微波技术与天线第二章规则金属波导

微波技术与天线第二章规则金属波导2023/7/231第1页，课件共66页，创作于2023年2月引言任意的两根导线不能有效引导微波。采用微波传输线有效引导微波。平行双线（改进型双导线）：米波减小双导线的辐射和电阻损耗。同轴线（封闭式双导体导波系统）：分米波，厘米波避免辐射和进一步减少电阻损耗。柱面金属波导（去掉内导体的空心单导体导波系统）：厘米波和毫米波同轴线横向尺寸变小，内导体的损耗很大，功率容量也下降。介质波导：毫米波，亚毫米波此时金属损耗已经很大，而介质损耗还不算高，特别是低损耗介质。平面导波系统：适应微波集成电路的需要带状线，微带线

2023/7/232第2页，课件共66页，创作于2023年2月主要内容2.1导波原理2.1.1波导管内的电磁波2.1.2导波的分类2.1.3波导中导波的传输特性2.2矩形波导2.2.1矩形波导内TE/TM模式下场的分布2.2.2矩形波导的截止特性2.2.3TE10模的场结构2.2.4TE10模的传输特性2.2.5矩形波导尺寸选择原则2023/7/233第3页，课件共66页，创作于2023年2月2.1导波原理

2.1.1波导管内的电磁波截止波数kc的推导和物理意义（重点）2.1.2导波的分类2.1.3波导中导波的传输特性2023/7/234第4页，课件共66页，创作于2023年2月规则金属波导——截面尺寸、形状、材料以及边界条件不变的均匀填充介质的金属波导管。根据结构波导可分为：矩形波导圆波导脊波导

导波原理2023/7/235第5页，课件共66页，创作于2023年2月对由均匀填充介质的金属波导管建立如图所示坐标系,设z轴与波导的轴线相重合。假设：导波系统匀直、无限长→波导管内填充的介质是均匀、线性、各向同性的（μ、ε、η为实数）

。波导内壁是理想导体（σ=

∞）。波导管内无源（ρ=

0，J=0）

。波导管内的场是时谐场，波沿+z轴传播。波导方程波导管内的电磁波2023/7/236第6页，课件共66页，创作于2023年2月无源自由空间E和H满足亥姆霍兹方程：亥姆霍兹方程其中波导管内的电磁波2023/7/237第7页，课件共66页，创作于2023年2月将电场和磁场分解为横向分量和纵向分量：其中ez为z向单位矢量,t表示横向坐标。波导管内的电磁波2023/7/238第8页，课件共66页，创作于2023年2月分离变量法

其中▽t2为二维拉普拉斯算子。利用分离变量法，令：左边是横向坐标(x,y)的函数,与z无关;而右边是z的函数,与(x,y)无关。只有二者均为一常数上式才能成立，设该常数为γ2。波导管内的电磁波2023/7/239第9页，课件共66页，创作于2023年2月分离变量法

横向场方程：（二维矢量的波动方程）

纵向场方程：

（二阶常微分方程）其中二阶常微分方程的通解为：对于无限长的规则金属波导，没有反射波→A－＝0，A+为待定常数，则纵向场为：无耗波导：γ=jβ（β为相移常数）。波导管内的电磁波2023/7/2310第10页，课件共66页，创作于2023年2月分离变量法纵向场分量：分离了纵向变量后的横向场方程：传输系统的本征值波导管内的电磁波2023/7/2311第11页，课件共66页，创作于2023年2月波导管内的电磁波纵向场法由麦克斯韦方程组的两个旋度式，可以得到场的横向分量和纵向分量的关系式，从而由纵向场分量直接求解出场的横向分量。横向场分量2023/7/2312第12页，课件共66页，创作于2023年2月结论在规则波导中场的纵向分量满足标量齐次波动方程，结合相应边界条件即可求得纵向分量Ez和Hz，而场的横向分量即可由纵向分量求得。既满足上述方程又满足边界条件的解有许多,每一个解对应一个波型也称之为模式，不同的模式具有不同的传输特性。（重点）kc是微分方程在特定边界条件下的特征值，是与导波系统横截面形状、尺寸及传输模式有关的参量。β=0→波导系统不再传播波（截止）→kc=k。

