【2022山东临清三中实验高中人教数学A版】《几类不同增长的函数模型》

3.2.1几类不同增长的函数模型实验高中杨丽丽【教学重点】【教学目标】【教学难点】课程目标将实际问题转化为函数模型,结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．怎样选择和利用数学模型分析解决实际问题.借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对指数函数，对数函数以及幂函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性．恰当运用函数的三种表示法（解析式、图象、表格）并借助信息技术解决一些实际问题.

在理想环境中,种群数量呈指数增长;在有限制的环境中,种群数量的增长将由指数增长转变为对数增长,并逐渐趋于稳定.那么,应如何选择不同的函数模型描述这些现象呢？问题情景问题情景材料：澳大利亚兔子数“爆炸”

1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．一般而言，在理想条件（食物或养料充足，空间条件充裕，气候适宜，没有敌害等）下，种群在一定时期内的增长大致符合“J”型曲线；在有限环境（空间有限，食物有限，有捕食者存在等）中，种群增长到一定程度后不增长，曲线呈“S”型．可用指数函数描述一个种群的前期增长，用对数函数描述后期增长的，感知指数函数变化剧烈。【例1】假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番.请问,你会选择哪种投资方案？

在本问题中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？构建数学探究一投资天数、回报金额解:设第x天所得回报是y元，则方案一：方案二：方案三：

在本问题中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？探究一

上述的三个数学模型,第一个是常数函数,另两个都是递增的函数模型,你如何对三个方案作出选择？方法1:我们来计算三种方案所得回报的增长情况：探究二

请同学们对函数增长情况进行分析,方法是列表观察或作出图象观察.x/天

方案一方案二方案三y/元增加量/元y/元增加量/元y/元增加量/元1400100.40.4240020100.80.8340030101.61.6440040103.23.2540050106.46.46400601012.812.87400701025.625.68400801051.251.294009010102.4102.41040010010204.8…………………3040030010214748364.8107374182.4

根据表格中所提供的数据,你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？三种方案每天回报表x42681012y20406080100120140o

底数为2的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多.从中你对“指数爆炸”的函数有什么新的理解？

你能通过图象描述一下三种方案的特点吗？

方法2：我们来作出三种方案的三个函数的图象：1234567891011方案一4080120160200240280320360400440方案二103060100150210280360450550660方案三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2818.8结论:①投资1~6天,应选择方案一;②投资7天,应选择方案一或二;③投资8~10天,应选择方案二;④投资11天(含11天)以上,则应选择方案三.回报天数方案☞累计回报表：方案一方案二方案三实际应用问题分析、联想抽象、转化构建数学模型解答数学问题审题数学化寻找解题思路还原(设)(列)(解)(答)★解答例1的过程实际上就是建立函数模型的过程,建立函数模型的程序大概如下：变式训练【1】某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么每轮病毒发作时，这台计算机都可能感染没被感染的20台计算机.现在10台计算机在第1轮病毒发作时被感染，问在第5轮病毒发作时可能有多少台计算机被感染？(练习P.982)2.答案:第5轮病毒发作时最多会有160万台被感染．【例2】某公司为了实现1000万元利润的目标,准备制定一个激励销售部门的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪个模型能符合公司的要求？

本问题涉及了哪几类函数模型？本问题的实质是什么？·············一次函数模型

实质:分析三种函数的不同增长情况对于奖励模型的影响，就是比较三个函数的增长情况．y=0.25xy=log7x+1,·············对数函数模型·············指数函数模型y=1.002x探究一①销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励,且部门销售利润一般不会超过公司总的利润1000万元,所以销售利润x可用不等式表示为____________.③依据这个模型进行奖励时,奖金不超过利润的25%,所以奖金y可用不等式表示为___________.②依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元,所以奖金y可用不等式表示为_________.10≤x≤10000≤y≤50≤y≤25%x

你能用数学语言描述符合公司奖励方案的条件吗?探究二

你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型是否符合公司要求吗？

奖励模型符合公司要求就是依据这个模型进行奖励时,符合条件：

(1)奖金总数不超过5万元；

(2)奖金不超过利润的25%.

因此,在区间[10,1000]上,不妨作出三个函数模型的图象,通过观察函数的图象,得到初步的结论,再通过具体计算确认结果.探究三4006008001000120020012345678xyoy=5y=0.25x探究四

通过观察图象,你认为哪个模型符合公司的奖励方案？探究四

通过观察图象,你认为哪个模型符合公司的奖励方案？①对于模型y=0.25x,它在区间[10,1000]上递增,当x>20时,y>5,因此该模型不符合要求;探究四

通过观察图象,你认为哪个模型符合公司的奖励方案？②对于模型y=1.002x,它在区间[10,1000]上递增,观察图象并结合计算可知,当x>806时,y>5,因此该模型不符合要求.探究四

通过观察图象,你认为哪个模型符合公司的奖励方案？③对于模型y=log7x+1,它在区间[10,1000]上递增,观察图象并结合计算可知,当x=1000时,y=log71000+1≈4.55<5,所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.

按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%呢？解:当x∈[10,1000]时,要使y≤0.25x成立,

令f(x)=log7x+1-0.25x,当x∈[10,1000]时是否有f(x)≤0恒成立?

即当x∈[10,1000]时,f(x)=log7x+1－0.25x的图象是否在x轴下方?作f(x)=

log7x+1-0.25x的图象如下：只需log7x+1≤0.25x成立，即log7x+1-0.25x≤0.探究五由图象知f(x)

在[10,1000]上为减函数.说明当x∈[10,1000]时,有.另解:作出f(x)的图象(利用计算机).

综上按对数函数模型奖励符合公司提出的要求.

按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%呢？探究五即奖金不会超过利润的25%.