河南省洛阳市第三十六中学2022-2023学年高三数学理摸底试卷含解析

河南省洛阳市第三十六中学2022-2023学年高三数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S的值为

A．1

B．

C．

D．参考答案：A2.已知函数的部分图像如右图所示，且，则的值为（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：C由已知得：，图像经过3.设则a，b，c的大小关系是A.b B.c C.b D.c参考答案：D4.已知函数满足，当时，函数在内有2个零点，则实数的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：A略5.设的内角所对的边分别为.若，则的形状为（

）A.直角三角形

B.锐角三角形

C.钝角三角形

D.不确定参考答案：A6.直线与圆有公共点，则的最大值为（

）A．

B．

C．

D．2参考答案：B因为直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离不大于半径，可得，由，，，，设，则，由二次函数的性质可得时，，故选B.

7.阅读右面的程序框图，则输出的等于

(

)

A．40

B．38

C．32

D．20参考答案：B8.

函数f(x)=(0<a<b<c)的图象关于（

）对称

A.x轴

B.y轴

C.原点

D.直线y=x参考答案：答案:B9.（3）函数的定义域为（A）

（B）（C）

（D）参考答案：C．10.若对任意的，函数满足，则=

(

）A．1

B．-1

C．2012

D．-2012参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为

．参考答案：12.已知，且关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围是___________．参考答案：略13.某学校准备从4名男同学和2名女同学中选出2人代表学校参加数学竞赛，则至少一名女同学被选中的概率是．参考答案：【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】所有的选法有C62种，至少有1名女同学包括两种情况：1个男同学与1个女同学，2个女同学，分别有C41C21和C22种选法，由此求得至少有1名女同学被选中的概率【解答】解：所有的选法有C62=15种，至少有1名女同学包括两种情况：1个男同学与1个女同学，2个女同学，这两种情况分别有C41C21+C22=9种选法，故至少有1名女同学被选中的概率是P==，故答案为：．【点评】本题主要考查等可能事件的概率，体现了分类讨论的数学思想，分类讨论是解题的关键．14.在的展开式中，的系数为

参考答案：答案：解析：所以的系数为15.已知函数的值域是，则实数的取值范围是

参考答案：略16.已知是定义在R上周期为4的奇函数，且时，则时，=_________________

参考答案：略17.如图，直线与圆相切于点，割线经过圆心，弦⊥于点，，，则

。参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(13分)某同学参加语文、数学、英语3门课程的考试.假设该同学语文课程取得优秀成绩的概率为,数学、英语课程取得优秀成绩的概率分别为m,n(m>n),且该同学3门课程都获得优秀成绩的概率为,该同学3门课程都未获得优秀成绩的概率为,且不同课程是否取得优秀成绩相互独立.(1)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率.(2)记ξ为该生取得优秀成绩的课程门数,求ξ的分布列及数学期望E(ξ).参考答案：设事件Ai表示:该生语文、数学、英语课程取得优秀成绩,i=1,2,3.由题意可知P(A1)=,P(A2)=m,P(A3)=n.(1)由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“该生3门课程都未获得优秀成绩”是对立的,所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是1-P(ξ=0)=1-=……………..6分(2)由题意可知,P(ξ=0)=P(··)=(1-)(1-m)(1-n)=.P(ξ=3)=P(A1·A2·A3)=mn=.又m>n,解得m=,n=.P(ξ=1)=P(A1··+·A2·+··A3)=.P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)=.∴ξ的分布列为ξ0123P所以数学期望E(ξ)=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1)+2×P(ξ=2)+3×P(ξ=3)=………13分19.（本小题满分13分）

已知二次函数，直线，直线（其中，为常数）；.若直线1、2与函数的图象以及、轴与函数的图象所围成的封闭图形如图阴影所示.（Ⅰ）求、、的值；（Ⅱ）求阴影面积关于的函数的解析式；（Ⅲ）若问是否存在实数，使得的图象与的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

