相似矩阵与矩阵可对角化的条件-1课件

§4.2相似矩阵与矩阵可对角化的条件定义4.3设A,B是n阶矩阵,（一）相似矩阵及其性质例如

如果存在n阶可逆矩阵P,

成立,则称矩阵A与B

相似,使得记为2)只要能找到可逆矩阵P,满足注意:

3)P=若干个初等矩阵的乘积经过k次列变换,存在可逆矩阵P,使得

k次相应的行变换后1)只有同阶方阵才有可能相似就有例1若已知

，与A相似的矩阵有多少？P1－1AP1

与A相似.

如果P1,P2,P3,P4,…都是可逆矩阵，则解如果P是可逆矩阵，可逆矩阵有许多,例单位矩阵I只与自己相似,

则P－1AP与A相似,P2－1AP2,P3－1AP3,P4－1AP4……都只与自己相似故与A相似的矩阵有许多.“相似”是矩阵之间的一种关系，证(1)由

（1）反身性：对任意方阵A,有（2）对称性：若（3）传递性：若

则(2)由

知

(3)由

知，

由

知，有性质：则相似矩阵有如下性质：1）相似矩阵有相同的秩:2）相似矩阵的行列式相等.3）相似矩阵有相同的特征多项式.4）相似矩阵有相同的特征值.5）相似矩阵或都可逆或者都不可逆，6）A~B8）A~B当它们都可逆时，它们的逆矩阵也相似.A与B可逆性相同,当它们都可逆时，AT~BTk为任意非负整数.7）A~B其中f(A)和f(B)分别是A,B的多项式.证1)由A~B知,∴秩(A)=秩(B)

2)由A~B知

5)由A~B知

A可逆B可逆由B=P－1AP∴A－1~B－1B=P－1AP3)由A~B知,B=P－1AP当k=2,3,4,…时,由=P－1AkP

6)当k=0时当k=1时∴Ak

~Bk7)由A~B知B=P－1AP∴AT~BT8)由A~B知B=P－1AP∴f(A)

~f(B)BA所有与A相似的矩阵它们有许多共同的性质所有与B相似的矩阵它们有许多共同的性质找一个最简单的（二）n阶矩阵与对角矩阵相似的条件其中是否有定义如果矩阵A～则称A可对角化.矩阵A可对角化存在可逆矩阵P,使得此时,A与Λ有相同的特征值。矩阵A可对角化Λ的特征值为故A的特征值为即如果矩阵A可对角化，A~对角矩阵Λ则Λ的主对角线上的元素为矩阵A的特征值.是对应于2的特征向量是对应于3的特征向量2和3为A的全部特征值.例1×22×21×2对应于不同特征值线性无关.可逆对角矩阵

定理4.3n阶矩阵A与n阶对角矩阵相似的充分必要条件是A可对角化A有n个线性无关的特征向量A有n个线性无关的特征向量.A可对角化A有n个线性无关的特征向量证必要性设即存在可逆矩阵P,使得1×n

n×n

∵P可逆λ1

是A的特征值A可对角化A有n个线性无关的特征向量充分性设A有n个线性无关的特征向量∴P可逆是A的n个线性无关的特征向量设设是相应的特征值A可对角化A有n个线性无关的特征向量推论若矩阵A有n个相异的特征值证设所以A可对角化.A不可对角化A没有n个线性无关的特征向量A有n个相异的特征值A可对角化注意特征值:1=2=－2,3=4是对应于特征值－2的两个特征向量是对应于4的特征向量矩阵A可对角化.AP=P=-2:线性无关的=4:P可逆,=(－2)2特征值：为对应于特征值0的全部特征向量即为对应于2的全部特征向量矩阵A不可对角化.例=0:=2:1=0,2=3=2课堂练习特征值：4，-2=-2:=4:是对应于4的特征向量是对应于-2的特征向量矩阵A可对角化.AP=P线性无关时,A可对角化.时,A不可对角化.设对应于1对应于2对应于k

可以证明：设A可对角化.最多有l1个线性无关的最多有l2个线性无关的最多有lk个线性无关的个,特征向量.特征向量.特征向量.

定理4.6矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是:方程A可对角化.对A的每一个nj重特征根j

的基础解系含解向量的个数为特征值:1=2=－2,3=4是对应于特征值－2的两个是对应于4的特征向量-24矩阵A可对角化.AP=P线性无关的特征向量

(－2)2特征值：为对应于特征值0的为对应于2的全部矩阵A不可对角化.例1=0,2=3=202全部特征向量特征向量特征值：1=2=1,3=4=2=1:是对应于1的两个线性无关的特征向量.例可化为特征值：=2:是对应于2的两个1=2=1,3=4=2线性无关的特征向量.可化为对应于1的对应于2的线性无关矩阵A可对角化.AP=P线性无关的特征向量线性无关的特征向量特征值：1=2=1,3=4=2应满足的条件。例4设矩阵可相似于一个对角矩阵，试讨论解：矩阵的特征多项式为特征值为，（二重），系数矩阵的秩为1。

由可相似于一个对角矩阵知属于1的线性无关特征向量应有两个。于是，对应齐次线性方程组由应满足的条件。知必有，这是所给矩阵可相似于一个对角矩阵形如的矩阵都是可对角化矩阵。模仿本例，所满足的条件。可讨论其它矩阵在对角化矩阵假设下基础解系。并求。例5判断矩阵是否可相似于一个对角矩阵，（二重）。解：矩阵的特征多项式为特征值为，对于，解齐次线性方程组，得到对于，解齐次线性方程组，得到基础解系。于是得到三个线性无关的特征向量，因此它可以相似一个对角矩阵。且有从而有(三）关于约当形矩阵定义4.4形如的方阵称为约当块分块对角矩阵如果所有都是约当块,则称J为约当形