第十三章-能量法00课件

Chapter13EnergyMethod第十三章能量法1

第十三章能量法

(EnergyMethods)§13-1

概述（Introduction)§13-2

杆件应变能的计算(Calculationofstrainenergyforvarioustypesofloading)§13-4

互等定理（Reciprocal

theorems)§13-7

单位荷载法莫尔定理(Unit-loadmethod&mohr’stheorem)§13-3

应变能的普遍表达式2§13-1

概述（Introduction）在弹性范围内,弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量,称为弹性应变能,简称应变能.一、能量方法（Energymethods)三、应变能（Strainenergy）二、外力功（Workoftheexternalforce）固体在外力作用下变形,引起力作用点沿力作用方向位移,外力因此而做功,则成为外力功.利用功能原理Vε=W

来求解可变形固体的位移,变形和内力等的方法.3可变形固体在受外力作用而变形时,对于弹性体,不考虑其他能量的损失,外力在相应位移上作的功,在数值上就等于积蓄在物体内的应变能.

Vε=W四、功能原理（Work-energyprinciple）Theformula:（Work-EnergyPrinciple）Wewillnotconsiderotherformsofenergysuchasthermalenergy,chemicalenergy,andelectromagneticenergy.Therefore,ifthestressesinabodydonotexceedtheelasticlimit,allofworkdoneonabodybyexternalforcesisstoredinthebodyaselasticstrainenergy.

4§13-2

杆件应变能的计算(Calculationofstrainenergyforvarioustypesofloading)一、杆件应变能的计算（Calculationofstrainenergyforvarioustypesofloading）

1.轴向拉压的应变能（Strainenergyforaxialloads)5FFllFlFOll1dl1dF1F16根据功能原理当轴力或截面发生变化时:

Vε=W,可得以下变形能表达式当轴力或截面连续变化时：72.扭转杆内的应变能（Strainenergyfortorsionalloads）或lMeMeMe8纯弯曲（purebending)横力弯曲（nonuniformbending）3.弯曲变形的应变能（Strainenergyforflexuralloads）θMeMeMeMe综合上面三式9

§13-3应变能的普遍表达式（Generalformulaforstrainenergy）假设广义力按某一比例由零增至最后值，对应的广义位移也由零增至最后值.1.克拉贝依隆原理（Strainenergyforcombinedloads)10对于线性结构,位移与荷载之间是线性关系，在整个加载过程中结构的应变能等于外力的功。iFiF3ABCF1F2B'——克拉贝隆原理（只限于线性结构）Fii112.组合变形的应变能（Strainenergyforcombinedloads)截面上存在几种内力,各个内力及相应的各个位移相互独立,力独立作用原理成立,各个内力只对其相应的位移做功.123、应变能的应用（Applicationofstrainenergy）

1）计算应变能（Calculatingstrainenergy）

2）利用功能原理计算变形（Work-energyprincipleforcalculatingdeflection）例题1试求图示悬臂梁的变形能,并利用功能原理求自由端B的挠度.ABFlx解：由Vε=W得13例题2试求图示梁的变形能,并利用功能原理求C截面的挠度.ABCFx1x2abl解：由Vε=W得14例题3拉杆在线弹性范围内工作.抗拉刚度EI,受到F1和F2两个力作用.若先在B

截面加F1,

然后在C

截面加F2;若先在C

截面加F2,

然后在

B

截面加F1.分别计算两种加力方法拉杆的应变能.ABCabF1F215（1）先在B

截面加F1,然后在C

截面加F2ABCabF1（a）在B

截面加F1,B截面的位移为外力作功为（b）再在C上加F2F2

C截面的位移为

F2作功为16（c）在加F2

后,B截面又有位移在加F2过程中F1作功（常力作功）所以应变能为ABCabF1F217（2）若先在C截面加F2,然后B截面加F1.（a）在C截面加F2

后,F2

作功（b）

在B截面加F1后,F1作功ABCabF1F218（c）加

F1引起C

截面的位移在加F1过程中F2作功（常力作功）ABCabF1F2所以应变能为注意：（1）计算外力作功时,注意变力作功与常力作功的区别.（2）应变能Vε只与外力的最终值有关,而与加载过程和加载次序无关.192解:梁中点的挠度为:梁右端的转角为:MeACBFl/2l/2梁的变形能为:1例题4以弯曲变形为例证明应变能Vε只与外力的最终值有关,而与加载过程和加载次序无关.20先加力F

