第三章仪器精度理论

精密仪器设计Design

of

PrecisionInstrument本章内容：§

3.1

精度基本概念§

3.2

仪器误差来源§

3.3

仪器误差计算§

3.4

精度设计与误差分配§

3.5

仪器动态精度§

3.1

精度理论基本概念一、误差（Error）误差定义及分类——自学，这里只介绍仪器设计中误差理论常用概念与表示方法。！1.绝对误差D

=

x

-

x0nn

xix

=

i=1特点——有大小、方向和量纲；不反映精细程度。2.相对误差3.极限误差（精确度）x0x0=

Dd

=

x

-

x0特点——有大小、方向、无量纲；反映精细程度。n

（均方根误差）n(x

-

x

)i=120D

maxt

=3(概率99.7%)s

==

–ts特点——有大小、量纲和范围；反映精确度。§

3.1

精度理论基本概念二、仪器精度精度（Accuracy）与误差概念相反；精度高、低用误差来衡量。误差大，精度低；误差小，精度高精度——

准确度——系统误差大小的反映；

精密度——随机误差大小的反映；

精确度——系统＋随机的综合；1.复现精度（再现精度）用与标准量（真值或约定值）的偏差来表示的绝对精度，反映仪器精确度。不同方法、不同地点、不同时间、不同仪器2.重复精度同一测量方法和测试条件下，相隔不太长时间，多次测量的结果，反映仪器精密度。*

复现精度<重复精度3.灵敏度（Sensitivity）——输出值与输入值的变化量之比（脉冲量）。！仪器灵敏度K

=被观察示值增量dl测量值的增量dG4.分辨率（Resolution）——仪器设计中最重要的指标仪器能够感受、识别或探测的输入量的最小值。分辨率、精密度、精确度三者关系——

提高仪器精密度，须相应提高其分辨率；

提高仪器分辨率，能够提高仪器精确度（不完全相关）；

分辨率一般为仪器精度的1/3

~

1/5。

高精度仪器——低分辨率，达不到；

低精度仪器——高分辨率，不合理。§

3.2

仪器误差的来源为了获得需要仪器精度，必须对影响精度各项因素及误差来源分析并 加以控制，以减少对仪器精度影响。影响仪器精度因素较多，应学会从众多因素中找出主要因素。具体问题，具体分析误差来源——

原理误差

制造误差

运行误差一、原理误差光－机－电系统的理论误差、方案误差、机构简化误差、零件原理误差等。1.理论误差——设计中采用理论不完善，或者采用近似理论所致。自准直仪举例Zαf′f′Zα理论方程：Z

=f

¢

tga

,a

=2qa由于刻划问题，近似成线性：Z

»f33DZ

=

f

¢

(a

-

tga

)=

-

f

¢a3f

¢Da

=

DZ

=

-a

3A2b2B1DA2A1β2β1B

Ca方案一DA1β

βB

a

C21

C1a2方案二A2b2B1DA1BCaβ2β1方案一A2DA1BC2a2β方案二βa1

C1转角由度盘读数。2

1

2

1方案二：b固定，C移动（C1

->C2）D

=

A2

B

-

A1B

=

(a2

-

a1

)tgb令：tgb

=K为常数，a2、a1为常数则方案二可消除原理误差。DD

=

a[(tgb

-

tgb

)-

(b

-

b

)]D

=

b2

-

b1

=

a(tgb2

-

tgb1

)实际读数：D¢»a(b2

-b1

)原理方案造成误差：b1

=

atgb1b2

=

atgb22.方案误差——采取不同方案造成的误差。大地测量——方案一：B、C相离为a，C可转动，y

=

f(x)此函数关系近似为过O点的直线，并用直线代替。例如螺旋机构：t2pnS

=j

»

