2023高一数学配套课件

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一元二次函数与一元二次不等式4.2

一元二次不等式及其解法必备知识•探新知关键能力•攻重难课堂检测•固双基素养作业•提技能必备知识•探新知基础知识(2)

一元二次不等式的解集：使一元二次不等式

的所有成立知识点1

一元二次不等式(1)

定义：形如ax2

＋bx

＋c

＞0

，或ax2

＋bx

＋c

＜0

，或ax2

＋bx

＋c≥0，或ax2＋bx＋c≤0(其中x为未知数，a，b，c均为常数，且a≠0)的不等式叫作一元二次不等式．

未知数

的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集．思考

1：(1)不等式

x2

2

0

是一元二次不等式吗？＋x＞(2)一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省略吗？提示：(1)不是，一元二次不等式一定为整式不等式．(2)不可以，若a＝0，就不是二次不等式．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系知识点2思考2：如何用图解法解一元二次不等式？

提示：图解法解一元二次不等式的一般步骤：(1)将原不等式化为标准形式ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；(2)求Δ＝b2－4ac；(3)若Δ＜0，根据二次函数的图象直接写出解集；(4)若Δ≥0，求出对应方程的根，画出对应二次函数的图象，写出解集．基础自测1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)(1)mx2－5x＜0是一元二次不等式．(

×

)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R．

(

×

)设二次方程f(x)＝0的两解为x1，x2，且x1＜x2，则一元二次不等式f(x)＞0的解集不可能为{x|x1＜x＜x2}．

(

×

)

(4)

不等式ax2

＋

bx

＋

c≤0(a≠0)

或ax2

＋

bx

＋

c≥0(a≠0)

的解集为空集，则方程ax2＋bx＋c＝0无实根．

(

√

)[解析]

(1)当m＝0时，是一元一次不等式；当m≠0时，它是一元二次不等式．若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为∅．当二次项系数小于0时，不等式f(x)＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}．当Δ＜0时，一元二次不等式的解集为空集，此时方程无实根．2．不等式2x≤x2＋1的解集为

A．∅C．{x|x≠1}B．RD．{x|x＞1或x＜－1}[解析]

将不等式2x≤x2＋1化为x2－2x＋1≥0，∴(x－1)2≥0，∴解集为R，故选B．(

B

)3．不等式(2x－5)(x＋3)＜0的解集为．5{x|－3＜x＜2}[解析]将原不等式转化为x＋3＞0

或x＋3＜0

，

2x－5＜0

2x－5＞05∴－3＜x＜2．关键能力•攻重难题型探究题型一解一元二次不等式例

1

解下列不等式．(1)2x2－3x－2＞0；(2)－x2＋2x－3＜0；(3)－3x2＋5x－2＞0．[分析]

根据三个二次之间的关系求解即可．12[解析]

(1)因为

Δ＞0，方程

2x2－3x－2＝0

的根是

x1＝－2，x

＝2，

12所以不等式2x2－3x－2＞0

的解集为xx＜－或x＞2．(2)原不等式可化为x2－2x＋3＞0，由于Δ＜0，方程x2－2x＋3＝0

无解，

所以不等式－x2＋2x－3＜0

的解集为R．(3)原不等式可化为3x2－5x＋2＜0，由于Δ＞0，方程3x2－5x＋2＝0

的两根为x221＝3，x

＝1，

2

3所以不等式－3x2＋5x－2＞0

的解集为x

＜x＜1．[归纳提升]

解一元二次不等式的步骤对不等式变形，使不等号一端二次项系数大于0，另一端为0，即化为ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的形式．计算相应的判别式．当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根．根据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集．【对点练习】❶

不等式6x2＋x－2≤0的解集为．2

1{x|－3≤x≤2}[解析]

由于

Δ＞0，方程

6x2＋x－2＝0

的两根为

x121＝2，x2＝－3，

3所以原不等式的解集为x－≤x≤2

12．题型二三个“二次”的关系例

2

已知不等式ax2－bx＋2＜0的解集为{x|1＜x＜2}，求a，b的值．[分析]

给出了一元二次不等式的解集，则可知a的符号和方程ax2－bx＋2＝0的两根，由根与系数的关系可求a，b的值．[解析]

方法一：由题设条件知

a＞0，且

1，2

是方程

ax2－bx＋2＝0的两实根．由根与系数的关系，知b1＋2＝a，2a1×2＝

，解得a＝1，b＝3.方法二：把

x＝1，x

＝2

分别代入方程

ax2

－bx＋2＝0

中，

得4a－2b＋2＝0，解得a－b＋2＝0，

a＝1，b＝3.[归纳提升]

