2022年湖南省株洲市攸县皇图岭镇中学高三数学理联考试题含解析

2022年湖南省株洲市攸县皇图岭镇中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（

）A．

B．

C.2

D．4参考答案：A几何体如图，体积为选A.点睛：(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．2.已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图像如图，则A．函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点B．函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点C．函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点D．函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点参考答案：By′＝＝.3.定义域为R的函数f(x)满足，则不等式的解为A.

B.

C.(1,+∞)

D.(2,+∞)

参考答案：C4.设集合A={x|x＞1}，集合B={a+2}，若A∩B=?，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，1] C．[﹣1，+∞） D．[1，+∞）参考答案：A【考点】1E：交集及其运算．【分析】由A与B，以及两集合的交集为空集，确定出a的范围即可．【解答】解：∵A={x|x＞1}，集合B={a+2}，若A∩B=?，∴a+2≤1，即a≤﹣1，则实数a的范围为（﹣∞，﹣1]，故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．5.将函数的图象按向量平移后，得到函数的图象，则函数的解析式为（

）

参考答案：A6.设非零向量，满足，与的夹角为（）

A.60

B．90

C．120

D150参考答案：A略7.已知定义在R上的函数f（x），g（x）满足：①f（x）﹣ax?g（x）=0，②g（x）≠0，设数列的前n项和为Sn，则Sn的取值范围是(

)A． B． C． D．参考答案：B【考点】数列的求和．【专题】综合题；等差数列与等比数列．【分析】分别令x等于1和x等于﹣1代入①得到两个关系式，把两个关系式代入②得到关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，根据f′（x）?g（x）＜f（x）?g′（x）可知函数=ax是减函数，对求得的a进行取舍，求出数列{an}的通项公式，进而求得其前n项和Sn，即可求得结果．【解答】解：令x=1，由①得到f（1）=a?g（1）；令x=﹣1，f（﹣1）=，分别代入②得：a+=，化简得2a2﹣5a+2=0，即（2a﹣1）（a﹣2）=0，解得a=2或a=．∵f′（x）?g（x）＜f（x）?g′（x），∴＜0，∴=ax是减函数，故a=，∴an==，∴Sn=1﹣，∵0＜≤，∴≤1﹣＜1故选：B．【点评】此题考查学生会利用有理数指数幂公式化简求值，利用导数研究函数的单调性，等比数列求和等知识，综合性强，根据已知求出=ax的单调性是解题的关键，考查运算能力和应用知识分析解决问题的能力，属中档题．8.曲线在x=1处切线的倾斜角为（A）1

（B）

（C）

（D）参考答案：C略9.若复数是纯虚数，其中是虚数单位，则实数的值为 （A） （B） （C）

（D）参考答案：A略10.设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=，则g（﹣8）=（）A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3参考答案：A【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】根据题意，设x＜0，则有﹣x＞0，由函数的解析式可得f（x）=g（x），f（﹣x）=log（﹣x+1），又由函数f（x）的奇偶性，结合函数奇偶性的性质可得g（x）=﹣log（﹣x+1），计算g（﹣8）计算可得答案．【解答】解：根据题意，设x＜0，则有﹣x＞0，又由f（x）=，则有f（x）=g（x），f（﹣x）=log（﹣x+1），又由函数f（x）为奇函数，则有g（x）=﹣log（﹣x+1），故g（﹣8）=﹣log[﹣（﹣8）+1]=﹣2；故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.二项式（﹣）5的展开式中常数项为（用数字作答）参考答案：﹣10考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．解答：解：二项式（﹣）5的展开式的通项公式为Tr+1=?（﹣1）r?，令=0，求得r=3，可得展开式中常数项为﹣=﹣10，故答案为：﹣10．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．12.已知函数的图象为双曲线，在此双曲线的两支上分别取点，则线段PQ长的最小值为

参考答案：

13.（04年全国卷IV）向量、满足（－）·（2+）=－4，且||=2，||=4，则与夹角的余弦值等于

.参考答案：答案：

14.已知函数，关于x的方程有且只有一个实根，则实数a的范围是

．参考答案：(1，＋∞)15.我们把形如（）的函数因其图象类似于汉字“囧”字，故生动地称为“囧函数”，并把其与轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心凡是与“囧函数”有公共点的圆皆称为“囧圆”，则当，时，所有的“囧圆”中，面积的最小值为

