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两类曲线积分习题课曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分格林公式曲线积分与路径无关1.定义：第一类曲线积分（又称对弧长的曲线积分）2.存在条件：3.推广一、基本内容第一类曲线积分的计算推广特殊情形几何与物理意义存在条件：第二类曲线积分（又称对坐标的曲线积分）推广性质

对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.第二类曲线积分的计算定理特殊情形格林公式2.它是Newton-Leibniz公式在二重积分情形下的推广.1.Green公式的实质：沟通了沿闭曲线的第二类曲线积分与该闭曲线所围的闭区域上的二重积分的之间的联系。定理设D是单连通域

,在D内具有一阶连续偏导数,(1)沿D中任意光滑闭曲线L,有(2)对D中任一分段光滑曲线

L,曲线积分(3)(4)在D内每一点都有与路径无关,只与起止点有关.

函数则以下四个条件等价:在D内是某一函数的全微分,即

曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分定义联系计算三代一定二代一定(与方向有关)与路径无关的四个等价命题条件等价命题在第一象限中所围图形的边界.⌒提示解⌒⌒例1二、例题故例2其中L是圆周解因积分曲线L关于被积函数x是L上被积函数因积分曲线L关于对称性,计算得是L上y轴对称,关于x的奇函数x轴对称,关于y的奇函数例3计算其中为球面解化为参数方程

例4

计算其中L为

解圆周:，方向沿逆时针.

另法：应用格林公式解例6问是否为全微分式?求其一个原函数.如是,解在全平面成立所以上式是全微分式.因而一个原函数是：全平面为单连通域，法一(x,y)这个原函数也可用下法“分组”凑出:法二因为函数u满足故从而所以,问是否为全微分式?求其一个原函数.如是,由此得y的待定函数法三解：练习题2.计算其中L为双纽线解:

在极坐标系下它在第一象限部分为利用对称性

,得思路:闭合非闭闭合非闭补充曲线或用公式解解

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