连续型随机变量课件

连续型随机变量连续型随机变量连续型随机变量§2.3连续型随机变量定义设X是随机变量,若存在一个非负可积函数f(x),使得其中F(x)是它的分布函数则称X是连续型r.v.，f(x)是它的概率密度函数(p.d.f.)，简记为d.f.§2.3连续49分布函数与密度函数几何意义50注意:对于连续型r.v.X,P(X=a)=0其中a

是随机变量

X

的一个可能的取值命题

连续r.v.取任一常数的概率为零强调概率为0(1)的事件未必不发生(发生)事实上53对于连续型r.v.

Xbxf(x)a54xf(x)a55例1已知某型号电子管的使用寿命X为连续r.v.,其d.f.为(1)求常数c(3)

已知一设备装有3个这样的电子管,每个电子管能否正常工作相互独立,求在使用的最初1500小时只有一个损坏的概率.(2)

计算例156解(1)令c=1000(2)

57(3)设A

表示一个电子管的寿命小于1500小时设在使用的最初1500小时三个电子管中损坏的个数为Y58例2

设为使f(x)成为某r.v.

X在解

由

d.f.系数a,b,c必须且只需满足何条件？当有最小值上的59另外由当且仅当时得所以系数a,b,c必须且只需满足下列条件可省略60作业P83习题二1618习题61(1)均匀分布常见的连续性随机变量的分布若X的d.f.

为则称X

服从区间(a,b)上的均匀分布或称

X

服从参数为a,b的均匀分布.记作均匀分布62X

的分布函数为63xf(x)abxF(x)ba64即X落在(a,b)内任何长为

d–c的小区间的概率与小区间的位置无关,只与其长度成正比.这正是几何概型的情形.进行大量数值计算时,若在小数点后第k

位进行四舍五入,则产生的误差可以看作服从的r.v.随机变量应用场合65例3

秒表最小刻度值为0.01秒.若计时精度是取最近的刻度值,求使用该表计时产生的随机误差X的d.f.并计算误差的绝对值不超过0.004秒的概率.解

X等可能地取得区间所以上的任一值，则66(2)指数分布若X

的d.f.为则称X

服从

参数为的指数分布记作X

的分布函数为>0为常数指数分布671xF(x)0xf(x)068对于任意的0<a<b,应用场合用指数分布描述的实例有：随机服务系统中的服务时间电话问题中的通话时间无线电元件的寿命动物的寿命指数分布常作为各种“寿命”分布的近似69若X~Ｅ(),则故又把指数分布称为“永远年轻”的分布指数分布的“无记忆性”事实上命题年轻70解(1)例4

假定一大型设备在任何长为

t

的时间内发生故障的次数N(t)~(t),求相继两次故障的时间间隔T的概率分布;设备已正常运行８小时的情况下,再正常运行10小时的概率.例471即(2)由指数分布的“无记忆性”72(3)正态分布若X的d.f.为则称X服从参数为,2的正态分布记作X~N(,2)为常数，正态分布亦称高斯(Gauss)分布73N(-3,1.2)74f(x)的性质：图形关于直线x=

对称,即在x=

时,f(x)取得最大值在x=±

时,曲线

y=f(x)在对应的点处有拐点曲线

y=f(x)以x轴为渐近线曲线

y=f(x)的图形呈单峰状f(+x)=f(-x)性质7576

f(x)的两个参数：—位置参数即固定,对于不同的,对应的f(x)的形状不变化，只是位置不同—形状参数固定，对于不同的，f(x)的形状不同.若1<2则比x=2所对应的拐点更靠近直线x=附近值的概率更大.x=1所对应的拐点前者取77Show[fn1,fn3]大小几何意义大小与曲线陡峭程度成反比数据意义大小与数据分散程度成正比78正态变量的条件若r.v.

X①受众多相互独立的随机因素影响②每一因素的影响都是微小的③且这些正、负影响可以叠加则称X为正态r.v.79可用正态变量描述的实例极多：各种测量的误差；人体的生理特征；工厂产品的尺寸；农作物的收获量；海洋波浪的高度；金属线抗拉强度；热噪声电流强度；学生的考试成绩；80一种重要的正态分布是偶函数，分布函数记为标准正态其值有专门的表供查.——标准正态分布N(0,1)密度函数82-xx83对一般的正态分布：X~N(,2)其分布函数作变量代换84例5设X~N(1,4),求P(0X1.6)解P380附表3例585例6已知且P(2<X<4)=0.3,求P(X<0).解一例686解二图解法0.2由图0.387例

3原理设

X~N(,2),求解一次试验中,X落入区间(-3,+3)的概率为0.9974,而超出此区间可能性很小由3原理知，当3原理88标准正态分布的上分位数z设X~N(0,1),0<<1,称满足的点z

为X的上分位数

z常用数据89例7

设测量的误差X~N(7.5,100)(单位:米)问要进行多少次独立测量，才能使至少有一次误差的绝对值不超过10米的概率大于0.9?解例790设A

表示进行n次独立测量至少有一次误差的绝对值不超过10米n>3故至少要进行4次独立测量才能满足要求.91作业P84习题二2224

2627习题92X,

求其密度函数f(x).

ABCh.M

问题第6

周每周一题6在高为h

的ABC中任取一点M,点M到AB

的距离为随机变量X,

求其密度函数f(x).

问题ABCh.M93每周一题7第7

周

问题上海某年有9万名高中毕业生参加高考,结果有5.4万名被各类高校录取.考试满分为600分，540分以上有2025人,360分以下有13500人.试估计高校录取最低分.

94在高为h

的ABC中任取一点M,点M到AB

的距离为随机变量附录X,

如何求其密度函数

f(x)？

ABCh.M思考题附录9596谢谢！6