波导管内的电磁波2023/7/2313第13页，课件共66页，创作于2023年2月导波的纵向分布状态截止状态截止状态时，场沿z的变化不是波动。γ=α’:场振幅沿z按指数规律变化，相位沿z不变化。特别的：γ=0（f=fc），场振幅和相位沿z均不变化。——波从不传播到传播的临界情况传播状态高通滤波器传播状态时，场沿z的变化是波动。γ=jβ:场振幅沿z不变化，相位沿z变化。无耗波导：

γ=α+jβ:场振幅和相位均沿z变化。2023/7/2314第14页，课件共66页，创作于2023年2月导波的分类kc2=0→β=k,γ=jβEz=0和Hz=0（否则Ex、Ey、Hx、Hy将出现无穷大）→该导行波既无纵向电场又无纵向磁场，只有横向电场和磁场，称为横电磁波（简称TEM波）。TEM波的相速、波长及波阻抗和无界空间均匀媒质中相同（因为二者的传播常数相同）。TEM波是无色散波（因为vp/vg与频率无关）kc=0→fc=0，λc=∞。理论上任意频率均能在此类传输线上传输。

TEM波不能用纵向场分析法（可用二维静态场分析法或传输线方程法进行分析）。TEM波只能存在与多导体导波系统（TEM波传输线）中。2023/7/2315第15页，课件共66页，创作于2023年2月导波的分类kc2>0→β<kβ2＞0，Ez和Hz不能同时为零（否则Et和Ht必然全为零,系统将不存在任何场）→

只要Ez和Hz中有一个不为零即可满足边界条件。

TM波（E波）将Ez≠0而Hz=0的波称为磁场纯横向波（简称TM波），只有纵向电场。满足的边界条件：TM波的波阻抗:2023/7/2316第16页，课件共66页，创作于2023年2月kc2>0→β<k,kc≠0

TE波（H波）将Ez=0而Hz≠0的波称为电场纯横向波（简称TE波）,此时只有纵向磁场。满足的边界条件：TE波的波阻抗:导波的分类2023/7/2317第17页，课件共66页，创作于2023年2月导波的分类kc2=0多导体传输线（TEM波）fc=0时：理论上任意频率均能在此类传输线上传输。非色散波kc2>0金属波导（TM波、TE波）快波。fc≠0时：f>fc时波才能传播。色散波kc2<0→β>k表面波导（EH波）

慢波。

2023/7/2318第18页，课件共66页，创作于2023年2月导波的分类波导中是否存在TEM波？（略）TEM波在横截面内满足的方程与无源区域内静场满足的微分方程相同。TEM波在波导横截面上的分布规律与同样边界条件下的二维静场的分布规律完全相同。静场是由静电荷或恒定电流产生的，而单导体波导管内不存在静电荷或恒定电流，因此波导系统中不能传输TEM波。2023/7/2319第19页，课件共66页，创作于2023年2月波导中是否存在TEM波？（略）从磁力线角度假设存在TEM波磁力线总是闭合的，因此必然存在纵向传导电流或纵向位移电流。波导内不存在纵向传导电流。若存在纵向位移电流，则必然存在纵向电场。采用反证法从Maxswell旋度方程可证明金属波导中不存在TEM波。导波的分类2023/7/2320第20页，课件共66页，创作于2023年2月空心的BJ-100波段矩形铜波导，尺寸为a*b=22.86cm*10.16cm。观测不同频率下，电磁波是否能传输？导波的分类例2.12023/7/2321第21页，课件共66页，创作于2023年2月矩形波导中的导波的传播特性与电磁波的波数k

和截止波数kc

有关。描述波导传输特性的主要参数:波数相移常数相速群速波导波长波阻抗及传输功率波导中导波的传输特性2023/7/2322第22页，课件共66页，创作于2023年2月波数和相移常数

