概率论数学期望课件

正如故乡是用来怀念的，青春就是用来追忆的，当你怀揣着它时，它一文不值，只有将它耗尽后，再回过头看，一切才有了意义——爱过我们的人和伤害过我们的人，都是我们青春存在的意义。——致青春第五章大数定律及中心极限定理§1大数定律§2中心极限定理契比雪夫不等式证明取连续型随机变量的情况来证明.

切比雪夫不等式得切比雪夫不等式的两种等价形式

切比雪夫不等式只利用随机变量的数学期望及方差就可对的概率分布进行估计。从切比雪夫不等式还可以看出,对于给定的>0,当方差越小时，事件{|X-E(X)|≥}发生的概率也越小，即X的取值越集中在E(X)附近．这进一步说明方差确实是一个描述随机变量与其期望值离散程度的一个变量．当D(X)已知时，切贝雪夫不等式给出了X与E(X)的偏差小于的概率的估计值．

切比雪夫不等式的用途：

（1）证明大数定律；（2）估计事件的概率。若某班某次考试的平均分为80分，标准差为10，试估计及格率至少为多少？用随机变量X表示学生成绩，则数学期望E(X)=80，方差D(X)=100，所以P{60

X

100}=P{|X–80|≤20}所以及格率至少为75%．解例已知n重伯努利试验中参数p=0.75，问至少应做多少次试验，才能使试验成功的频率在0.74和0.76之间的概率不低于0.90？设需做n次试验，其中成功的次数为X，则X～B(n，p)，E(X)=np，D(X)=np(1–p)。因为根据契比谢夫不等式应有解得解例

定义：若存在常数a,使对于任何依概率收敛则称随机变量序列{Xn}依概率收敛于a有记：如意思是:当a意思是:时,Xn落在内的概率越来越大.,当而皮尔逊皮尔逊蒲丰

德·

摩根实验者罗曼诺夫斯基发生的频率为则实例正面朝上18-19世纪几个有名的“抛硬币”试验“抛硬币”试验将一枚硬币连续抛次,记是随机变量列①分析次试验中试验结果:的模拟试验n=4048设想一下,会不会出现这样的试验结果:正面朝上反面朝上如何理解？发生的次数

例2测量一个长度a的物体,一次测量的结果不见得就等于a,量了若干次,其算术平均值仍不见得等于a,但当测量的次数很多时,算术平均值接近于a几乎是必然的.例1掷一颗均匀的正六面体的骰子,出现1点的概率是1/6,在掷的次数比较少时,出现1点的频率可能与1/6相差得很大.但是在掷的次数很多时,出现1点的频率接近1/6几乎是必然的.这两个例子说明:在大量随机现象中,不仅看到了随机事件的频率具有稳定性,而且还看到大量测量值的平均结果也具有稳定性。

大数定律以确切的数学形式表达了这种规律性,并论证了它成立的条件,即从理论上阐述了这种大量的、在一定条件下的、重复的随机现象呈现的规律性即稳定性.定理（伯努利大数定律）设是次独立重复试验中事件

发生的次数,且则有分析令第

次试验

发生第

次试验

不发生则相互独立从而是独立随机变量列{}Xn具有相同数学期望和方差{}Xn问如何证明？机变量列,且具有相同的数学期望和方差,记（切比雪夫大数定律）设为相互独立的随则有定理回顾切比雪夫不等式设随机变量的方差存在,则有

概率论历史上的第一个大数定律，由雅可比·伯努利于1713年发表的著作《猜测术》中提出.

伯努利大数定律、切比雪夫大数定律均要求随机列变量列的方差存在注,该条件可用“同分布”来代替或（辛钦大数定律）设是独立同分布r.v列,存在，则服从大数定律,即有定理该定理通常称为独立同分布大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法.是数理统计中参数估计的重要理论依据之一.大数定律的意义给出了“频率稳定性”的严格数学解释.①②③在现实中为什么很多数量指标都服从或近似服从正态分布

研究发现这些指标通常是由大量相互独立的随机因素综合影响而成,即近似问题中心极限定理研究的内容：当时,在什么情况下的极限分布是？的极限分布是中心极限定理同分布的r.v列，其数学期望和方差分别为则服从中心极限定理的分布函数对任意满足定理(独立同分布的中心极限定理)设为独立,即标准化r.v对于均值为方差的独立同分布的

r.v

列有近似即或近似中心极限定理的实际含义故每个因素都是微小的、没有一个因独立同分布X1X2、、Xn...、因为素起到突出作用这些随机因素都是微小的、没有一个因素起到在实际问题中,如果某数量指标满足该指标是由大量相互独立的随机因素迭加而成则这个数量指标近似地服从正态分布突出的作用由独立同分布的中心极限定理,有定理(棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理)设为服从参数为的二项分布r.v列,则对任意有证其中为独立同分布的(0-1)分布r.v,且因二项分布产生于

重伯努利试验,故可分解为注记

该定理是概率论历史上第一个中心极限定理,由棣莫弗于1730年给出到时的证明,几十年后经拉普拉斯推广的一般情形.对于一列二项分布r.v，有近似近似的图形为棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理的应用例如于是当

充分大时，可以认为

近似标准化①②

某单位电话交换机接有500部电话,在所有通话中有96%次通话是在各分机内进行的.假定每部分机是否需要打外线是相互独立的,问要配备多少条外线才能以95%的概率保证每个分机要用外线时不必等候？近似解例设共需要

条外线才能满足要求，则应有故至少应配备28条外线才能满足要求.查正态分布表得练习2：对于一个学生而言,来参加家长会的家长人数是一个随机变量.设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05、0.8、0.15.若学校共有400名学生,设各学生参加会议的家长数相互独立,且服从同一分布.(1)求参加会议的家长数X超过450的概率;(2)求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率.解33写在最后成功的基础在于好的学习习惯Thefoundationofsuccessliesingoodhabits谢谢聆听·