学风朋辈2017年高等数学下册期中复习

知识网 基础知识要 掌握隐函数的求导....................................................................会求多元函数的方向导数与梯 掌握多元函数微分法在几何上的应 会求二元函数的极 例题分 多元函数的概 二元函数极限的概念与求 多元复合函数的一阶、二阶偏导 二重积 在直角坐标系下化二重积分为二次积 交换积分次 利用极坐标系计算二重积 二重积分的计算规 三重积分的计 在直角坐标系下计算三重积 曲线积 第一类曲线积 第二类曲线积 Green......................................................................................曲面积 第一类曲面积 多元函数概 多元函数极限全微分存在必要条偏导数与高阶偏导数（复合函数求导F(xy0yf(x)dy Fz 方程F(x,y,z)=0可确定函数z=f(x,y)，且∂z=−Fx, Fz F(x,y,u,v)= u=u(x, J=∂(F,G)

FvG(x,y,u,v)= v=v(x, 1∂(F, 1∂(F, 1∂(F,G) 1∂(F,∂x= ∂(x,v),∂y=−J∂(y,v),∂x= ∂(u,x),∂y=−J∂(u,F(x,y,z)G(x,y,z)=

y=z=二元函数z=f(xy在点P(x0y0处沿射线l方向的方向导数：f=fx(x0fy(x0y0sinα(αxl的转角)梯度gradf(x0,y0)=fx(x0,y0)⃗i+fy(x0,y0)⃗j梯度向量的方向为点P(x0,y0)处方向导数取得最大值的方向，且∂f |gradf(x0,y0)|

f2(x0,y0)+f2(x0,y0) 空间曲线x=φ(t),y=ψ(t),z=ω(t)在点M(x0,y0,z0)处的切线方程(其中Mt0x−x0=y−y0=z−z0，法平面方程：φ′(t0)(x−x0)+ψ′ 曲面F(x,y,z)=0在点M(x0,y0,z0)处的切平面方程：Fx(x0,y0,z0)(x−x0)+Fy(x0,y0,z0)(y−y0)+Fz(x0,y0,z0)(z−z0)=0法线方程x−x0=y−y0 z—z0fx(x,y)= fy(x,y)=fxx,fxy,

f(x,y)

AC−B2已知f(x,y)的表达式，求f[φ(x,y),ψ(x,y)]或已知f[φ(x,y),ψ(x,y)]f(x,y)对前者，方法为将函数表达式中x,y的位置依次用φ(x,y),ψ(x,y)代替。u=φ(xy)v=ψ(x,y),解出x=x(uv)v=y(uv),f[φ(x,y),ψ(x,y)]1.3.1已知f(xyxy)=x2y2φ(xy)且f(x0)=x求出f(x的表达式解：∵f(xyx−y)=(xy)(x−yφ(x∴f(x,y)=xy+∵f(x,0)=x∴φ(x)=∴f(x,y)=x(y+ 例1.3.2证明 |x|=0不存x→∞y→∞证 令y=x√ 3x+√

|=|x||→0(当x→∞ |=

|x|=x→∞3x+又令y=−3x

1

=

|x|=x→∞3x+2(−3x+

√

故 =0不存x→∞3x+1.3.3求

xx

1解∵x+y≥2x|y|∴0≤x4+y2 2x2|y|= ∵lim1√|y|=x→0∴原极限为1.3.4f(xy

y

1−ysin— — y,x>0y> g(x)=limy→+∞f(x,limx→0+

1−g(x) limf(x,y) lim — 1

y→+∞1+11−sin 1

1−=

–

− yy→+∞1+ y lim 1− 通分 arctanx−x+x

g(x)

x

arctanx

lim arctanx—x+πx2lim

12−1+

=

−x+2πx(1+x)=注意求多元复合函数的偏导数用的是链式法则用该法则时首先要分清诸多变量之间的复合关系,辅之以复合结构图1.3.5z=eusinvu=xyv=x+y,∂z ∂x =eusinv·y+eucosv·1=e(xy)[ysin(x+y)+cos(x ∂z=∂z·∂u+∂z·∂v=eusinv·x+eucosv·1=e(xy)[xsin(x+y)+cos(x+ 1.3.6设有连续的一阶导∫u=f(xyz),又有函数y=y(x及z=z(x)e(xy)xy=2ex

x−zsintdt,求0解 y

ex(x− dx=fx−xfy+[1−sin(x−积分区域为：axbφ1(x≤yφ2(x其中函数φ1(x)φ2(x图 X积分区域为：c≤y≤dφ1(y)≤x≤varphi2(yφ1(y)φ2(y注意特殊地，D为矩形区域：a≤x≤bc≤y≤

f(x,y)dσ

∫ f(x,y)dy

∫ f(x, Df(x,yf1(x)f2(x)· ∫b∫ ∫ ∫f1(x)f2(y)dxdyD

f1(x)f2(y)dy)dx

a

a

D(x2y)dxdyDyx2xy2图 Y方法一:y∫∫

x∫ ∫x

2∫ 2(x2+y)dxdyD

x2+ydy

0

x—x

(x−x4)dx2

方法二:xy ∫ (x2+y)dxdy

√y(x2+y)dx=y

将已给的二次积分的积分限得出相应的二重积分的积分区域，并画出草图

积√ 2.1.2

f(xy)dy(a>0)解：由y

2ax⇒x 0

y2,y 2ax−x2⇒x=a a2−0≤y≤a区域,xx

y2穿入,从左半圆弧x √ 2穿出，然后又从右半圆a a−a a−x=a a2−y2穿入,x=2a穿出.a≤y≤2a区域,x轴的直线,该直线从抛物线穿入x=2a穿出∫ ∫√