在确定的均匀媒质中,波数k和截止（cutoff）波数kc与电磁波的频率成正比。相移（phaseshift）常数β和k的关系为：波导中导波的传输特性TE/TM波：kc≠0TEM波：kc=02023/7/2323第23页，课件共66页，创作于2023年2月波导中导波的传输特性截止特性一个模能否在波导中传输取决于波导的结构和工作频率（或波长）。传导模：在波导中能传输。

截止模：在波导中不能传输。2023/7/2324第24页，课件共66页，创作于2023年2月速度和色散电磁波在波导中传播，其等相位面移动速率称为相速（phasevelocity）。在规则波导中波的传播的速度要比在无界空间媒质中传播的速度要快。快波

波导中导波的传输特性2023/7/2325第25页，课件共66页，创作于2023年2月速度和色散将相移常数β及相速vp随频率ω的变化关系称为色散关系,它描述了波导系统的频率特性。当存在色散特性时，vp已不能很好地描述波的传播速度,这时就要引入“群速”（groupvelocity）的概念——表征了波能量的传播速度。TE/TM波：TEM波：波导中导波的传输特性vvvp0fcvgfc2023/7/2326第26页，课件共66页，创作于2023年2月波长工作波长λ导波系统工作频率所对应的平面电磁波在无界均匀媒质中的波长。决定于工作频率和媒质参数。截止波长λc截止频率所对应的平面电磁波在无界均匀媒质中传播的波长。

决定于kc，λc和媒质无关；fc和媒质有关。——kc取决于工作模式和导波系统的结构尺寸。波导波长λg

工作频率所对应的导波沿导波系统纵向传播的波长。波导中导波的传输特性2023/7/2327第27页，课件共66页，创作于2023年2月波阻抗定义某个波型的横向电场和横向磁场之比为波阻抗。传输功率由玻印亭定理→波导中某个波型的传输功率为：波导中导波的传输特性2023/7/2328第28页，课件共66页，创作于2023年2月矩形波导2.2.1矩形波导内TE/TM模式下场的分布2.2.2矩形波导的截止特性2.2.3TE10模的场结构2.2.4TE10模的传输特性2.2.5矩形波导尺寸选择原则2023/7/2329第29页，课件共66页，创作于2023年2月矩形波导中的导波---TE模矩形波导中TE模场分布TE模:分离变量法:

Hoz(x,y)=X(x)Y(y)

2023/7/2330第30页，课件共66页，创作于2023年2月矩形波导中的导波---TE模要使上式成立,上式左边每项必须均为常数,设分别为kx2

和ky2

:Hoz(x,y)的通解:2023/7/2331第31页，课件共66页，创作于2023年2月矩形波导中的导波---TE模Hz应满足的边界条件为：矩形波导TE波纵向磁场的基本解为：Hz(x,y,z)的通解为：2023/7/2332第32页，课件共66页，创作于2023年2月矩形波导中的导波---TE模TE波其它场分量的表达式：2023/7/2333第33页，课件共66页，创作于2023年2月矩形波导中的导波---TE模矩形波导TE波的截止波数与波导尺寸、传输波型有关。m和n分别代表TE波沿x方向和y方向分布的半驻波个数；若为0则意味着在该方向场均匀分布。一组m、n对应一种TE波——TEmn模。m和n不能同时为零,否则场分量全部为零。

矩形波导存在TEm0模/TE0n模/TEmn(m,n≠0)模。TE10模是最低次模。其余称为高次模。

2023/7/2334第34页，课件共66页，创作于2023年2月矩形波导中的导波---TM模（略）矩形波导中TM模场分布TM模:分离变量法:

令Eoz(x,y)=X(x)Y(y)

