振动力学基础

振动力学基础1第1页，课件共37页，创作于2023年2月§1简谐振动动力学一、简谐振动的特征2第2页，课件共37页，创作于2023年2月二、简谐运动的运动方程3第3页，课件共37页，创作于2023年2月3.简谐振动的x-t,v-t,a-t图4第4页，课件共37页，创作于2023年2月三、简谐振动的能量我们以弹簧振子为例来讨论简谐运动的能量问题。设振动物体在任一时刻t的位移为x，速度为v，于是它所具有的动能EK和势能EP

分别为5第5页，课件共37页，创作于2023年2月§2简谐振动运动学简谐运动的运动方程：6第6页，课件共37页，创作于2023年2月（2）频率与圆频率

7第7页，课件共37页，创作于2023年2月3、相位和初相8第8页，课件共37页，创作于2023年2月例题在一轻弹簧下端悬挂m0=100克砝码时，弹簧伸长8厘米，现在这根弹簧下悬挂m=250克的物体。将物体从平衡位置向下拉动4厘米并给予向上的21厘米/秒的初速度。选X轴向下，求振动的表达式。9第9页，课件共37页，创作于2023年2月例题一个轻弹簧在60N的拉力作用下可伸长30cm。现将一物体悬挂在弹簧的下端并在它上面放一小物体，他们的总质量为4kg。待其静止后再把物体向下拉10cm，然后无初速释放。问（1）此小物体是停在振动物体上面还是离开它？（2）若使放在振动物体上的小物体与振动物体分离，则振幅A须满足何条件？二者在何位置开始分离？解：10第10页，课件共37页，创作于2023年2月4、简谐运动的旋转矢量表示法为了直观地表明简谐运动的三个特征量的物理意义，可以用一个旋转矢量来表示简谐运动。（1）旋转矢量的长度等于11第11页，课件共37页，创作于2023年2月旋转矢量与谐振动的对应关系A谐振动旋转矢量t+T振幅初相相位圆频率谐振动周期半径初始角坐标角坐标角速度园周运动周期(4）比较两个谐振动的相位差Φ2－φ1＝2kπ称同相Φ2－φ1＝（2k+1）π称反相π>Φ2－φ1>0称2超前π>φ1－Φ2>0称1超前12第12页，课件共37页，创作于2023年2月旋转矢量确定初位相13第13页，课件共37页，创作于2023年2月例题：由谐振子能量推出振幅公式。解：结论：例题：1.A由系统能量决定；2.t=0的含义；3.x0、v0含义。14第14页，课件共37页，创作于2023年2月5、弹簧的串并联思考1：等分n段，每段k0=?思考2：n段串联，等效k0=?K0=nkK0=k/n15第15页，课件共37页，创作于2023年2月例题

一质点在X轴上作简谐振动，振幅A=4cm，周期T=2s,其平衡位置取坐标原点。若t=0时刻质点第一次通过x=-2cm处，且向X轴负方向运动，则质点第二次通过x=-2cm处的时刻为（A）1s（B）（2/3）s（C）（3/4）s（D）2s例题

一长度为l的倔强系数为k的轻弹簧分割成l1和l2的两部分，且l1=nl2则相应的倔强系数k1和k2为16第16页，课件共37页，创作于2023年2月§3微振动的简谐近似1.单摆在角位移很小的时候，单摆的振动是简谐振动。角频率,振动的周期分别为：单摆结论当时17第17页，课件共37页，创作于2023年2月2.复摆（物理摆）为m绕O点转动的转动惯量。总结：复摆的谐振动方程：