Kj造成原理误差——ΔyiYy

=

f

(x)kxΔyixi

XXYy

=

f

(x)kx

Δyixi3.机构简化误差——用简单机构代替复杂机构造成的原理误差。举例举例单一化机构——多元函数y

=

f u,

vy¢=f

(u,v1

)代替对于v

=v1理想，其它有误差4.零件原理误差采用凸轮机构实现：h

=

f(φ)为减少磨损，将从动杆端设计成半径为r

的圆球。cosar»

ra

2-

r

cosaDh

=

OA

-

OB

=二、制造误差§

3.2

仪器误差的来源零件设计时都有公差（没有公差的零件是不能加工的），从而造成制作中的误差。遵守基面合一原则设计基面工艺基面装配基面

减少误差三、运行误差过程——仪器内部（内应力、老化）、磨损、外界环境变化（温度、压力、振动）、间隙与空程等。1.变形误差

自重

摩擦力(1)原因——之一：受力

反作用力！一切材料均有上述现象，只不过大小不同之二：内摩擦弹性效应——弹性滞后、弹性后效具体分析——有时不可忽略！(2)变形与载荷性质有关23pl12lpl3lEFpGI

pDlw

=

KEI

lDlN

=

Djl1

=

GI

ll1Dj

=

Ml

;d

=

Pl扭转变形弯曲变形拉压变形结论——同样载荷、同样零件，拉压变形最小。(3)接触变形——仪器支承点接触

变形最大

对仪器影响最大措施——如：滑动导轨

应进行热处理YlA

BC

DXOLOCABDXYlLL(4)自重变形——与支点有关，应正确合理选择支点。梁的支承变形——

变形最小（贝塞点）：

l

=

0.559

右端为零（等里点）：=

0.577lL

中间挠度为零：=

0.5227lL

中间与C、D等高：Ll

=

0.5537§

3.2

仪器误差的来源2.磨损——与摩擦有密切关系

(1)与粗糙度关系(2)金相结构越接近，磨损越严重措施——不同材料配合，如轴采用钢；轴套采用铜。(3)润滑——润滑好，磨损降低跑合——磨合§

3.2

仪器误差的来源3.间隙与空程在仪器中，间隙与空程是普遍存在的。齿轮传动中的间隙与回差；螺旋转动的空程；轴的间隙；导轨的间隙;……4.温度变化光学系统——折射率变化、象抖动等；双频激光干涉仪——波长的变化；零件受热变形；……振动——客观存在的工件或刻尺抖动——仪器对不准；零件抖动；产生内应力；共振；……§

3.3

仪器误差计算一、误差独立作用原理仪器输出和零部件参数关系的表达式——

y0

=

f

x,

q01,

q02

,,

q0n零部件有误差时：qn

=

q0n

+

Dqnq1

=

q01

+

Dq1q2

=

q02

+

Dq1n1

2y=

f

x,

q

,

q

,,

q其误差为——Dy

=y

-y0当Dq1

„0，而Dq2

=Dq3

=

=Dqn

=0y1

=

f

x,

q1,

q02

,,

q0n同理

yi

=

f

x,

q01,

q02

,qi

,,

q0n由Δqi引起的误差——ii¶qDy

=

y

-

y

»

¶y

Dqi

i

0nii¶q¶y

DqDy

=i=1实际输出结论——一个误差源仅使仪器产生一定的误差；仪器误差是其误差源的线性函数，与其它误差源无关；精度分析时可单独逐个进行分析；二、微分法——列出仪器作用方程，对方程全微分，求出各因素对仪器误差影响仪器精度分析常用方法激光器模式中的频率cq2nLn

=

q对方程全微分qc

dL

=

-

qc

dn

+

dL

dn

-qc¶n

¶Lq

2Ln

n

L2nL22Ln

2¶nq

¶nqdn

=

dn

+

dL

=

-=

-

+\

dn dL

nq

n L

dnq腔长变化ΔL折射率变化Δn影响误差说明——解决了其它方法难于解决的误差计算问题；只要公式准确，可迅速得到误差、分析；不易出错仪器误差与误差源的关系一目了然；局限性——有些误差是不能用公式表示的；三、几何法——利用几何图形找出误差源造成的误差，求出误差的数值与方向举例传动方程：2pL