2023/7/2335第35页，课件共66页，创作于2023年2月矩形波导中的导波---TM模（略）要使上式成立,上式左边每项必须均为常数,设分别为kx2

和ky2

:Eoz(x,y)的通解:2023/7/2336第36页，课件共66页，创作于2023年2月矩形波导中的导波---TM模（略）Ez应满足的边界条件为：矩形波导TM波纵向电场的基本解为：Ez(x,y,z)的通解为：2023/7/2337第37页，课件共66页，创作于2023年2月矩形波导中的导波---TM模（略）TM波全部场分量的表达式：2023/7/2338第38页，课件共66页，创作于2023年2月矩形波导中的导波---TM模矩形波导TM波的截止波数与波导尺寸、传输波型有关。m和n分别代表TM波沿x方向和y方向分布的半波个数。一组m、n对应一种TM波——TMmn模。m和n都不能为零,否则场分量全部为零。

矩形波导存在TMm1模/TM1n模/TMmn(m,n≠1)模。

TM11模是最低次模。其余模式称为高次模。

2023/7/2339第39页，课件共66页，创作于2023年2月矩形波导的场分布场分布的特点矩形波导内存在许多模式的波：TE波是所有TEmn模式场的总和，

TM波是所有TMmn模式场的总和。所有的场分量均要乘以波因子e-jz。在横截面内呈驻波分布，纵向为行波分布。当m、n取不同值时可得不同的场分布，代表不同的工作模式。TE波：m，n中的一个可以为0，主模为TE10模。TM波：m，n都不能为0，主模为TM11模。不存在TE00、TM00、TMm0、TM0n的模式。2023/7/2340第40页，课件共66页，创作于2023年2月矩形波导的场分布场分布的特点波导中哪个模式能够传输，取决于工作频率、波导尺寸和激励方式。TEmn和TMmn是简并模。截止波长相同的不同模式称为简并模，其传输特性相同、但空间电磁场分布不同，可同时在波导中传输。。电波和磁波之间简并：TEmn（除TEn0）与TMmn（除TM0m）简并。磁波之间的简并：a=b时，TE10与TE01简并；a=2b时，TE20与TE01简并.2023/7/2341第41页，课件共66页，创作于2023年2月矩形波导的截止特性标准波导BJ-32各模式截止波长分布图2023/7/2342第42页，课件共66页，创作于2023年2月设某矩形波导的尺寸为a=8cm，b=4cm。试求工作频率在3GHz时该波导能传输的模式。【解】可见，该波导在工作频率为3GHz时只能传输TE10模。

例2.2矩形波导的截止特性2023/7/2343第43页，课件共66页，创作于2023年2月TE10模场量表达式

考虑时间因子ejωt，将m=1、n=0、kc=π/a代入矩形波导TE模的场分量表达式，可得：2023/7/2344第44页，课件共66页，创作于2023年2月TE10模场量变化规律场强与y无关，即各分量沿y轴均匀分布。沿x方向变化规律：Ey、Hx和Hz的相位差为90度，电磁波沿横向为驻波分布。沿z方向变化规律：Hx和Ey的最大值在同截面出现，电磁波沿z方向按行波状态变化。2023/7/2345第45页，课件共66页，创作于2023年2月TE10模电场分量

横向电场只有Ey分量，沿y轴大小无变化，沿x轴呈正弦分布。

2023/7/2346第46页，课件共66页，创作于2023年2月TE10模磁场分量横向磁场Hx与横向电场Ey相差一个波阻抗系数，它们在横截面的分布相同，但矢量方向正交。Hz在横截面上沿x方向呈正弦分布，沿纵向呈余弦分布。Hz和Hx在波导纵截面上构成闭合的磁力线。

