表示圆(舍掉)；当m＝2时，方程为x2＋y2－2x＋2y＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝2表示圆，满足条件.综上有m＝2.14.过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|等于1234567891011121314