=

j

P4p2p2ppq

2»

j=

j

P(1-

cosq

)DL

=

L¢-

LL¢=

L

cosq

=

j

P

cosq制造/装配误差θ说明：优点——简单、直观；缺点——在复杂机构中应用困难；四、逐步投影法举例——将主动件原始误差投影到中间构件上，然后再下一个构件上，依次逐步投影，直到从动件，求出机构的位置误差。主动件

中间件

中间件

…

从动件平行四边形机构要求：AD严格作平移运动，AB

CD，1：1若：AB≠CD，则Da

=a

-a1造成转角误差Δφ»

a

cos

j投影——DAD

=Da

sinj从动件CD转动力臂CE

=

CD

cos

j1

=

a1

cos

j1a=

DAD

»

Da

tgjCE

a从动件的转角误差：Dj说明：（1）从研究原始误差传递着手，比微分法直观；（2）适于分析空间机构；五、作用线与瞬时臂法瞬时臂法——研究机构传递运动过程及公式，分析误差如何随运动的传递过程而传到示值上去，从而造成示值误差。

机构传递运动规律

原始误差的传递方程式1.机构传递运动过程及公式力和运动都是通过作用线传递推力传动——杠杆、凸轮、齿轮、螺旋等摩擦力传动——摩擦轮、带传动等！摩擦力传动“打滑”（Ratio不严格）——精密仪器多采用推力传动推力——公法线摩擦力——公切线基本公式——dl

=

r0

dj

r0——主动件回转中心到作用线垂直距离（瞬时臂）

l

——作用线；dl——从动件微小位移；

dφ——主动件微小转角；由上式可以推导出各种机构的传动方程。20jDjdl

=L=举例

（1）圆盘－直尺摩擦机构设摩擦盘直径为D瞬时臂

r0

=

D

2；作用线

—

公切线ldl

=

r0

dj

=

Ddj

2（2）正弦机构——杠杆百分表0L

=

j

dl

=asinj瞬时臂r0

=acosj；作用线—公法线ldl

=

r0

dj

=

acosjdj（3）齿轮传动机构瞬时臂r1、r2；作用线—公法线lla

—压力角；齿轮1：dl1

=r1dj1；r1＝R1cosa齿轮2：dl2

=r2dj2；r2＝R

2cosa传动关系—dl1

=dl2代入整理得：R1j1

=R2j2指针4测头1杠杆齿轮2齿轮3r2.原始误差沿作用线传递的基本公式步骤——找出各机构运动副上的作用线；求出每个作用线上各个原始误差的作用误差；作用误差——原始误差换算到作用线方向上的折合值。求出机构的总误差。求每个作用线上各原始误差的作用误差有三种情况：原始误差可以换算成瞬时臂R0误差原始误差方向与作用线方向相同原始误差不能换算成瞬时臂误差，且与作用线方向不重合1)

原始误差可以换算成瞬时臂误差Ⅰ

Ⅱdll

lr0

dφBAlr0ABⅠ

Ⅱdldφl实际机构传递运动公式：00

0

000000则

r¢＝r

＋d则

dl

=

r0

dj

；L=

j

r0

dj从动件B->沿作用线ll主动件A->dj其中:DF

=j

dr

dj

——原始误差的从动件作用误差。L¢=

j

r0¢dj

=

j

r0

dj

+

j

dr

djdl

¢=

r0¢dj

=

r0

dj

+dr

dj0

0

r0瞬时臂r0为变量，有原始误差dr2)

原始误差方向与作用线方向相同如齿形误差、度盘、刻尺间的刻划误差以及与杠杆接触的测杆平面不平度等，这些误差方向与作用线方向一致，可以不换算，直接与其它误差相加。DF

=

DJ3)

原始误差不能换算成瞬时臂误差，且与作用线方向不重合此时，只能根据几何关系，将原始误差换算到作用线上。cosqa

22DS

=

DF

DF

=

S

(1

-

cosa

)»

S(b)作用线与运动线不重合(a)间隙使杠杆倾斜－>作用线上误差3.作用误差向示值误差的传递把每个运动副上各原始误差的作用误差（ΔFi）换算到示值误差作用线N上；ΔF1n

