2021年四川省眉山市太和中学高三数学理期末试卷含解析

2021年四川省眉山市太和中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若x，y满足不等式组，且y+x的最大值为2，则实数m的值为（）A．﹣2 B． C．1 D．参考答案：D【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可得到结论．【解答】解：∵y+x的最大值为2，∴此时满足y+x=2，作出不等式组对应的平面区域如图：则由，解得，即A（1，），同时A也在直线y=mx上，则m=，故选：D【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．2.已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设，则的大小关系是（）A．

B．

C．

D．参考答案：B3.已知集合A=，若,则实数a的取值范围是

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：【知识点】解不等式；集合关系及运算.

A1

E3【答案解析】C

解析：因为A=，所以B时成立，此时；时，即时，要使，需使，即，综上得实数a的取值范围是，所以选C.【思路点拨】先由已知求得集合A，再由知需要讨论与两种情况.4.函数（其中）的图象不可能是参考答案：C5.已知等差数列的前项和为，又知，且，，则为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C考点：定积分，等差数列的性质6.函数f（x）=sinx－lgx的零点有个数为（

）

A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：C略7.南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就独立创造了已知三角形三边求其面积的公式：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减之，以四约之，为实，一为从隅，开方得积.”（即：，），并举例“问沙田一段，有三斜（边），其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，欲知为田几何？”则该三角形田面积为（

）A．84平方里

B．108平方里

C．126平方里

D．254平方里参考答案：A根据题意，，代入计算可得S=84.故选A.8.函数的图像经过四个象限，则实数a的取值范围是

(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D略9.已知等比数列的首项为，是其前项的和，某同学经计算得，,后来该同学发现了其中一个数算错了，则该数为（

）A．

B．

C．

D．无法确定参考答案：B10.设直线x=t与函数f(x)=x2，g(x)=lnx的图像分别交于点M、N，则当|MN|达到最小时的t的值为（

）A．1B．

C．

D．参考答案：【知识点】利用导数求两函数图像上横坐标相同的点间的距离.

B11

B3【答案解析】D

解析：设，则由得，可以判断时取得最小值，所以所以选D.【思路点拨】本题实质是求两函数图像上，横坐标相同的两点间距离最小时的点的横坐标，因为函数图像在函数的图像的上方，所以只需求取最小值时的x值.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，在△ABC中，=，E是BD上的一点，若，则实数m的值为

参考答案：12.不等式组表示的平面区域为，直线与区域有公共点，则实数的取值范围为_________.参考答案：做出不等式组对应的区域为三角形BCD，直线过定点，由图象可知要使直线与区域有公共点，则有直线的斜率，由得，即。又，所以，即。13.甲、乙两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次不同视为不同情形）共有（

）A．10种

B．15种

C．20种

D．30种参考答案：C略14.若一个正方形的四个顶点都在双曲线上，且其一边经过的焦点，则双曲线的离心率是

参考答案：15.把一个四面标有1，2，3，4的正四面体随机地抛掷两次，则其中一个向下点数是另一个向下点数的两倍的概率是______.参考答案：16.设函数则c=．参考答案：考点：微积分基本定理．3794729专题：导数的综合应用．分析：利用微积分基本定理即可求出．解答：解：由，∴=1，∴，解得．故答案为．点评：熟练掌握微积分基本定理是解题的关键．17.右图是一个算法流程图，则输出的k的值是__

参考答案：6三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方每年向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入．乙方在不赔付甲方的情况下，乙方的年利润（元）与年产量（吨）满足函数关系．若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方元（以下称为赔付价格）．（Ⅰ）将乙方的年利润w(元）表示为年产量（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；（Ⅱ）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格是多少？参考答案：解（Ⅰ）乙方的实际年利润为：