2023/7/2347第47页，课件共66页，创作于2023年2月TE10模电磁场分布图2023/7/2348第48页，课件共66页，创作于2023年2月TE10模场结构特点磁力线总是闭合曲线。磁力线和电力线正交，总满足坡印廷矢量关系。电/磁力线越稀疏，变化越快（变化率最大）；电/磁力线越密，变化越慢（变化率最小）。横向电场和横向磁场同相，与纵向磁场波程差为λ/4，相位差为/2。波导中能量不是直接沿z方向传播，而是入射波和反射波在波导内壁上曲折反射的结果，合成后形成纵向功率流。2023/7/2349第49页，课件共66页，创作于2023年2月TEm0模与TE10模因为m=1及n=0，TE10场的各个分量沿宽边a只变化一次(有一个半驻波分布)，场沿窄边b均匀分布。TE20、TE30、…、TEm0等模式的场分布沿波导宽边a分别有2个、3个、…、m个TE10模的场结构的基本单元；沿窄边b场分布为均匀分布。2023/7/2350第50页，课件共66页，创作于2023年2月TE0n模与TE01模TE01模的场分布沿着宽边a没有变化，而沿着波导窄边b只有一个半驻波分布。2023/7/2351第51页，课件共66页，创作于2023年2月TEmn模与TE11模（略）TE11模的场分布沿着波导宽壁和窄壁都有一个半驻波分布，而且电力线一定分别垂直于波导的宽壁和窄壁。TEmn模的场分布沿宽壁a和窄壁b分别有m个和n个TE11模场结构图的基本单元。2023/7/2352第52页，课件共66页，创作于2023年2月TM11模最低模式为TM11模：它的场分布沿波导的宽壁a和窄壁b都有一个半驻波分布。Hx=0、Ex≠0，则磁力线一定在横截面内自成闭合曲线。TMmn的场分布沿波导宽壁a和窄壁b分别有m个和n个TM11模场结构的基本单元。TMmn模与TM11模（略）2023/7/2353第53页，课件共66页，创作于2023年2月TE10模的传输特性截止波长与相移常数

m=1,n=0。TE10模的截止波数TE10模的截止波长TE10模的相移常数2023/7/2354第54页，课件共66页，创作于2023年2月TE10模的传输特性波导波长与波阻抗TE10模的波导波长TE10模的波阻抗2023/7/2355第55页，课件共66页，创作于2023年2月TE10模的传输特性相速与群速TE10模的相速TE10模的群速2023/7/2356第56页，课件共66页，创作于2023年2月TE10模的传输特性传输功率和功率容量在行波状态下，传输的平均功率可由波导横截面上的坡印亭矢量的积分求得。：Ey分量在波导宽边中心处的振幅值。Ebr：击穿电场幅值。2023/7/2357第57页，课件共66页，创作于2023年2月TE10模的传输特性传输功率和功率容量空气的击穿场强为30kV/cm→空气矩形波导的功率容量：波导尺寸越大，频率越高,则功率容量越大。当负载不匹配时，由于形成驻波→电场振幅变大→功率容量会变小。不匹配时的功率容量Pbr’和匹配时的功率容量Pbr的关系:

波导实际允许传输的功率一般取行波状态下功率容量理论值的25%~30%。【举例】λ=91mm时，BJ-32波导的Pbr=11300kW，同轴线的Pbr=700kW。2023/7/2358第58页，课件共66页，创作于2023年2月TE10模的传输特性衰减特性当电磁波沿传输方向传播时,由于波导金属壁的热损耗和波导内填充的介质损耗必然会引起能量的递减。对于空气波导：由于空气介质损耗很小可以忽略不计，而导体损耗是不可忽略的。设导行波沿z方向传输时的衰减常数为α,则沿线电场、磁场按e-αz规律变化：计算损耗功率时：因不同的导行模有不同的电流分布,损耗也不同。2023/7/2359第59页，课件共66页，创作于2023年2月TE10模的传输特性衰减特性矩形波导TE10模的衰减常数：

RS为导体表面电阻，它取决于导体的磁导率μ、电导率σ和工作频率f。衰减与波导的材料有关,因此要选导电率高的非铁磁材料，使RS尽量小。增大波导高度b能使衰减变小。但当b＞a/2时单模工作频带变窄，故衰减与频带应综合考虑。衰减还与工作频率有关：给定矩形波导尺寸时，随着频率的提高先是减小、出现极小点,然后稳步上升。2023/7/2360第60页，课件共66页，创作于2023年2月TE10模的传输特性衰减特性的举例对于工作在S波段的矩形金属波导(工作频率约为10GHz)，微波能量沿该波导每传输一米距离，将衰减0.3~0.44dB（约10％）

。