参考答案：（本小题满分13分）解：（I）由图形可知二次函数的图象过点（0，0），（8，0），并且的最大值为16则，∴函数的解析式为……………4分（Ⅱ）由得∵0≤t≤2，∴直线与的图象的交点坐标为（……………6分由定积分的几何意义知：……………9分（Ⅲ）令因为，要使函数与函数有且仅有2个不同的交点，则函数的图象与轴的正半轴有且只有两个不同的交点∴=1或=3时，当∈（0，1）时，是增函数，当∈（1，3）时，是减函数，当∈（3，+∞）时，是增函数……………12分又因为当→0时，；当所以要使有且仅有两个不同的正根，必须且只须即，∴或∴当或时，函数与的图象有且只有两个不同交点。…………14分略20.济南高新区引进一高科技企业，投入资金720万元建设基本设施，第一年各种运营费用120万元，以后每年增加40万元；每年企业销售收入500万元，设表示前年的纯收入.（=前年的总收入-前年的总支出-投资额）(Ⅰ）从第几年开始获取纯利润？(Ⅱ）若干年后，该企业为开发新产品，有两种处理方案：①年平均利润最大时，以480万元出售该企业；②纯利润最大时，以160万元出售该企业；问哪种方案最合算？参考答案：由题意知每年的运营费用是以120为首项，40为公差的等差数列.设纯利润与年数的关系为，设.

(Ⅰ）获取纯利润就是要求，故有，解得.又，知从第三年开始获取纯利润.

(Ⅱ）①年平均利润，当且仅当时取等号.故此方案获利（万元），此时.

②，当时，.故此方案共获利1280+160=1440（万元）.

比较两种方案，在同等数额获利的基础上,第①种方案只需6年，第②种方案需要10年，故选择第①种方案.

21.（本小题满分12分）数列中，，，数列满足，．（Ⅰ）若数列是等差数列，求数列的前项和；（Ⅱ）若数列是公差为的等差数列，求数列的通项公式．参考答案：(Ⅰ)5200;(Ⅱ)

【知识点】等差数列的前n项和；数列递推式．D1D2解析：（Ⅰ），且是等差数列，，当为奇数时，，即；当为偶数时，，则，，………………6分（Ⅱ）是公差为的等差数列,，．当为奇数时，；当为偶数时，．即且，因为，，………12分【思路点拨】(Ⅰ)先求出等差数列{an}的通项公式an，再求出{bn}的通项公式，计算{bn}的前100项和；(Ⅱ)先求出等差数列{bn}的通项公式，再根据bn=an+1+（﹣1）nan，讨论n为奇数或偶数时，求出an．22.（本小题满分12分）如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点分别在棱,上移动，且.（Ⅰ）当时，证明：直线∥平面;（Ⅱ）是否存在，使平面与面所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.参考答案：几何方法（Ⅰ）证明：如图1，连接AD1，由ABCD-A1B1C1D1是正方体，知BC1∥AD1.当λ=1时，P是DD1的中点，又F是AD的中点，所以FP∥AD1所以BC1∥FP.而FP平面EFPQ,且BC1平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.

图1

图2

图3（Ⅱ）如图2，连接BD.因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EF∥BD，且EF=BD.又DP=BQ，DP∥BQ，所以四边形PQBD是平行四边形，故PQ∥BD，且PQ=BD，从而EF∥PQ，且EF=PQ.在Rt△EBQ和Rt△FDP中，因为BQ=DP=λ，BE=DF=1，于是EQ=FP=，所以四边形EFPQ是等腰梯形.同理可证四边形PQMN是等腰梯形.分别取EF，PQ，MN的中点为H，O，G，连接OH，OG，则GO⊥PQ，HO⊥PQ，而GO∩HO=O，故∠GOH是面EFPQ与面PQMN所成的二面角的平面角.若存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则∠GOH=90°.连接EM，FN，则由EF∥MN，且EF=MN，知四边形EFNM是平行四边形.连接GH，因为H，G是EF，MN的中点，所以GH=ME=2.在△GOH中，GH2=4，OH2=,OG2=,由OG2+OH2=GH2，得，解得，故存在，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角.

向量方法：以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正半轴建立如图3所示的空间直角坐标系D—xyz.由已知得B(2，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，1，0)，F(1，0，0)，P(0，0，λ)=(-2，0，2)，=(-1，0，λ)，=(1，1，0)（Ⅰ）证明：当λ=1时，=(-1，0，1)，因为=(-2，0，2)，所以=