2023年高考数学强基计划模拟试卷含答案（八）

2023年高考数学强基计划模拟题(八)

(满分100分，测试时间：60分钟)

一、填空题(每小题10分)

1.函数y=高与y=sinx的图像共有个交点.

2.设71是正整数，方程|x|+|川W71共有组整数解(x,y).

3.己知映射/:{123,4,5}-{123,4,5}既是单射又是满射，并且满足/(x)+/(/(x))=6,

则f(1)=.

4.函数/'(%)=V2x2—2x+1—72x2+2%+5的取值范围是.

5.设^ABC是等边三角形,AD=|近,AE=-g而,直线BD交CE于点F,都=xAB+

yAC>则x+y=.

6.设正四棱锥P-4BCO的底面边长和高都是1,点E,F,G分别在线段PB,PC,P。上，

则ME|+\EF\+|FG|+|G-的最小值是____.

二、解答题(每小题20分)

7.对于任意的。,求32cos6。—cos60—6cos4。—15cos2。的值.

8求满足下列要求的无穷整数数列{斯}的个数，对于每个正整数n满足即#-1,a“+2=

.+2020

*1+1•

答案

1.【答案】63

解：作出草图，因为317T<100,32n•>100,所以交点个数为63.

2.【答案】2n2+2葭+1

解：1*1+|y|+|z|=n,非负解的个数为鬣+2

①团=0,\y\=0,1种x1；

②|x|=0,\y\H0,n种x2;

③|x|■0,\y\=0,n种x2;

④|x|*0)|y|*0,C„+2—2n—1种X4.

2

最终共有1+nx2+nx2+4(^+2-2n-1)=2n+2n+1种.

3.【答案】5

解：设/'(X。)=m,则m+f(m)=6,f(m)=6—m.令x=m,则f(m)+f(6—m)=6,

关于(3,3)对称,所以/(I)=5.

41答案”一2,

解：y=&小x—扔+:J(x+今2+勺,4(x,0),B(另)，C(一：,|).

利用几何意义，丫=或(|48|-|AC|),根据两边之差小于第三边，又注意到4,B,C三点共

线时可以取到-2,故

/⑸=一轨-4=4t

V2x2-2X+1+j2N+2x+5V2t2+6t+54-V2t2+2t+5

令t=-(x+1),考虑t>0的情况，显然t->+8时，原式最大值为VL

5.【答案】£

解：以A为原点建系，设出BC坐标，易得x+y=£.

6.【答案】V6

E1

二

如图所示，因为|P4|=\PB\=\PC\=\PD\=y,

2

所以cos4DPC=cos乙BPC=cos乙APB=cosZ,APD=

设|PF|=x,将4-PB-C打开，cos乙4PF=-",

所以(|4E|+|EF|)min=\AF\=.+会+|.

因为久>0,所以上式单调递增，在x=0时最小，

故尸点在P点时最小，从而2仍川=布.

7.【答案】解法1由三倍角公式cos3a=3cos3a—4cosa可得.

设2。=访利用三倍角公式进行化简，再利用三角函数的其他公式化简，可得

32cos6。—cos60—6cos48—15cos2。=10.

解法2(复数法)设z=cos。+isin。，:=cos。一isin。，则有

ii

Z4--=2COS0,(z+-)6=26cos6。.

因为

1111111

(Z+-)6=z6+C扛5勺)+C2Z4(_)2+C3Z3(_)3+^2(_)4+。滤勺)5+.)6

11

=z6+6z4+15z2+20++6y+()

=z6+(1)6+6,4+(i)4]+15[z2+(|)2]+20,

由z，+(i)6=2cos6。，6[z4+(i)4]=6x2cos46,15[z2+(^)2]=15x2cos26,

(z+>6=26cos6仇可得26cos6j=2cos66+12cos464-30cos28+20,所以

32cos6。-cos60—6cos4。—15cos2。=10.

8.【答案】由题意可得满足给定条件的第一个数列由前两项确定，因此只需要求整数数对,

满足所有的其他项均为整数.

由条件易知

=斯+20200(an+2an+1+an+2=an+2020,

71+2Qn+1+1l^n+l^n+an+l=^n-1+2020.

a

两式相减得(Qn+2一«n)(n+l+1)="n+1一%i-l.

由题意可知0n+1+1工0,故问题有如下两种情形：

aa

(1)若。3-=0,则由(an+2-口)(Qn+l+1)=n+l-Qn-1可得=。3=。5=…，2=

a

a4=6=

(2)若则Qn+2-QnW。，故

1

0<1即+2-Ml=I4匕等1Wl«n+l-«n-ll(n>2).①

即+1+1

所以可得|。3-%l21a4-a2l>a_a3|>…，即|an+2-anl是一个不增正整数数列，

故必从某一项开始为正整数常数.所以存在N和d,对于所有的九＞N,|%+2-an|=d,由式

①得1即+1+1|=1，故即£{0,-2}・

由定义，QN+4=端等'从而a…的值有如下情形:

0+2020

=2020,

0+1

0+2020

=-2020,

-2+1

-2+2020

-0+1-=2018,

-2+2020

=-2018,

-2+1

与ON+4€{0,-2}矛盾，故(2)不合题意，只有(1)满足条件.

2

将n=