当时振动的角频率、周期完全由振动系统本身来决定。

18第18页，课件共37页，创作于2023年2月§4平行简谐振动的合成一、同方向、同频率的简谐振动的合成

结论：仍然是同频率的简谐振动19第19页，课件共37页，创作于2023年2月讨论一：合振幅最大。称为干涉相长讨论二：称为干涉相消。讨论三：一般情况：A1=A2

时，A=020第20页，课件共37页，创作于2023年2月例题三个谐振动方程分别为画出它们的旋转矢量图。并在同一x-t坐标上画出振动曲线。写出合振动方程。合振动方程X=021第21页，课件共37页，创作于2023年2月二、同方向的N个同频率简谐振动的合成设它们的振幅相等，初相位依次差一个恒量。其表达式为：在OCP中：22第22页，课件共37页，创作于2023年2月所以，合振动的表达式上两式相除得23第23页，课件共37页，创作于2023年2月讨论1：即各分振动同相位时，合振动的振幅最大。当讨论2：这时各分振动矢量依次相接，构成闭合的正多边形，合振动的振幅为零。以上讨论的多个分振动的合成在说明光的干涉和衍射规律时有重要的应用。当且24第24页，课件共37页，创作于2023年2月三、同方向、不同频率的简谐振动的合成利用：合成振动表达式：当都很大，且相差甚微时，可将视为振幅变化部分，合成振动是以为角频率的谐振动。其振幅变化的周期由振幅绝对值变化来决定，即振动忽强忽弱，所以它是近似的谐振动。这种合振动忽强忽弱的现象称为拍。25第25页，课件共37页，创作于2023年2月单位时间内振动加强或减弱的次数叫拍频显然，拍频是振动的频率的两倍。26第26页，课件共37页，创作于2023年2月§5垂直简谐振动的合成设一个质点同时参与了两个振动方向相互垂直的同频率简谐振动，即上式是个椭圆方程，具体形状由相位差决定。质点的运动方向与有关。当时，质点沿顺时针方向运动；当时，质点沿逆时针方向运动。当时，椭圆退化为圆。一、同频率垂直简谐振动的合成27第27页，课件共37页，创作于2023年2月上式的推导：X=A1cos(ωt+φ1)Y=A2cos(ωt+φ2)变换：Y=A2cos(ωt+φ2)=A2cos(ωt+φ1+φ2-φ1)令α=ωt+φ1β=φ2-φ1则有：X=A1cosαY=A2cos(α＋β）得：Y=A2[cosαcosβ-sinαsinβ]改写为：两边平方，利用cosα=X/A128第28页，课件共37页，创作于2023年2月讨论1所以是在直线上的振动。讨论2所以是在直线上的振动。29第29页，课件共37页，创作于2023年2月讨论3

所以是在X轴半轴长为，

Y轴半轴长为的椭圆方程，且顺时针旋转。讨论4所以是在X轴半轴长为，

Y轴半轴长为的椭圆方程，且逆时针旋转。X和Y方向的相位差决定旋转方向。质点的轨道是圆。质点的轨道是圆。30第30页，课件共37页，创作于2023年2月讨论5则为任一椭圆方程。综上所述：两个频率相同的互相垂直的简谐振动合成后，合振动在一直线上或者在椭圆上进行（直线是退化了的椭圆）。31第31页，课件共37页，创作于2023年2月二、垂直方向、不同频率简谐振动的合成一般是复杂的运动轨道不是封闭曲线，即合成运动不是周期性的运动。当时是顺时针转；时是逆时针转。如果两个互相垂直的振动频率成整数比，合成运动的轨道是封闭曲线，运动也具有周期。这种运动轨迹的图形称为李萨如图形。P128图。用李萨如图形在无线电技术中可以测量频率：在示波器上，垂直方向与水平方向同时输入两个振动，已知其中一个频率，则可根据所成图形与已知标准的李萨如图形去比较，就可得知另一个未知的频率。32第32页，课件共37页，创作于2023年2月§6、7阻尼振动、受迫振动、共振一.阻尼振动阻尼振动微分方程令为阻尼因子通解33第33页，课件共37页，创作于2023年2月1.欠阻尼振动------阻尼很小通解txo2.过阻尼振动------阻尼很大通解不能往复运动。如单摆放在粘滞的油筒中摆到平衡位置须很长时间。34第34页，课件共37页，创作于2023年2月3.临界阻尼振动通解衰减函数临界阻尼达到平衡位置的时间最短，但仍不能超过平衡位置。过阻尼临界阻尼三种阻尼振动比较欠阻尼35第35页，课件共37页，创作于2023年2月二.受迫振