、ΔF2n、…、ΔF

(n-1)n

、ΔFnn乘相应作用线之间的传动比，相加，可得总误差。ΔFn＝

ΔF1n

i1n+

ΔF2n

i2n

+…+

ΔF

(

n-1)n

i(n-1)n

+

ΔFnn作用线

瞬时臂

传动比综合

误差总值六、仪器误差的综合21n1.随机误差的合成正态分布下仪器精度分析中常用的公式DS＝–

t(s

i

)；s

i－各随机误差；t－置信系数in2ien（2）未定系统误差2.系统误差的合成（1）已知系统误差的数值、方向e

－各未定系统极限误差e

；D

＝–i=1De＝

Dii=13.系统总误差D

S＝DS

–

De§

3.3

仪器误差的计算举例仪器误差合成——亚微米微位移工作台精度分析1.工作原理——清华学报,V28,No.5,1988行程：10μm；分辨率：0.01

μm柔性微动台柔性微动台双频激光干涉仪双频

激光干涉仪电致伸缩微位移器电致伸缩微位移器电压放大电路电压

放大电路CPUCPU1Da

=

a

-

a2.影响精度的因素（1）柔性铰链加工位置误差对工作台几何精度影响Dj

=

DAD

»

Da

tgjCE

a∴Da

»

0Da

=

a

cosj

-

a1

cosj1

-

Dab∵行程为10微米，很小；cosφ

»

1；cosφ1

»

1（2）量子误差6数学期望－0；（b）双频激光干涉仪——分辨率0.03μm量子误差的均方根差：D1＝–

0.012μm（影响系统的重复精度和精确度）均方差－d误差范围：0－d，在0,d]区间是概率相等。（a）测量结果——起、始位置之差位置测量的量子误差，为两个具有相同分布范围的等概率分布之和——三角分布：数字式测量装置固有的随机误差——由于测量装置不能分辩非单脉冲当量以内的误差。！（3）激光波长误差稳频精度Dl

＝–1·10

-7l100

mm

范围内£

0.01μm系统行程10μm\

波长误差可忽略。He

-Ne激光器l＝0.63299142

μm（4）阿贝误差20626523321»

0.03μmαx

=

8¢，α

y

=

0.6¢，β

x

=

0.2¢Dlx

=

30

·0.2¢\

Dlx

»

0；Dlx

»

01

2已知：l

=10微米，b

=30mm

，Dlx

=

b tgbx

»

b

bx（c）X

-Z平面内，bxDlx

=

l

tga

y

»

l

a

y（b）X

-Y平面内，Y向，a

ya

x

2Dlx

=

l(1-

cosa

x

)»

l（a）X

-Y平面内，X向，a

x2（5）激光干涉仪光线准直误差激光光束方向与微动工作台运动方向不平行已知：l

=10mm，q

£

10¢\D准»0lq

2D准=l(1-cosq

)»（6）结构死程误差（间区误差）结构测量过程

S

=

D

-

d

-

l1结构死程——D、dD

S

=

-Dl1通常100mm

变化0.1μm，产生0.1μm的位置误差。控制温度-->D死»0（7）大气条件对测量精度的影响激光干涉仪温度、气压、湿度等措施：恒温室、短时间D外»0（8）机械振动台面振动引起的多普勒频差与台面振动频率之比微动台振动为2max振幅

A

-1μm-

>

20μm使测量位置不稳定或漏计数，应消除措施：在隔振台上，固有频率£

2Hz，可消除。fDfmaxDf

=

V

DfA

-振幅；f

-频率=

4pA

»

20

All=

4pfAlX

=

Asin

2pft测镜移动速度V，则多普勒频差3.精度综合（1）定位精度——量子和阿贝误差»

–0.06μm

2 3

0.03

23s

=

–3

(0.012

)2

+（2）重复精度——量子误差3s

=

–3·0.012

»

–0.04μm§

3.4

精度设计与误差分配精密仪器精度设计内容：

研究与分配已知允许误差——将误差合理地分配到光、机、电各个部件。合理指各光、机、电部件的难易程度，不能均分；同时设计过程中，应根据实际情况进行调查，最后落实到零件加工的公差与技术要求。

