2022-2023学年山西省太原市古交第十三中学高二数学理联考试题含解析

2022-2023学年山西省太原市古交第十三中学高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知是不重合直线，是不重合平面，则下列命题①若，则∥②若∥∥，则∥③若∥、∥，则∥④若，则∥⑤若，则∥为假命题的是A．①②③

B．①②⑤

C．③④⑤

D．①②④参考答案：D2.在2012年3月15日那天，武汉市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行了调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：价格x99.51010.511销售量y1110865通过散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线的方程是＝－3.2x＋a，则a＝()A．－24

B．35.6

C．40.5 D．40参考答案：D3.O是所在平面内的一点，且满足，则的形状一定为（

）A．正三角形

B．直角三角形

C．等腰三角形

D．斜三角形参考答案：C4.如图为一个求20个数的平均数的程序，在横线上应填充的语句为()A．i<＝20

B．i<20C．i>＝20

D．i>20参考答案：D略5.已知直线与圆交于A、B两点，则与共线的向量为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D6.如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3中点，D是EF与SG2的交点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，则在四面体G﹣SEF中必有（）A．SD⊥平面EFG B．SE⊥GF C．EF⊥平面SEG D．SE⊥SF参考答案：B【考点】直线与平面垂直的性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】根据题意，在折叠过程中，始终有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，即SG⊥GE，SG⊥GF，由线面垂直的判定定理，得SG⊥平面EFG，分析四个答案，即可给出正确的选择．【解答】解：在A中：设正方形的棱长为2a，则DG=a，SD=a，∵SG2≠DG2+SD2，∴SD与DG不垂直，∴SD不垂直于平面EFG，故A错误；在B中：∵在折叠过程中，始终有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，∴SG⊥GE，SG⊥GF，又∵EG⊥GF，SG∩EG=G，∴GF⊥平面SEG，∵SE?平面SGE，∴SE⊥GF，故B正确；在C中：△EFG中，∵EG⊥GF，∴EF不与GF垂直，∴EF不垂直于平面SEG，故C错误；在D中：由正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3中点，得∠ESF＜∠G1SG3=90°，∴SE与SF不垂直，故D错误．故选：B．【点评】线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．7.某班级要从4名男士、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为A．14

B．24

C．28

D．48

参考答案：A.法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，故不同的选派方案种数为．故选A.法二：从4男2女中选4人共有种选法，4名都是男生的选法有种，故至少有1名女生的选派方案种数为-=15-1=14．故选A8.为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（）A．150 B．180 C．200 D．280参考答案：A【考点】计数原理的应用．【分析】根据题意，分析可得人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3，分别计算两种情况下的情况数目，相加可得答案．【解答】解：人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3．若是1，1，3，则有C53×A33=60种，若是1，2，2，则有×A33=90种所以共有150种不同的方法．故选：A．【点评】本题考查排列、组合的运用，难点在于分组的情况的确定．9.已知椭圆的离心率为，动是其内接三角形，且．若AB的中点为D，D的轨迹E的离心率为，则（▲）

A．

B．

C．

D．参考答案：A略10.某班有50名学生，一次考试的成绩ξ（ξ∈N）服从正态分布N．已知P（90≤ξ≤100）=0.3，估计该班数学成绩在110分以上的人数为（）A．10 B．20 C．30 D．40参考答案：A【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据考试的成绩ξ服从正态分布N．得到考试的成绩ξ关于ξ=100对称，根据P（90≤ξ≤100）=0.3，得到P=0.3，从而得到P=0.2，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数．【解答】解：∵考试的成绩ξ服从正态分布N．∴考试的成绩ξ关于ξ=100对称，∵P（90≤ξ≤100）=0.3，∴P=0.3，∴P=0.2，∴该班数学成绩在110分以上的人数为0.2×50=10故选A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若命题P：?x∈R，x2﹣x+≤0，则￢p：．参考答案：?x∈R，x2﹣x+＞0【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是：?x∈R，x2﹣x+＞0，故答案为：?x∈R，x2﹣x+＞012.已知曲线C：（为参数），如果曲线C与直线有公共点，那么实数a的取值范围为

