【北师大版3】分类加法原理和分布乘法原理 省赛获奖

§1分类加法计数原理和分步乘法计数原理第一课时分类加法计数原理和分步乘法计数原理

课堂互动讲练知能优化训练第一课时课前自主学案学习目标学习目标1.理解“完成一件事情”的含义．2．掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理．3．能正确区分“分类”和“分步”．课前自主学案1．所谓并集就是由所有属于集合A___属于集合B的元素所组成的集合；所谓交集就是由属于集合A___属于集合B的所有元素组成的集合．温故夯基或且2．并集中关键字眼为“或”，它包含三种情况：例如x∈A，或x∈B的含义为：(1)x∈A，但x∉B；(2)x∈B，但x∉A；(3)x∈A，且x∈B.交集中关键字眼为“且”，它只包含一种情况：例如x∈A，且x∈B.3．山东省高考数学题从题型上分有三类，分别是______、_______、__________．4．去学校餐厅刷卡吃饭，一般两步可完成，第一步点菜(饭)，第二步_______．选择题填空题解答题刷卡分类加法计数原理与分步乘法计数原理知新益能名称内容特点分类加法计数原理(加法原理)完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，…，在第n类办法中有mn种方法，那么，完成这件事共有N＝__________________种方法(1)完成一件事有若干种方法，这些方法可以分成n类；(2)用每一类中的每一种方法都可以完成这件事；(3)把各类的方法数____，就可以得到完成这件事的所有方法数m1＋m2＋…＋mn相加名称内容特点分步乘法计数原理(乘法原理)完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，…，做第n步有mn种方法，那么，完成这件事共有N＝_____________种方法(1)完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可；(2)完成每一步有若干种方法；(3)把各个步骤的方法数_____，就可以得到完成这件事的所有方法数m1·m2·…·mn相乘问题探究1．分类加法计数原理中的“各种方法”与“完成这件事”有什么关系？提示：分类加法计数原理中的各种方法都能独立完成这件事，与“其他方法”没关系．2．分步乘法计数原理中的“各步方法”与“完成这件事”有什么关系？提示：要完成这件事，“各步”中的方法必须依次都完成，步与步之间是连续的，相互依存．课堂互动讲练考点一分类加法计数原理的应用其特点是各类中的每一个方法都可以完成要做的事情，它强调的是每一类中的一个方法就可以完成要做的事情．考点突破 A校高二(3)班共分了三个学习小组，老师让同学们探讨某道数学题的解法．第一小组男同学给出了2种解法，女同学也给出了2种解法，第二小组男女同学分别给出了一种解法．第三小组共给出了3种解法，老师发现这些解法都不相同，问高二(3)班同学对这道数学题共给出了多少不同解法．【思路点拨】先按小组分类，再求每小组的方法，然后求和．例1【解】按小组分为三类：第一类：第一小组的解法2＋2＝4种，第二类：第二小组的解法1＋1＝2种，第三类：第三小组的解法3种，因为解法都不同，所以高二(3)班同学总解法为4＋2＋3＝9种．【名师点评】本题是用分类加法计数原理解答的．分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次分类时要注意满足一个基本要求，完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法．只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理．自我挑战1书架上层放15本不同的数学书，中层放16本不同的语文书，下层放14本不同的化学书，某人从中取出一本书，有多少种不同的取法？解：要完成“取一本书”这件事有三类不同的取法：第一类，从上层取一本数学书有15种不同的取法；第二类，从中层取一本语文书有16种不同的取法；第三类，从下层取一本化学书有14种不同的取法．其中任何一种取法都能独立完成“取一本书”这件事，故从中取一本书的方法种数为15＋16＋14＝45种．考点二分步乘法计数原理的应用例2 2011年春节期间，齐鲁电视台开展了“替你为父母送东西”的活动，在外地打工的小王要给家在农村的父母买一台冰箱和洗衣机，现有5种型号的冰箱和3种型号的洗衣机，那么小王共有多少种购买方案？【思路点拨】小王可分步进行购买，分别买冰箱和洗衣机．【解】小王可分两步完成：第一步，购买冰箱有5种方法；第二步，购买洗衣机有3种方法．因此共有5×3＝15种不同的购买方案．【名师点评】利用分步乘法计数原理计数的一般思路：首先将完成这件事的过程分步，然后再找出每一步中的方法有多少种，求其积．注意各步之间相互联系，都完成后，才能完成这件事．自我挑战2某工厂要从50名男职工代表和40名女职工代表中，各选一名去参观上海世博会，选取代表的方法有多少种？解：选取代表分两步完成；第一步：从50名男职工代表中选一名，有50种选法．第二步：从40名女职工代表中选一名，有40种选法．根据分步乘法计数原理共有50×40＝2000种选法．考点三两个原理的综合应用对于较复杂的问题，可以在分类方法中分步进行，或者在每步中分类．例3 在7名学生中，有3名会下像棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下像棋，另2名既会下像棋又会下围棋．现在从这7人中选2人同时分别参加像棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？【思路点拨】先由题意选择合理的分类标准，再针对每类问题选择不同的方法．【解】法一：选参加像棋比赛的学生有两种选法：在只会下像棋的3人中选或在既会下像棋又会下围棋的2人中选；选参加围棋比赛的学生也有两种选法：在只会下围棋的2人中选或在既会下像棋又会下围棋的2人中选．互相搭配，可得四类不同的选法．(1)从3名只会下像棋的学生中选1名参加像棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有选法3×2＝6(种)；(2)从3名只会下像棋的学生中选1名参加像棋比赛，同时从2名既会下像棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有选法3×2＝6(种)；(3)从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，同时从2名既会下像棋又会下围棋的学生中选1名参加像棋比赛有选法2×2＝4(种)；(4)从2名既会下像棋又会下围棋的学生中各选1名分别参加像棋比赛和围棋比赛有选法2×1＝2(种)．故不同的选法共有6＋6＋4＋2＝18(种)．法二：按“多面手”分．完成选择可分以下4类方法：(1)两个“多面手”都不参加：由分步乘法计数原理共有3×2＝6种选法；(2)有且仅有一个“多面手”参加像棋比赛：由分步乘法计数原理共有2×2＝4种选法；(3)有且仅有一个“多面手”参加围棋比赛：由分步乘法计数原理共有3×2＝6种选法；(4)两个“多面手”都参加比赛，又分两步：第一步：选一名“多面手”参加像棋比赛，有2种选法；第二步：另一名“多面手”参加围棋比赛，有1种选法．故共有2×1＝2种选法．再由分类加法计数原理，共有6＋4＋6＋2＝18种选法．【名师点评】这种“多面手”的题型，关键分清“多面手”可以“干什么”活．方法感悟1．如果完成一件事有两类方案，这两类方案彼此之间是相互独立的，无论哪一类方案中的哪一种方法都能单独完成这件事，求能完成这件事的方法种数就用分类加法计数原理．如例1.2．如果完成一件事需要分成多个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次