∫ ∫

∫ ∫

∫

∫dx f(x,y)dy f(x,y)dx f(x,y)dx f(x,

∫ ∫

∫ ∫

∫

∫ f(x,y)dx f(x,y)dx

f(x,2y2 a+ 2.1.3计算二次积分:1dx1 分析:siny2yx的积分可用基本积分法算出,所以需要交换x次序.解:积分区域 如图所x≤y≤0≤y≤改写区域D0≤x≤∫1∫

siny2dx

0(siny2)x|ydy0

1∫ ∫=

1siny2dy2

1(1−cos2 注:f(xy)在考虑的区域上连续时,二次积分才可以交换积分次序!2∫ 2x sinx

cos

x e1x

等,一定要放在后面积分 熟练运 ：Df(x,y)dσ Df(ρcosθ,D:α6θ6β,φ1(θ6ρ6 fρcosθ,ρsinθ ∫βdθ∫φ2(θ) D(曲边扇形):α6θ6β，06 f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρdθ=∫βdθ∫φ(θ)f( D:06θ62π,06ρ6 f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρdθ=∫2πdθ∫φ(θ)f(ρcosθ, 2.1.4写出积分√{(x,y)|1−x6y6

f(x,y)dxdy的极坐标二次积分形式，其中积分区域1D−x2,06x6x=

y=

ρ1ρ

.. 自原点引一条射线穿过积分区 该射线从直线穿入从圆弧穿出则有 2ρ61，06θ62

1∫ 12f(x,y)dxdy D

1

f(ρcosθ,2.1.5计算

(xy)dxdy其中D为由圆xy2y,xy4yD Dx

3y=0,y

3x=0 x 3y=0⇒θ1= y 3x=0⇒θ2=x2y2=2y化为极坐标方程：ρ=2sinθx2y2=4yρ=4sinθπ6θ6π,2sinθ6ρ64sinθ6∫∫(x2+y2)dxdy

∫ 3

ρ2.ρdρ=15(

√ 6 6DD的草f(x2+y2),f(x2−y2),fy),f(arctany)或积分域为圆域, 域a≤x≤投影法：将积分区域Ω在XOY上投影得到闭区域 y1(x)≤x≤xyZ1(xy)≤z≤Z2(x,y)Ωa≤x≤y1(x)≤y≤y2(x)z1(x,y)≤a≤z2(x,y)在区间[c1,c2]中，用过(0,0,z)且平行于XOY面的平面的平面去截Ω得到截面Dz, 例2.2.1求曲面x2+y2+z2≤2a2与z x2+y2所围成的立体的体积解：Ω将x2+y2+z2=2a2化为极坐标方程rφ=4

2a，再将z x2+y2化为极坐标0≤θ≤0≤ϕ≤0≤r ∫∫∫V dxdydz

∫ ∫ 4∫ 4∫

r2sin=

∫ 0

3

dϕ

2−π3πf(x2+y2+z2)的形式时，用球坐标系计算三重积分更第一类曲线积分（对弧长的积分φ∫f(x,y)ds=∫bf(φ(t),ψ(t′2(t)ψ′2(t)φ 第二类曲线积分（对坐标的积分 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫b(P(φ(t),ψ(t)φ′(t)+Q(φ(t), 类曲线积分的关系通过三角关系来完成，(ds)2=(dx)2+(dy)2即可构成三角形，设夹角为θ就可得出两者转化关系。y=g(x)∫P(x,y)ds=∫bf(x,g(x ))1当曲线弧置于空间坐∫f(x,y)√f(x,y,f(x,y,z)ds bf(φ(t),ψ(t), φ′2(t)+ψ′2(t)+ 例3.1.1计算I L x+yds其中L为圆周x2+y2=a2,直线y=x及x∫

y=g(xx=g(y时类似LP(xy)dxQ(xy)dyβ(P(x,g(x))+Q(x,α(2)将曲线弧置于空间坐标系中，即f(x,y)→f(x,y,

ΓPdx+Qdy+Rdz∫β{P[φ(t),ψ(t∫),ω(t)]φ′(t)+Q[φ(t),ψ(t),ω(t)]ψ′(t)+R[φ(t),ψ(t),α3.1.2计算LxydxL为抛物线y2=xA(1,-1)B(1,1)的一段弧Green∫∫∂Q ++

D(

PdxQdy(LD的取正向的边界曲线L特殊应用：若∂Q=∂P,( 线也可以通过添加辅助线来简化计算当∂xQ=∫

LD内PdxQdyLHCPdx+Qdy=0,闭曲线C⊂DU(x,y)使du=Pdx=在D内， =

∂Q时,可得P(xy)dx+Q(xy)dyuduP(x,y)dx+Q(x,y)dy.(0,0)Hxdy−3.1.3

+

L连续闭曲线，LH3.1.44求I

(xy)dxxy)dy其中LA(-a，0 x2+y=ba2x2B(a0)(a>a √ f(x,y,z)dS

f[x,y,z(x,

1+z′2+z′2

ΣR(x,y,z)dxdy= DxyR[x,y,z(x,将ds投影于xOy平面，即将ds转化为dσds

1+z′2+z′2 而z则需转化为关于x，y的函数，从而将第一类曲面积分问题转化为二重积分问例3.2.1∫∫Σf(x,y,z)dS=∫∫Dyzf[x(y,z),y, ΣΣ

∫∫3zdS Σz=2(x2y2xOy见75—76见99D数的平面薄片D的体积。几何上，当f(x,y,z1时，dVV表示空间区域kf(x,y)d