。参考答案：略13.已知二项分布ξ～，则该分布列的方差D值为_________.；参考答案：1略14.当x∈R时，一元二次不等式x2﹣kx+1＞0恒成立，则k的取值范围是．参考答案：﹣2＜k＜2【考点】二次函数的性质．【分析】由题意可得k2﹣4＜0，解不等式可求k的范围．【解答】解：∵x∈R时，一元二次不等式x2﹣kx+1＞0恒成立，∴k2﹣4＜0，∴﹣2＜k＜2，故答案为：﹣2＜k＜2．15.若的展开式中的系数是，则实数的值是

参考答案：216.已知圆的圆心与点关于直线对称，直线与圆相交于、两点，且，则圆的方程为

．参考答案：17.已知点M（1，2），N（3，2），点F是直线l：y=x﹣3上的一动点，当∠MFN最大时，过点M，N，F的圆的方程是．参考答案：（x﹣2）2+（y﹣1）2=2【考点】圆的标准方程．【分析】根据题意，设圆心坐标为C（2，a），当∠MFN最大时，过点M，N，F的圆与直线y=x﹣2相切，由此可确定出圆的标准方程．【解答】解：根据题意，设圆心坐标为C（2，a），当∠MFN最大时，过点M，N，F的圆与直线y=x﹣2相切．∴=，∴a=1或9，a=1时，r=，∠MCN=90°，∠MFN=45°，a=9时，r=5，∠MCN＜90°，∠MFN＜45°，则所求圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=2．故答案为（x﹣2）2+（y﹣1）2=2．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆的离心率是，且过点．（Ⅰ）求椭圆的方程．（Ⅱ）设椭圆与直线相交于不同的两点、，又点，当时，求实数的取值范围．参考答案：（）根据题意可知：，解得，，．∴所求椭圆的方程为．（）由，得，由于直线与椭圆有两个不同的交点，∴，即，①①当时，设弦的中点为，则：，，．又，∴，则有：，即，②将②代入①得，解得，由②得，解得．故所求的取值范围是．②当时，，∴，则，解得．综上所述，的取值范围是．19.设数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn=3n+3．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}，满足anbn=log3an，求{bn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和．【分析】（Ⅰ）利用2Sn=3n+3，可求得a1=3；当n＞1时，2Sn﹣1=3n﹣1+3，两式相减2an=2Sn﹣2Sn﹣1，可求得an=3n﹣1，从而可得{an}的通项公式；（Ⅱ）依题意，anbn=log3an，可得b1=，当n＞1时，bn=31﹣n?log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，于是可求得T1=b1=；当n＞1时，Tn=b1+b2+…+bn=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），利用错位相减法可求得{bn}的前n项和Tn．【解答】解：（Ⅰ）因为2Sn=3n+3，所以2a1=31+3=6，故a1=3，当n＞1时，2Sn﹣1=3n﹣1+3，此时，2an=2Sn﹣2Sn﹣1=3n﹣3n﹣1=2×3n﹣1，即an=3n﹣1，所以an=．（Ⅱ）因为anbn=log3an，所以b1=，当n＞1时，bn=31﹣n?log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，所以T1=b1=；当n＞1时，Tn=b1+b2+…+bn=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），所以3Tn=1+（1×30+2×3﹣1+3×3﹣2+…+（n﹣1）×32﹣n），两式相减得：2Tn=+（30+3﹣1+3﹣2+…+32﹣n﹣（n﹣1）×31﹣n）=+﹣（n﹣1）×31﹣n=﹣，所以Tn=﹣，经检验，n=1时也适合，综上可得Tn=﹣．20.（本小题满分12分）在中，内角所对的边分别为，．（1）确定角的大小；（2）若的角平分线交线段于，且，设.(ⅰ)试确定与的关系式；（ⅱ）记和的面积分别为、，问当取何值时，+的值最小，最小值是多少？

参考答案：(1)由正弦定理得

，

(2)ⅰ)

S△ABC=S△BCD+S△ABD=sin+sin

ⅱ)在中==

=x

=

同理=

+=）====

又

当且仅当时取等号

+=

又当时，为等腰三角形

在中，π/2,

，

当=2时，

+的值最小为21.已知命题：方程表示双曲线；命题：过点的直线与椭圆恒有公共点，若p与q中有且仅有一个为真命题，求的取值范围．参考答案：22.椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合,且截抛物线的准线所得弦长为,倾斜角为的直线过点.

（Ⅰ）求该椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆的另一个焦点为,问抛物线上是否存在一点,使得与关于直线对称,若存在,求出点的坐标,若不存在,说明理由.参考答案：解：（1）抛物线的焦点为,准线方程为,……………2分

∴

①