给出了一元二次不等式的解集，则可知

a

的符号和

ax2＋bx＋c＝0

的两实根，由根与系数的关系可知a，b，c

之间的关系．(1)如果不等式ax2＋bx＋c＞0

的解集为{x|d＜x＜e}，则说明a＜0，1

2x

＝d，x

＝e

分别为方程ax2＋bx＋c＝0

的两根，即d＋e＝－a，b

cd·e＝a；若解集为{x|x＜d

或x＞e}，则说明a＞0，x1＝d，x2＝e

分别为方程ax2＋bx＋c＝0

的两根，即

d＋e

b

d·e＝c．＝－a，

a(2)如果不等式ax2＋bx＋c＜0

的解集为{x|d＜x＜e}，则说明a＞0，1

2x

＝d，x

＝e

分别为方程ax2＋bx＋c＝0

的两根，即d＋e＝－a，b

cd·e＝a；若解集为{x|x＜d

或x＞e}，则说明a＜0，x1＝d，x2＝e

分别为方程ax2＋bx＋c＝0

的两根，即

d＋e

b

d·e＝c．＝－a，

a【对点练习】❷

若不等式ax2

＋

bx

＋

c≤0

的解集为{x|x≤－

3

或x≥4}，求不等式bx2＋2ax－c－3b≥0的解集．[解析]

因为不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－3或x≥4}，所以a＜0，且－3，4是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系可得，b－3＋4＝－a，ca－3×4＝

.即b＝－a，c＝－12a.所以不等式bx2＋2ax－c－3b≥0可化为－ax2＋2ax＋15a≥0，即x2－2x－15≥0，解得x≤－3或x≥5，故所求不等式的解集为{x|x≤－3或x≥5}．题型三解含有参数的一元二次不等式例

3

解关于x的不等式2x2＋ax＋2＞0．[分析]

二次项系数为2，Δ＝a2－16不是一个完全平方式，故不能确定根的个数，因此需对判别式Δ的符号进行讨论，确定根的个数．[解析]

对于方程

2x2＋ax＋2＝0，其判别式

Δ＝a2－16＝(a＋4)(a－4)．①当a＞4

或a＜－4

时，Δ＞0，方程2x2＋ax＋2＝0

的两根为x1＝4(1

－1a－

a2－16)，x2＝4(－a＋

a2－16)，∴原不等式的解集为{x|x

1

－a－＜4(a2－16)或x1＞4(－a＋

a2－16)}②当a＝4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝－1，∴原不等式的解集为{x|x≠－1}．③当a＝－4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝1，∴原不等式的解集为{x|x≠1}．④当－4＜a＜4时，Δ＜0，方程无实根，故原不等式的解集为R．[归纳提升]在解答含有参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到“不重不漏”，一般从如下三个方面进行考虑：关于不等式类型的讨论：二次项的系数a＞0，a＝0，a＜0．关于不等式对应方程的根的讨论：两根(Δ＞0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ＜0)．关于不等式对应方程的根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2．【对点练习】❸

解关于x的不等式ax2－x＞0．[解析]

(1)当

a＝0时不等式为－x＞0，所以

x＜0，11

1(2)当a≠0

时，方程ax2－x＝0

的两根为0

与a；①当a＞0时，a＞0，所以x＞a或x＜0；②当

a＜0

1

0

1

x＜0．时，a＜，所以a＜

1a综上，当a＞0，不等式的解集为xx＞或x＜0；当a＝0

时，不等式的解集为{x|x＜0}；

1

a当

a＜0

时，不等式的解集为x

＜x＜0．课堂检测•固双基1．求下列不等式的解集：

(1)(x＋2)(x－3)＞0；(2)3x2－7x≤10；(3)－x2＋4x－4＜0；(4)x2－x

1

0；＋4＜(5)－2x2＋x≤－3；(6)x2－3x＋4＞0．[解析]

(1)(x＋2)(x－3)＝0

的两根为

x1＝－2，x2＝3，所以原不等式的解集为{x|x＞3

或

x＜－2}．(2)原不等式等价于(x

＋1)(3x

－10)≤0

，所以原不等式的解集是

x－1≤x≤103．(3)原不等式等价于x2－4x＋4＞0，即(x－2)2＞0，所以原不等式的解集是{x|x≠2}．1(4)因为x2－x＋4＝(x－1

2≥0，所以原不等式的解集为∅．2)(5)原不等式等价于(x

＋1)(2x

－3)≥0

，所以原不等式的解集是

32xx≥或x≤－1．

3

274(6)因为x2－3x＋4＝x－2＋＞0，所以原不等式的解集为R．2．当自变量x在什么范围取值时，下列函数的值等于0？大于0？小于0?(1)y＝3x2－6x＋2；(2)y＝25－x2；(3)y＝x2＋6x＋10；(4)y＝－3x2＋12x－12．[解析](1)使

y＝3x2

－

6