高中数学必修五第二章《数列》知识点归纳

高中数学必修五第二章《数列》知识点归纳

xn，其中f(xn)为已知函数。利用叠加法，将f(xn)表示为一些已知函数的和或差，然后求解通项公式。（2）特征根法：递推关系式形如an2pan1qan0，其中p、q为已知常数。先猜测通项公式为anrn，代入递推公式，得到特征方程r2prq0，解出特征根r1和r2，通项公式即为an1r1n2r2n。（3）变量代换法：递推关系式形如an1f(an)，其中f为已知函数。将an表示为新变量xn的函数，即ang(xn)，将递推公式转化为xn1h(xn)，其中h为已知函数。求解xn的通项公式，再代回an的表达式中，即可得到an的通项公式。三、数列极限1、数列极限的定义：若存在常数L，使得对于任意给定的正数，总存在正整数N，使得当nN时，有|anL|，则称数列｛an｝收敛于L，记为limnanL，否则称数列｛an｝发散。2、数列极限的性质：（1）数列极限唯一性：若数列｛an｝收敛，则其极限唯一。（2）有界数列的收敛性：若数列｛an｝有界，则其必定收敛。（3）收敛数列的子数列收敛于同一极限。（4）收敛数列的极限与数列的前有限项无关。（5）夹逼定理：若数列｛an｝，｛bn｝，｛cn｝满足anbncn且limnanlimncnL，则limnbnL。3、常用极限：（1）基本极限：limn1n0limn11nn1limn(11n)nelimn(1xn)nex（2）夹逼定理常用极限：limnsinxnxn1limn(11n)nelimn(n11n)ne（3）洛必达法则：设函数f(x)、g(x)在x0处连续，且满足limxx0f(x)g(x)00或limxx0f(x)g(x)，则有limxx0f(x)g(x)limxx0f(x)g(x)，其中f(x)、g(x)分别为f(x)、g(x)的导数。例3：已知数列{an}中，a1=1，an+1-an=n，求通项an。解：根据题意，可以列出递推公式an+1=an+n。观察到n在递推公式中，考虑将其拆开，得到an+1=an+(n-1)+1。再次观察，发现n-1和1可以合并，于是得到an+1=an+n-1+1=an+n。这是一个等差数列，首项为1，公差为1，通项公式为an=1+n-1=n。练习1：在数列{an}中，a1=3，an+1=an+2，求通项an。解：根据题意，可以列出递推公式an+1=an+2。观察到公式中只有an和2，因此考虑将其拆开，得到an+1=an+1+1。这是一个等差数列，首项为3，公差为2，通项公式为an=2n+1。例4：在数列{an}中，a1=1，an=a，求通项an+1/an。解：根据题意，可以列出递推公式an+1=an/a。观察到公式中只有an和a，因此考虑将其拆开，得到an+1/an=an/an-1。这是一个等比数列，首项为a，公比为a，通项公式为an=a^n。练习2：在数列{an}中，a1=3，an+1=an×2，求通项an。解：根据题意，可以列出递推公式an+1=an×2。观察到公式中只有an和2，因此考虑将其拆开，得到an+1/an=2。这是一个等比数列，首项为3，公比为2，通项公式为an=3×2^(n-1)。另外，还有叠乘法、构造等比数列和倒数法等求数列通项的方法，不再赘述。四、求数列的前n项和的方法1、利用常用求和公式求和：对于等差数列{an}，其前n项和为Sn=n(a1+an)/2；对于等比数列{an}，若q≠1，则其前n项和为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)；若q=1，则Sn=na1。2、错位相减法：主要用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数