后,再加力偶Me（1）先加力F后,C

点的位移力F所作的功为（2）力偶由零增至最后值Me

B

截面的转角为力偶Me

所作的功为ACBFl/2l/2ACBFl/2l/2Me121先加上的力F所作的功为

C截面的位移为3ACBl/2l/2

F与力偶Me所作的功为ACBFl/2l/21Me22两力作用点沿力作用方向的位移分别为F1,F2（1）设在线弹性结构上作用力1,2一、功的互等定理（Reciprocalworktheorem）§13-4

互等定理（ReciprocalTheorems)12F1F223F1F212

F1和F2完成的功应为（2）在结构上再作用有力F3,F4

沿F3和F4方向的相应位移为3,4F334F4

F3和F4完成的功应为24（3）在F3和F4的作用下,F1和F2的作用点又有位移

F1和F2在1´和2´上完成的功应为F1F212F334F4因此,按先加F1,F2后F3,F4的次序加力,结构的应变能为1´和2´25F1F21234F4F3若按先加F3,F4后加F1,F2的次序加力,又可求得结构的应变能为由于应变能只决定于力和位移的最终值,与加力的次序无关,故26功的互等定理（reciprocalworktheorem）:第一组力在第二组力引起的位移上所作的功,等于第二组力在第一组力引起的位移上所作的功.二、位移互等定理（Reciprocaldisplacementtheorem)若第一组力F1,第二组力只有F3,则如果F1=

F3,则有27位移互等定理（reciprocalworktheorem）：

F1作用点沿F1方向因作用F3而引起的位移等于F3作用点沿

F3方向因作用F1而引起的位移.（ThedeflectionatAduetoaloadactingatBisequaltothedeflectionatBduetothesameloadactingatA)三、注意（Notice）

（1）力和位移都应理解为广义的.

（2）这里是指结构不可能发生刚性位移的情况下,只是由变形引起的位移.28§13-7

单位荷载法莫尔定理（Unit-loadmethod&mohr’stheorem）一、莫尔定理的推导（Derivationofmohr’stheorem）求任意点A的位移wA

F1F2A29

A图b应变能为aA图F1F2=1F0AF1F2图cwAF0=1

（1）先在A点作用单位力F0,再作用F1、F2力30（2）三个力同时作用时任意截面的弯矩:应变能:31（Mohr’sTheorem）桁架：二、普遍形式的莫尔定理（Generalformulaformohr’stheorem）注意:上式中Δ应看成广义位移,把单位力看成与广义位移相对应的广义力.32三、使用莫尔定理的注意事项（5）莫尔积分必须遍及整个结构.（1）M（x）：结构在原载荷下的内力;（3）所加广义单位力与所求广义位移之积,必须为功的量纲;（2）——去掉主动力,在所求广义位移点,沿所求广义位移的方向加广义单位力时,结构产生的内力;M（4）与M（x）的坐标系必须一致,每段杆的坐标系可自由建立;M（x）33A例题5抗弯刚度为EI的等截面简支梁受均布荷载作用,用单位载荷法求梁中点的挠度wC

和支座A截面的转角.剪力对弯曲的影响不计.qBCll/2ql/2ql/2解:在实际荷载作用下,任一x

截面的弯矩为34AAB11/21/2C（1）求C

截面的挠度在C点加一向下的单位力,任一x

截面的弯矩为xqBCll/2ql/2ql/235ql/2AAB11/l1/lx（2）求A截面的转角在A截面加一单位力偶引起的x截面的弯矩为qCll/2（顺时针）ql/236B例题6图示外伸梁,其抗弯刚度为EI.用单位载荷法求C点的挠度和转角.ACqF=qaa2a37BAABCa2a1解：xAB:（1）求截面的挠度（在C

处加一单位力“1”）CqF=qaa2aFRAx1/238BC:BAABCa2aCqF=qaa2aFRA1/2xx139BABC:AB:（2）求C

截面的转角（在C处加一单位力偶）1xxABCa2axCqF=qaa2ax1/2a（）FRA40例题7刚架的自由端A作用集中力F.刚架各段的抗弯刚度已于图中标出.不计剪力和轴力对位移的影响.计算A点的垂直位移及B截面的转角.aABCFlEI1EI2解:（1）计算A点的垂直位移,在A点加垂直向下的单位力BClEI1EI2a141AB:BC:aABCFlEI1EI2xxABC1lEI1EI2xxa42（2）计算B截面的转角,在B上加一个单位力偶矩AB:BC:ABCFlEI1EI2xxaABClEI1EI2xxa（）143例题8图示刚架,两杆的EI

和EA

分别相同,试求C点的水平位移.CFabAB解:在C点加一水平单位力1abBAC44Fab1abxxABBACCCB:xxAB:45Fab1abxxABBACCxx46例题9图示为一水平面内的曲杆，B

处为一刚性节点，ABC=90°在C