应用数理统计

应用数理统计第1页，课件共24页，创作于2023年2月数理统计的基本内容：1、试验设计：设计有效地获得数据的方法，如正交设计（第六章）2、统计和推断：靠抽验得到的数据来推断整体的情况，包括参数估计（第二章），假设检验（第三章）3、研究应用统计推断中的基本原理，研究处理线性模型中的某些问题的方法，如回归分析（第四章），方差分析（第五章）第2页，课件共24页，创作于2023年2月一、总体与样本总体：是指对某一问题的研究对象的全体.亦称母体。在数理统计中，总体就是具有确定分布的随机变量。所以总体通常表示为随机变量的概率分布F(x)或概率密度f(x)。个体：组成总体的每个研究对象。一个个体是随机变量的一次观测值。§1-2

数理统计的基本概念第3页，课件共24页，创作于2023年2月样本：从总体中随机抽取的若干个个体。样本中个体的个数叫做样本大小或样本容量。样本中的个体称为样品。注：样本大小为n的样本可以看成是一个n维随机向量(X1,…,Xn)。简单随机样本(X1,…,Xn)

：X1,…,Xn相互独立，并与总体X具有具有相同的分布函数F，简称样本。§1-2

数理统计的基本概念第4页，课件共24页，创作于2023年2月样本值与样本空间：样本(X1,…,Xn)每次抽样得到的观察值(x1,…,xn)

称为样本值，样本值的集合称为样本空间。样本的联合概率分布与密度：数理统计的任务由样本推断总体§1-2

数理统计的基本概念第5页，课件共24页，创作于2023年2月二、经验分布与理论分布理论分布＝总体分布经验分布＝样本分布经验分布的构建：将样本(X1,…,Xn)的n个观察值x1,…,xn

由小到大排列为，，则相应的样本分布为§1-2

数理统计的基本概念第6页，课件共24页，创作于2023年2月经验分布与理论分布的关系（Glivenko定理）：经验分布Fn(x)以概率1关于x一致收敛到理论分布F(x)，即§1-2

数理统计的基本概念第7页，课件共24页，创作于2023年2月三、统计量

定义：设X1,…,Xn是来自总体X的一个样本,称不包含参数的实值函数T＝φ(X1,…,Xn)是一个统计量.统计量是一个随机变量。如：§1-2

数理统计的基本概念样本均值样本方差第8页，课件共24页，创作于2023年2月样本标准差样本k阶(原点)矩样本k阶中心矩§1-2

数理统计的基本概念四、样本矩样本二阶中心矩第9页，课件共24页，创作于2023年2月§1-2

数理统计的基本概念注：样本二阶中心矩与样本方差的区别：样本矩与总体矩之间的关系：只要总体的r阶矩存在，则样本小于等于r的各阶矩依概率收敛到总体的各阶矩。第10页，课件共24页，创作于2023年2月抽样分布——统计量的分布.几种常用的统计统计分布(一)分布设X1,…,Xn是来自总体N(0,1)的样本,则称统计量服从自由度为n的分布.记为.§1-3

抽样分布第11页，课件共24页，创作于2023年2月分布的概率密度为0f(x)yn=1n=5n=15§1-3

抽样分布第12页，课件共24页，创作于2023年2月分布的性质：§1-3

抽样分布性质1：设，则性质2：设，则第13页，课件共24页，创作于2023年2月(二)t分布设X~N(0,1),,并且X,Y独立,则称随机变量服从自由度为n的t分布.记为t~t(n).§1-3

抽样分布第14页，课件共24页，创作于2023年2月t分布的概率密度为0h(t)tn=1n=10n=∞(正态)§1-3

抽样分布第15页，课件共24页，创作于2023年2月T分布的特点：1、其概率密度函数是偶函数。当n>30时，t分布与标准正态分布非常接近；当n趋于无穷大时，t分布趋于标准正态分布。2、t分布的尾重比正态分布大。3、t分布只存在k<n阶矩。§1-3

抽样分布第16页，课件共24页，创作于2023年2月(三)F分布设,,并且X,Y相互独立,则称随机变量服从自由度为(m,n)的F分布.记为F~F(m,n).§1-3

抽样分布第17页，课件共24页，创作于2023年2月0ψ(y)yF分布的概率密度为n1=10,n2=25n1=10,n2=5§1-3

抽样分布第18页，课件共24页，创作于2023年2月§1-3

抽样分布分位数1、p分位数：设0<p<1，若存在实数xp，使得p(X≤xp)=F(xp)=p，则称xp是该概率分布的p分位数。2、上侧分位数：若存在λ，使得p(X>λ)=α,则称λ是X的上侧分位数，即1-α分位数。3、双侧分位数：若存在λ1，λ2，使得p(X≤λ1)=α/2，p(X>λ2)=α/2,则称λ1，λ2是X的双侧分位数。第19页，课件共24页，创作于2023年2月Th3.6设X~N(μ,σ2),X1,…,Xn是X的一个样本，则随机变量服从正态分布：§1-3

抽样分布推论正态总体N(μ,σ2)的样本均值正态总体的样本均值与样本方差的分布第20页，课件共24页，创作于2023年2月Th3.7设X1,…,Xn是总体N(a,σ2)的样本,,S2分别是样本均值和样本方差,则有与S2相互独立，并且§1-3

抽样分布注：Th3.7可用于单个正态总体的方差检验。第21页，课件共24页，创作于2023年2月Th3.8设X1,X2,…,Xn是总体N(μ,σ2)的样本,,S2

分别是样本均值和样本方差,则有§1-3

抽样分布注：Th3.8可用于方差未知时单个正态总体的均值检验。第22页，课件共24页，创作于2023年2月Th3.9设X1,…,Xm

与Y1,…,Yn

分别是来自正态总体N(a1,σ2),N(a2,σ2)的样本,且这两个样本相互独立，则§1-3

抽样分布其中注：Th3.9可用于方差未知但相等时两个正态总体的均值检验。第23页，课件共24页，创作于2023