三晶体的宏观对称剖析课件

第二章

晶体的宏观对称

crystalsymmetry

晶体的对称性是晶体的基本性质之一。内部特征格子构造外部现象晶体的几何多面体形态

晶体的物理性质

化学性质

一、对称的概念是宇宙间的普遍现象。是自然科学最普遍和最基本的概念，是建造大自然的密码。对称是指物体相等部分作有规律的重复。对于晶体外形而言，就是晶面与晶面、晶棱与晶棱、角顶与角顶的有规律重复。二、晶体的对称1.由于晶体都具有格子状构造，而格子状构造就是质点在三维空间周期重复的体现，因此，所有的晶体都是对称的。2.晶体的对称受格子构造规律的限制。即只有符合格子构造规律的对称才能在晶体上出现，因此，晶体对称又是有限的。3.晶体的对称既然取决于格子构造，因此晶体的对称不仅体现在外形上，也体现在物理性质上（光学、力学、热学、电学性质）。4.是晶体的基本性质之一。5.是晶体科学分类的依据。三、晶体的对称操作和对称要素

在对晶体的对称研究中，为使晶体上相同部分作有规律重复，必须借助一定的几何要素（点、线、面）进行一定的操作（如反伸、旋转、反映等）才能实现，这些操作称为对称操作(symmetryoperation)，在操作中所借助的几何要素，称为对称要素(symmetryelement)。对称中心(centerofsymmetry)对称面(symmetryplane)对称轴(symmetryaxis)倒转轴(rotoinversionaxis)

对称轴为一假想的通过晶体几何中心的直线，其对称操作为绕此直线的旋转。当晶体围绕该直线每旋转一定角度后，晶体上的相同部分便出现一次重复。在旋转过程中，相等部分出现重复时所必须的最小旋转角，称为基转角（α）。在晶体旋转一周的过程中，相等部分出现重复的次数，称为轴次（n）。显然：

对称轴（Ln）α＝360°/n或n＝360°/α

对称轴出露的位置二次对称轴(two-foldrotation)(L2)α=360°/2=180°ASymmetricalPattern66180°rotation－toreproduceamotifinasymmetricalpatternMotifElementOperation－thesymbolforatwo-foldrotationfirstoperationstepsecondoperationstep三次对称轴(Three-foldrotation)(L3)α=360°/3=120°666step1step2step3ASymmetricalPattern120°rotation－toreproduceamotifinasymmetricalpatternOperation－thesymbolforathree-foldrotation66666666666666661-fold2-fold3-fold4-fold6-fold其他的对称轴(没有5-fold和>6-fold的)晶体对称定律

内容：只能出现轴次(n)为一次、二次、三次、四次和六次的对称轴，而不可能存在五次及高于六次的对称轴。证明：轴次n的确定:

n=360/a

a+2acosa=macosa=(m-1)/21由于平行行列的结点间距相等，m只能取整数m=3,2,1,0,-1 a=0°,60°,90°,120°,180°

n=1,6,4,3,2对称面（P）

对称面是一个假想的平面，与之相应的对称操作是此平面的反映。由这个平面将物体平分后的两个相等部分互成镜像的关系。对称面必通过晶体的中心。=symbolforamirrorplanem对称面(mirror)Reflectionacrossa“mirrorplane”reproducesamotif晶体中对称面与晶面、晶棱有如下关系：（1）垂直并平分晶面；（2）垂直晶棱并通过它的中点；(3)包含晶棱。对称面可能出现的位置对称面(a)与非对称面(b)

对称中心（C）

对称中心是一个假想的点，与之相应的对称操作为对此一点的反伸(Inversion)。当晶体具有对称中心时，通过晶体中心点的任意一直线，在其距中心点等间距的两端，必定出现晶体上两个相等部分。

在晶体中，若存在对称中心时，其晶面必两两平行、形状相同、取向相反。这可用来判断晶体有无对称中心。具有对称中心的晶体形态L66L27PC

L33L24P旋转反伸轴（Lin

）

也称为倒转轴。其对称操作是围绕直线旋转一定的角度和对于一定点的反伸。＝对称轴＋对称心

种类：

Li1=CLi2=PLi3=L3+CLi4

Li6=L3+P（Rotoinversion）Li1=C2-foldrotoinversionStep1:rotate360°/2Note:thisisatemporarystep,theintermediatemotifelementdoesnotexistinthefinalpattern.Step2:invertThisisthesameasm,sonotanewoperationStep1Step2Li2

