2022年上海市兴塔中学高二数学理下学期期末试卷含解析

2022年上海市兴塔中学高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知双曲线的右焦点为F,若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此直线的斜率的取值范围是 （） A.

B.

C. D.参考答案：A2.已知函数f（x）=x3+x﹣1，则在下列区间中，f（x）一定有零点的是（）A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（﹣2，﹣1） D．（1，2）参考答案：B【考点】函数零点的判定定理．【分析】判断函数的单调性，利用端点的函数值的符号，结合零点判定定理推出结果即可．【解答】解：函数f（x）=x3+x﹣1，是连续增函数，并且f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0，∴f（0）?f（1）＜0，由函数的零点判定定理可知，函数的零点存在（0，1）区间内．故选：B．3.下列函数中，满足“f（mn）=f（m）+f（n）”的函数是（）A．f（x）=x B．f（x）=x2 C．f（x）=2x D．f（x）=lgx参考答案：D【考点】函数的值．【分析】根据对数函数的性质判断即可．【解答】解：∵lgmn=lgm+lgn，∴满足“f（mn）=f（m）+f（n）”，故选：D．4.过双曲线的右焦点F作圆的切线FM（切点为M），交y轴于点P.若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率是（

）A.2 B. C. D.参考答案：B【分析】在中，为线段的中点，又，得到等腰三角形，利用边的关系得到离心率.【详解】在中，为线段的中点，又，则为等腰直角三角形.故答案选B【点睛】本题考查了双曲线的离心率，属于常考题型.5.下列关于课本上独立性检验中的说法中正确的是A．越大，“变量A，B有关联”的可信度越小.B．越大，“变量A，B无关”的可信度越大.C．越小，“变量A，B有关联”的可信度越小.D．越小，“变量A，B无关”的可信度越小.参考答案：C略6.下列程序执行后输出的结果是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2参考答案：B【考点】伪代码．【分析】该程序是一个当型循环结构．第一步：s=0+5=5，n=5﹣1=4；第二步：s=5+4=9，n=4﹣1=3；第三步：s=9+3=12，n=3﹣1=2；第四步：s=12+2=14，n=2﹣1=1；第五步：s=14+1=15，n=1﹣1=0．【解答】解：该程序是一个当型循环结构．第一步：s=0+5=5，n=5﹣1=4；第二步：s=5+4=9，n=4﹣1=3；第三步：s=9+3=12，n=3﹣1=2；第四步：s=12+2=14，n=2﹣1=1；第五步：s=14+1=15，n=1﹣1=0．∵s=15，∴结束循环．∴n=0．故选B；7.长轴在x轴上，短半轴长为1，两准线之间的距离最近的椭圆的标准方程是(

)A．

B．C．

D．参考答案：A略8.过点且与原点距离最大的直线方程是（

）A.

B.C.

D.参考答案：A略9.已知i为虚数单位，，则a+b等于

A.-1

B．1

C．-3

D.3参考答案：B10.过点（－3，2）且与=1有相同焦点的椭圆的方程是（

）A.=1

B.=1

C.=1

D.=1参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若关于的不等式成立的一个充分非必要条件是“”，则实数的取值范围是

.参考答案：12.已知数列中，若某三角形三边之比恰为，则该三角形最大角的度数为

．参考答案：120°

13.在△ABC中，D在边AB上，CD平分，若，，且，则AB=________，△ABC的面积为_________．参考答案：

【分析】设，则，由角平分线的性质可得，由余弦定理可解得，可得的值，由余弦定理可求，结合范围，可求，，利用三角形的面积公式即可求得．【详解】由题意，如图，设，则，由于，所以，由余弦定理可得：，即：，解得：，可得：，，．由于，又，可得：，，可得：．故答案为：，．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

14.已知椭圆+y2=1的左右焦点为F1，F2，P为椭圆椭圆上任一点，则|PF1|?|PF2|的最大值为．参考答案：4【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆方程求出椭圆的长半轴长和椭圆的离心率，由焦半径公式得到|PF1|，|PF2|，作积后由x的范围求得|PF1|?|PF2|的最大值．【解答】解：由椭圆+y2=1，得a=2，b=1，c=，∴e=，设P（x，y），由焦半径公式得|PF1|=2﹣x，|PF2|=2+x，∴|PF1|?|PF2|=（2﹣x）（2+x）=4﹣x2，∵x∈[﹣2，2]∴当x=0时，|PF1|?|PF2|的最大值是4．故答案为：4．15.将标号为的张卡片放入个不同的信封中，若每个信封放张，其中标号为的卡片放入同一信封，则有

▲

种不同的放法．（用数字作答）参考答案：18略16.由数字0,1,2,3组成一个没有重复数字，且不被10整除的四位数，则两个偶数不相邻的概率是

.参考答案：17.给出下列几种说法：①△ABC中，由可得；②△ABC中，若，则△ABC为锐角三角形；③若成等差数列，则；④若，则成等比数列.其中正确的有________________.参考答案：①③略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数（Ⅰ）若不等式的解集为R，求m的取值范围；（Ⅱ）若对于，恒成立，求m的取值范围.参考答案：（Ⅰ）由的解集为得：当时，恒成立，则；-------2分当时，，解得.综上所述得的取值范围为-------6分（Ⅱ）由条件得，，又在上恒成立，-------9分∵，∴