研究“误差补偿”技术措施——以尽可能地扩大允许误差的范围。一般精密仪器的精度都很高，设计是比较困难的。误差补偿——是一种有效方法，使仪器设计进行比较顺利，而不是靠无限地提高零部件本身精度。！§

3.4

精度设计与误差分配一、仪器精度的制定依据1.使用要求和使用场合（即精度指标与总技术条件）

精密仪器是为用户服务，应把用户要求作为仪器精度制定主要依据。一般是根据被测对象的精度确定。仪器精度－>1/3~1/10

被测精度

1/3~1/10应根据使用场合来确定。由于影响精度因素较多，要对使用场合中使用条件，如环境、测试人员……等进行研究以确定具体的精度。灵敏度、分辨率－>1/3~1/5

仪器精度3.现有的技术水平、条件与实践经验2.实验结果对有些仪器在精度设计前，最好进行模拟实验；根据模拟实验结果，来确定仪器的精度。二、仪器精度分配1.精度分配依据

仪器设计精度及技术条件；

仪器工作原理——光机电系统图、装配图，找出各部分误差源总数及可能采取的补偿措施；

工厂生产条件（加工、生产、检测）、技术水平、产品使用条件；

国家、部门、行业有关公差标准；

经济性2.精度分配方法仪器总误差＝系统误差＋随机误差系统误差特点——影响较大、数目较少、多为已知算出原理系统误差，根据工艺水平给出原理误差的公差值，再算出局部系统误差，便可合成总的系统误差。对系统误差评价——总系统误差>仪器允许误差——不合理，重新设计；总系统误差<1/3

仪器误差；补偿措施——消除或减少系统误差；in

+

mDSd

=

不等作用原则ii（P

—各随机误差的作用系统）m+nDSi=1

Pi

2d

=2）随机误差特点——数目较多、未知，多采用均方根方法综合随机总误差ΔΣ＝仪器总误差Δs

－系统总误差Δe误差分配方法——

等作用原则——各零部件误差相等地作用于总误差3.公差调整等作用原则，没有考虑各零部件的实际情况——不精确，应通过公差调整达到合理。公差评定等级

经济公差极限——在通用设备上，采用最经济加工方法所达到的精度；

生产公差极限——在通用设备上，采用特殊工艺装备，不考虑效率因素进行加工所能达到的精度；

技术公差极限——在特殊设备上以及良好的条件下所达到的精度。公差调整方法——先系统，误差大，易调整；后随机公差调整目标——多数在经济公差极限内；少数在生产公差极限内；极个别在技术 公差极限内；系统误差公差等价比随机误差高；补偿措施少而经济效果显著。误差补偿误差值补偿法——直接减小误差源

分级补偿——将补偿的部分分成若干级分别补偿，如加调整垫

连续补偿——如导轨镶条，可用以连续调整间隙；

自动补偿——如误差校正板。误差传递系数补偿法

选择最佳工作区——如正弦、正切机构采用小角度；

改变误差传递系数——改变螺距P，可调整误差传递系数；

综合补偿——利用光、机、电等技术手段抵消某些误差。DL

=

j

P(1

-

cosq

)»

j

pq

22p

4p§

3.5

仪器的动态精度*概念静态——被测参数x不随时间变化；动态——被测参数x随时间变化；目的动态测量

动态误差

研究动态特性内容

临界频率特性

临界送进速度

极限动态误差

误差幅频特性

误差过渡函数方法系统动态方程

精度指标接触式测量系统非接触测量系统一、临界频率特性§

3.5

仪器的动态精度1.定义——传递尺寸的传动副开始脱开时的尺寸变化频率2.计算方法1）列出系统的运动微分方程()

()dta

+

b

+

cz

t

=

Kf

tdt

2d

2

z(t

dz(t

其中：z(t

)－系统输出量；f

(t

)－系统输入量将不脱开条件代入方程，并求出尺寸变化频率ω与其它参数关系f

t

‡

0将不等式转化为等式，以求出临界频率

w

kp

=

f

P,

e,

k,

M

,y

,

a,z,为避免由于脱开而带来的动态误差，必须