=P三次、四次、六次旋转反伸轴的操作3-foldrotoinversionStep1:rotate360o/3Again,thisisatemporarystep,theintermediatemotifelementdoesnotexistinthefinalpatternStep2:invertthroughcenter12Rotateanother360°/3Completesecondsteptocreateface3Thirdstepcreatesface4(3)(1)(4)Fourthstepcreatesface(4)(5)(2)Fifthstepcreatesface6(2)(6)(3)Sixthstepreturnstoface112341265Li3=L3+C4-foldrotoinversion1:Rotate360°/42:Invert3:Rotate360°/44:InvertABDCA’B’C’D’4-foldrotoinversionAmorefundamentalrepresentativeofthepatternThisisauniqueoperation6-foldrotoinversion4213Note:thisisthesameasa3-foldrotationaxisperpendiculartoamirrorplaneTopViewSoLi6=L3+P对称要素的组合我们首先回忆一下列举模型的对称性：例如：L44L25PCL66L27PCL33L24P从上面的结果可以看出什么规律？◆对称要素组合不是任意的，必须符合对称要素的组合定律；◆当对称要素共存时，也可导出新的对称要素。对称要素组合定理：定理1：LnL2LnnL2

(L2与L2的夹角是Ln基转角的一半)逆定理：

L2与L2相交，在其交点且垂直两L2会产生Ln，其基转角是两L2夹角的两倍。并导出其他n个在垂直Ln平面内的L2。例如:L4L2L44L2,L3L2L33L2思考:两个L2相交30°,交点处并垂直L2所在平面会产生什么对称轴?定理2：LnPLnP

C(n为偶数)逆定理：

LnCLnP

C(n为偶数)PCLnPC(n为偶数)这一定理说明了L2、P、C三者中任两个可以产生第三者。因为偶次轴包含L2。定理3：Ln

P//LnnP//（P与P夹角为Ln基转角的一半）；逆定理：两个P相交，其交线必为一Ln，其基转角为P夹角的两倍，并导出其他n个包含Ln的P。（定理3与定理1对应）思考:两个对称面相交60°,交线处会产生什么对称轴?定理4：LinP//=LinL2

Linn/2L2n/2P//

（n为偶数）LinnL2nP//（n为奇数）32个对称型（点群）及其推导晶体形态中，全部对称要素的组合，称为该晶体形态的对称型或点群。一般来说，当强调对称要素时称对称型，强调对称操作时称点群。为什么叫点群？因为对称型中所有对称操作可构成一个群，符合数学中群的概念，并且在操作时有一点不动，所以称为点群。根据晶体中可能存在的对称要素及其组合规律，推导出晶体中可能出现的对称型（点群）是非常有限的，仅有32个。那么，这32个对称型怎么推导出来？

A类对称型（高次轴不多于一个）的推导：1）对称轴Ln单独存在，可能的对称型为L1；L2；L3；L4；L6

。2）对称轴与对称轴的组合。在这里我们只考虑Ln与垂直它的L2的组合。根据上节所述对称要素组合规律LnL2→LnnL2，可能的对称型为：（L1L2=L2）；L22L2=3L2；L33L2；L44L2；L66L2

如果L2与Ln斜交有可能出现多于一个的高次轴，这时就不属于A类对称型了。3）对称轴Ln与垂直它的对称面P的组合。考虑到组合规律Ln(偶次)P⊥→Ln(偶次)PC，则可能的对称型为：（L1P=P）；L2PC；（L3P=Li6）；L4PC；L6PC。4）对称轴Ln与包含它的对称面的组合。根据组合规律Ln

P∥→LnnP，可能的对称型为：（L1P=P）L22P；L33P；L44P；L66P。

5）对称轴Ln与垂直它的对称面以及包含它的对称面的组合。垂直Ln的P与包含Ln的P的交线必为垂直Ln的L2，即Ln

P⊥

P∥=Ln

P⊥

P∥=LnnL2(n+1)P（C）（C只在有偶次轴垂直P的情况下产生），可能的对称型为：(L1L22P=L22P）；L22L23PC=3L23PC；（L33L24P=Li63L23P）；L44L25PC；L66L27PC。

6）旋转反伸轴单独存在。可能的对称型为：Li1=C；Li2=P；Li3=L3C；Li4；Li6=L3P。7）旋转反伸轴Lin与垂直它的L2（或包含它的P）的组合。根据组合规律，当n为奇数时LinnL2nP，可能的对称型为：（Li1L2P=L2PC）；Li33L23P=L33L23PC；当n为偶数时Lin(n/2)L2(n/2)P，可能的对称型为：（Li2L2P=L22P）；Li42L22P；Li63L23P=L33L24P。这样推导出来的对称型共有27个，见表3－2。还有5个是B类（高次轴多于一个）对称型，不要求推导。请同学们将表3－2中空格的内容填上，空格中的内容与表中其他内容是重复的。LnLnnL2LnP(C)LnnPLnnL2(n+1)P(C)LinLinnL2nPLinn/2L2n/2PL1Lin=

CL23L2L2PCL22P3L23PCLi2=

PL3L33L2L33PLin=L3

CL33L23PCL4L44L2L4PCL44PL44L25PCLi4Li42L22PL6L66L2L6PCL66PL66L27PCLi6=L3PLi63L23P=L33L24P六、晶体的对称分类1、晶族、晶系、晶类的划分，见表3-4。

这个表非常重要，一定要熟记。

从这个表可知有7个晶系，在第一章我们已经知道有7种空间格子形式，对应7个晶系。请同学们思考：由对称形式可以划出7个晶