．

(5分)，当时，取得最大值．

所以乙方取得最大年利润的年产量(吨)．…8分（Ⅱ）设甲方净收入为元，则．将代入上式，得：．

(5分)又令，得．当时，；当时，，所以时，取得最大值．因此甲方向乙方要求赔付价格(元／吨)时，获最大净收入．(8分)略19.设函数f（x）=ex+ax+b点（0，f（0））处的切线方程为x+y+1=0．（Ⅰ）求a，b值，并求f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：当x≥0时，f（x）＞x2﹣4．参考答案：考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义以及切线方程建立方程关系即可求a，b值以及f（x）的单调区间；（Ⅱ）构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值关系即可证明不等式．解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=ex+a，由已知，f′（0）=﹣1，f（0）=﹣1，故a=﹣2，b=﹣2，f′（x）=ex﹣2，当x∈（﹣∞，ln2）时，f′（x）＜0，当x∈（ln2，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（﹣∞，ln2）单调递减，在（ln2，+∞）单调递增；…（Ⅱ）设g（x）=f（x）﹣（x2﹣4）=ex﹣x2﹣2x+2，g′（x）=ex﹣2x﹣2=f（x）在（ln2，+∞）单调递减，在（ln2，+∞）单调递增，因为g′（0）=﹣1＜0，g′（2）=e2﹣4＞0，0＜ln2＜2，所以g′（x）在[0，+∞）只有一个零点x0，且x0∈（0，2），=2x0+2，当x∈[0，x0）时，g′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0，即g（x）在[0，x0）调递减，在（x0，+∞）时，单调递增，当x≥0时，g（x）≥g（x0）==4﹣＞0，即f（x）＞x2﹣4，…点评：本题主要考查导数的几何意义以及函数单调性的应用，综合考查导数的应用，运算量较大，综合性较强．20.（本小题满分12分）学生的数学学习水平按成绩可分成8个等级，等级系数X依次为1，2，…，8，其中为标准A，为标准B.已知甲学校执行标准A考评学生，学生平均用于数学的学习时间为3.5小时/天；乙学校执行标准B考评学生，学生平均用于数学的学习时间为2.5小时/天.假定甲、乙两学校都符合相应的执行标准.（Ⅰ）已知甲学校学生的数学学习水平的等级系数X1的概率分布列如下所示：X15678P0.4ab0.1且X1的数学期望EX1=6，求a、b的值；（Ⅱ）为分析乙学校学生的数学学习水平的等级系数X2，从该校随机选取了30名学生，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：

3

5

3

3

8

5

5

6

3

46

3

4

7

5

3

4

8

5

38

3

4

3

4

4

7

5

6

7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望；（Ⅲ）在（Ⅰ）、（Ⅱ）的条件下，哪个学校的数学学习效率更高？说明理由.(注：)参考答案：=21.已知x，yR，且|x＋y|≤，|x－y|≤，求证：|x＋5y|≤1．参考答案：22.对于无穷数列{an}，{bn}，若，，则称{bn}是{an}的“收缩数列”.其中，分别表示中的最大数和最小数.已知{an}为无穷数列，其前n项和为Sn，数列{bn}是{an}的“收缩数列”.（1）若，求{bn}的前n项和；（2）证明：{bn}的“收缩数列”仍是{bn}；（3）若且，，求所有满足该条件的{an}.参考答案：（1）；（2）详见解析；（3），.【分析】（1）根据可得为递增数列，从而可得，利用等差数列求和公式可得结果；（2）可证得，即，则可知，可证得结论；（3）令猜想可得，，整理可知此数列满足题意；利用反证法可证得不存在数列不满足，的符合题设条件，从而可得结论.【详解】（1）由可得递增数列由通项公式可知为等差数列的前项和为：（2），又的“收缩数列”仍是（3）由可得：当时，；当时，，即，所以；当时，，即（*），若，则，所以由（*）可得，与矛盾；若，则，所以由（*）可得所以与同号，这与矛盾；若，则，由（*）可得.猜想：满足的数列是：，经验证，左式右式下面证明其它数列都不满足（3）的题设条件由上述时的情况可知，时，，