的取值范围是

------12分19.已知为椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点。（1）求的最大值；（2）若且的面积为，求的值；参考答案：（1）（当且仅当时取等号），

（2），

①又

②由①②得20.已知函数F（x）=ex﹣1，G（x）=ax2+bx，其中a，b∈R，e是自然对数的底数．（1）当a=0时，y=G（x）为曲线y=F（x）的切线，求b的值；（2）若f（x）=F（x）﹣G（x），f（1）=0，且函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求实数a的取值范围．参考答案：考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（1）先求出函数F（x）的导数，得到关于b的方程，解出即可；（2）通过讨论a的范围，判断函数的单调性，求出函数是最值，结合函数的零点问题，从而求出a的范围．解答： 解：（1）当a=0时，G（x）=bx，∴F′（x）=ex=bx，问题转化为函数y=ex和y=bx有交点，b＜0时，显然有交点，b＞0时，得：b≥e，故b＜0或b≥e；（2）由f（1）=0?e﹣a﹣b﹣1=0??b=e﹣a﹣1，又f（0）=0，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，因为f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，所以g（x）=f′（x）=ex﹣2ax﹣b，又g′（x）=ex﹣2a，因为x∈，1≤ex≤e，∴①若a≤，则2a≤1，g′（x）=ex﹣2a≥0，所以函数g（x）在区间上单增，②若a≥，则2a≥e，g′（x）=ex﹣2a≤0，所以函数g（x）在区间上单减，于是，当a≤或a≥时，函数g（x）即f′（x）在区间上单调，不可能满足“函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间”这一要求．③若＜a＜，则1＜2a＜e，于是当0＜x＜ln（2a）时：g′（x）=ex﹣2a＜0，当ln（2a）＜x＜1时g′（x）=ex﹣2a＞0，所以函数g（x）在区间上单调递减，在区间（ln（2a），1]上单调递增，则g（x）min=2a﹣2aln（2a）﹣b=3a﹣2aln（2a）﹣e﹣1，令h（x）=x﹣xlnx﹣e﹣1（1＜x＜e），则h′（x）=﹣lnx，由h′（x）=﹣lnx＞0可得：x＜，所以h（x）在区间（1，）上单调递增，在区间（，e）上单调递减，所以h（x）max=h（）=﹣ln﹣e﹣1＜0，即g（x）min＜0恒成立．于是，函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间等价于：即：，又因为＜a＜，所以：e﹣2＜a＜1．综上所述，实数a的取值范围为（e﹣2，1）．点评：本题考查了函数的单调性、最值问题，函数的零点问题，考查导数的应用，分类讨论思想，第二问难度较大，讨论a时容易出错．21.汽车前灯反射镜曲面设计为抛物曲面（即由抛物绕其轴线旋转一周而成的曲面）．其设计的光学原理是：由放置在焦点处的点光源发射的光线经抛物镜面反射，光线均沿与轴线平行方向路径反射，而抛物镜曲面的每个反射点的反射镜面就是曲面（线）在该点处的切面（线）．定义：经光滑曲线上一点，且与曲线在该点处切线垂直的直线称为曲线在该点处的法线．设计一款汽车前灯，已知灯口直径为，灯深（如图）．设抛物镜面的一个轴截面为抛物线，以该抛物线顶点为原点，以其对称轴为轴建立平面直角坐标系（如图）．抛物线上点到焦点距离为，且在轴上方．研究以下问题：求抛物线在点处法线方程．参考答案：见解析．解：设抛物线在点处的切线方程为：，则由，消去得：，，即，解得，∴抛物线在点处法线的斜率为，故抛物线在点处法线的方程为，即．22.一个社会调查机构为了解某社区居民的月收入情况，从该社区成人居民中抽取10000人进行调查，根据所得信息制作了如图所示的样本频率分布直方图．（Ⅰ）为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，试求其中月收入在[2000，2500）(2000元至2500元之间)的人数；（Ⅱ）为了估计从该社区任意抽取的3个居民中恰有2人月收入在[2000，3000）的概率，特设计如下随机模拟的方法：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，依次用0，1，2，3，…9的前若干个数字表示月收入在[2000，3000）的居民，剩余的数字表示月收入不在[2000，3000）的居民；再以每三个随机数为一组，代表收入的情况．假设用上述随机模拟方法已产生了表中的20组随机数，请根据这批随机数估计概率的值．907

966

191

925

271

932

812

458

569

683

431

257

393

027

556

488

730

113

537

989（Ⅲ）任意抽取该社区的5位居民，用表示月收入在[2000，3000）（元）的人数，求的数学期望与方差．参考答案：解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，月收入在[2000，2500）的频率为0．0002×500=0．1，所以应抽取的人数为0．1×100=10人…………3分（Ⅱ）由频率分布直方图可知，月收入在[2000，3000）的频率为0．0002×500＋0．0006×500=0．4…………5分所以可以用数字0，1，2，3表示收入在[2000，3000）的居