.参考答案：考点：1、函数的图象和性质；2、圆的图象和性质.【方法点睛】本题通过新定义“囧函数”、“囧点”、“囧圆”主要考查函数的图象和性质、圆的图象和性质，属于难题.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题是命题都围绕“囧函数”、“囧点”、“囧圆”的基本定义命题，只要能正确理解“囧函数”、“囧点”、“囧圆”的基本定义，问题就能迎刃而解.16.把函数的图象向左平移个单位，所得曲线的一部分如图所示，则ω+φ=__________.参考答案：略17.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有

种（用数学作答）.参考答案：600三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=ax2+lnx﹣（a+1）x+a（a为常数）．（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间[1，+∞）的最小值为﹣1，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】计算题；分类讨论；导数的综合应用．【分析】（1）可确定函数f（x）的定义域为（0，+∞），求导f′（x）=2x+﹣3=，从而确定函数的单调区间；（2）求导f′（x）=，从而分类讨论以确定函数的单调性，从而求最值即可．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）=x2+lnx﹣3x+1，f′（x）=2x+﹣3=，当x＞1时，f′（x）＞0，当0＜x＜时，f′（x）＞0；当＜x＜1时，f′（x）＜0；故f（x）的单调减区间是（，1），单调增区间是（1，+∞）和（0，）；（2）f′（x）=，当a≥1时，f′（x）＞0，即f（x）在[1，+∞）上单调递增，所以f（x）≥f（1）=﹣1，当0＜a＜1时，f（x）在（1，）上单调递减，所以，当x∈（1，）时，f（x）≤f（1）=﹣1，不合题意，当a≤0时，f′（x）＜0，即f（x）在[1，+∞）上单调递减，所以f（x）≤f（1）=﹣1，不合题意，综上所述，实数a的取值范围是[1，+∞）．【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用．19.私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：年龄（岁）[15，25)[25，35)[35，45)[45，55)[55，65)[65，75]频数510151055赞成人数469634（Ⅰ）完成被调查人员的频率分布直方图；（Ⅱ）若从年龄在[15，25)，[25，35)的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查，求恰有2人不赞成的概率；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，再记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．

参考答案：（Ⅰ）各组的频率分别为所以图中各组的纵坐标分别是（Ⅱ）由表知年龄在[15，25)内的有5人，不赞成的有1人，年龄在[25，35)内的有10人，不赞成的有4人，恰有2人不赞成的概率为：……………7分（Ⅲ）的所有可能取值为：0,1,2,3……………6分 所以的分布列是：……………10分所以的数学期望． ………………12分20.设常数，，.（1）当时，若的最小值为0，求的值；（2）对于任意给定的正实数、，证明：存在实数，当时，.参考答案：（1），将代入得，由，得，且当时，，递减；时，，递增；故当时，取极小值，因此最小值为，令，解得.（2）因为，记，故只需证明：存在实数，当时，，，设，，则，易知当时，，故，又由，解得：，即，取，则当时，恒有，即当时，恒有成立.21.如图，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD，底面ABCD是矩形，，E是SA的中点．（1）求证：平面BED平面SAB；（2）求直线SA与平面BED所成角的大小．参考答案：解：（1）∵SD⊥平面ABCD，∴平面SAD⊥平面ABCD，∵AB⊥AD，∴AB⊥平面SAD，∴DE⊥AB．…………3分∵SD＝AD，E是SA的中点，∴DE⊥SA，∵AB∩SA＝A，∴DE⊥平面SAB∴平面BED⊥平面SAB．(若用向量法请参照给分)……6分（2）法一：作AF⊥BE，垂足为F．由（Ⅰ），平面BED⊥平面SAB，则AF⊥平面BED，则∠AEF是直线SA与平面BED所成的角．……………8分设AD＝2A，则AB＝A，SA＝2A，AE＝A，△ABE是等腰直角三角形，则AF＝A．在Rt△AFE中，sin∠AEF＝＝，故直线SA与平面BED所成角的大小45°．…………12分（2）法二：分别以DA,DC,DS为坐标轴建立坐标系D—xyz，不妨设AD＝2，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，，0)，C(0，，0)，S(0，0，2)，E(1，0，1)．＝(2，，0)，＝(1，0，1