2021-2022学年湖南省长沙市达材中学高三数学理模拟试题含解析

2021-2022学年湖南省长沙市达材中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如果数列对任意满足，且，那么等于(

)

A.1024

B.512

C.510

D.256参考答案：A2.i是虚数单位，若复数z满足zi=﹣1+i，则复数z的实部与虚部的和是（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：C【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的乘法求出复数z，然后求解结果即可．【解答】解：复数z满足zi=﹣1+i，可得z===1+i．复数z的实部与虚部的和是：1+1=2．故选：C．【点评】本题考查复数的基本运算以及基本概念，考查计算能力．3.已知点A（﹣5，0），B（5，0），直线AM，BM的交点为M，AM，BM的斜率之积为，则点M的轨迹方程是（）A． B．C． D．参考答案：D【考点】轨迹方程．【分析】设出点M的坐标，利用已知条件列出方程求解即可．【解答】解：由题意可设M（x，y），y≠0，点A（﹣5，0），B（5，0），直线AM，BM的交点为M，AM，BM的斜率之积为，可得：，整理可得：．故选：D．【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．4.若复数z满足（i为虚数单位），则复数z为

(A)

(B)2-

(C)

(D)2+i参考答案：A5.sin225°的值为（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】把225°变为，利用诱导公式化简后，再利用特殊角的三角函数值即可得结果.【详解】，故选A.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用以及特殊角的三角函数，属于简单题.对诱导公式的记忆不但要正确理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，同时还要加强记忆几组常见的诱导公式，以便提高做题速度.6.函数的定义域是（A）（B）（C）（D）参考答案：A略7.已知变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（

）A．32

B．4

C．8

D．2参考答案：B8.在正项等比数列中，已知，，，则

A.11

B.12

C.14

D.16参考答案：C由与可得，，因此，所以，故选C.9.复数（）A.

B.

C.

D.参考答案：A略10.已知双曲线C：的右顶点为A，右焦点为F，O是坐标系原点，过A且与x轴垂直的直线交双曲线的渐近线于M，N两点，若四边形OMFN是菱形，则C的离心率为（

）A.2 B. C. D.参考答案：A【分析】求出的坐标，根据菱形的对角线互相垂直且平分，可得，进而求出双曲线的离心率.【详解】解：双曲线：的右顶点为，右焦点为，是坐标系原点，过且与轴垂直的直线交双曲线的渐近线于，两点，若四边形是菱形，可得，可得．故选：A．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，利用平面几何的性质是解题的关键.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.执行如图所示的程序框图，则输出k的值为．参考答案：7【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出输出不满足条件S=0+2+4+…＜100时，k+1的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是：输出不满足条件S=0+2+4+…＜100时，k+1的值．由于2+4+…+25＜100，k=6；满足判断框的条件，继续运行，2+4+…+26＞100，k=7，不满足判断框的条件，退出循环．故最后输出k的值为7．故712.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含项的系数为

．参考答案：-4813.如图，是⊙的直径，是延长线上的一点，过作⊙的切线，切点为，，若，则⊙的直径

；参考答案：略14.已知平面四边形ABCD为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧），且，则平面四边形ABCD面积的最大值为

．参考答案：试题分析：设,在中运用余弦定理可得；在中运用余弦定理可得.所以.又四边形的面积,即.联立和并两边平方相加可得,化简变形得,所以当时,最大,即.

15.已知________.参考答案：216.已知，则的值为____________．参考答案：略17.在长度为1的线段上随机的选取一点，则得到的概率是

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，其中且.（1）讨论的单调性；(2)若恒成立，求实数范围；（3）若存在两个异号实根，，求证：参考答案：(１)的定义域为.其导数①当时,在上增;②当时,在上增;在(0,+∞)上减.

--------------------------------6分(２)当时,则取适当的数能使，比如取，能使,所以不合题意当时，令，

问题化为求恒成立时的取值范围.由于在上,;在上,.的最小值为,所以只需即,------------------------10分(３)由于存在两个异号根，不妨设，因为,所以构造函数:()所以在上减.,则,于是,又,,由在上为减函数可知.即-------------------------------16分19.设函数f（x）=|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）当a=2时，解不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤4的解集为[﹣1，7]，且两正数s和t满足2s+t=a，求证：．参考答案：【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）利用绝对值的意义表示成分段函数形式，解不等式即可．（2）根据不等式的解集求出a=3，利用1的代换结合基本不等式进行证明即可．【解答】（Ⅰ）解：当a=2时，不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|，可化为|x﹣2|+|2x﹣5|≥6．①x≥2.5时，不等式可化为x﹣2+2x﹣5≥6，∴x≥；②2≤x＜2.5，不等式可化为x﹣2+5﹣2x≥6，∴x∈?；③x＜2，不等式可化为2﹣x+5﹣2x≥6，∴x≤，综上所述，不等式的解集为（﹣]；（Ⅱ）证明：不等式f（x）≤4的解集为[a﹣4，a+4]=[﹣1，7]，∴a=3，∴=（）（2s+t）=（10++）≥6，当且仅当s=，t=2时取等号．20.在平面直角坐标系中，直线x－y+m=0不过原点，且与椭圆有两个不同的公共点A，B．（Ⅰ）求实数m取值所组成的集合M；（Ⅱ）是否存在定点P使得任意的m∈M，都有直线PA，PB的倾斜角互补．若存在，求出所有定点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由直线不过原点，知m≠0，将与联立，得：，由此利用根的判别式，能求出实数m的范围组成的集合M．（2）假设存在定点P（x0，y0）使得任意的m∈M，都有直线PA，PB的倾斜角互补，则kPA+kPB=0，令，得：，由此利用韦达定理能求出所有定点P的坐标．【解答】解：（1）因为直线不过原点，所以m≠0，将与联立，消去y得：，因为直线与椭圆有两个不同的公共点A，B，所以△=8m2﹣16（m2﹣4）＞0，解得，所以实数m的范围组成的集合M是；（2）假设存在定点P（x0，y0）使得任意的m∈M，都有直线PA，PB的倾斜角互补，即kPA+kPB=0，令，所以，整理得：，由（1）知x1，x2是的两个根，所以，代入（*）化简得，由题意解得或所以定点P的坐标为或，经检验，满足题意，所以存在定点P使得任意的m∈M，都有直线PA，PB的倾斜角互补，坐标为或．21.设（1）求函数的单调区间；（2）设，且是曲线上任意两点，若对任意的，直线的斜率大于常数，求实数的取值范围参考答案：解：（1）的定义域R，当时，在上恒成立，即的单调递增区间为R当时，令，解得

令，解得

所以，的单调递增区间是，单调递减区间是综上所述，当时，的单调递增区间为R当时，的单调递增区间是，单调递减区间是

略22.某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．（Ⅰ）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；（Ⅱ）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大参考答案：解：（I）∵蓄水池的侧面积的建造成本为200?πrh元，底面积成本为160πr2元，∴蓄水池的总建造成本为200?πrh+160πr2元，

即200?πrh+160πr2=1200π∴h=（300-4r2），

∴V（r）=πr2h=πr2?（300-4r2）=（300r-4r3）

又由r＞0，h＞0可得0＜r＜5，故函数V（r）的定义