中考数学课件第14讲二次函数

2023/7/2412023/7/2412023/7/2422023/7/2422023/7/2432023/7/2432023/7/2442023/7/244

结合近几年中考试题分析，二次函数的内容考查主要有以下特点：

1.命题方式为二次函数解析式的确定,二次函数的图象与性质的应用,判定二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴方程,二次函数的实际应用,题型多样,涉及了选择题、填空题与解答题.2023/7/245结合近几年中考试题分析，二次函数的内容考查主要有以下2.命题的热点为二次函数解析式的求法、二次函数的实际应用，二次函数与一次函数、反比例函数的综合应用.2023/7/2462.命题的热点为二次函数解析式的求法、二次函数的实际1.二次函数的概念、图象与性质是学习本讲知识的依据,二次函数的实际应用及二次函数与一元二次方程的联系是考查的重点,因此,在复习过程中应重点掌握.2.二次函数的实际应用及与一元二次方程相融合的考查是中考热点之一,题目往往综合性较强且带有一定的技巧,在复习时应多加训练.3.在复习二次函数的有关知识时,要多和一次函数、反比例函数对比学习，找出它们之间的异同，提高复习效果.2023/7/2471.二次函数的概念、图象与性质是学习本讲知识的依据,2023/7/2482023/7/2482023/7/2492023/7/2492023/7/24102023/7/24102023/7/24112023/7/24112023/7/24122023/7/24122023/7/24132023/7/24132023/7/24142023/7/24142023/7/24152023/7/24152023/7/24162023/7/2416二次函数的图象与性质1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)可以通过配方得到:,其中抛物线的顶点为对称轴方程为直线2.已知一个二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，要求其图象关于x轴对称、y轴对称的函数解析式时,应先把原函数的解析式化成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,然后考虑所求图象的顶点坐标、开口方向.2023/7/2417二次函数的图象与性质1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠03.抛物线平移前后的形状不变,开口方向、大小不变,抛物线平移前后遵循“左加右减,上加下减”的规律.2023/7/24183.抛物线平移前后的形状不变,开口方向、大小不变,抛物线平移【例1】(2010·兰州中考)抛物线y=x2+bx+c图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y=x2-2x-3,则b、c的值为()(A)b=2,c=2(B)b=2,c=0(C)b=-2,c=-1(D)b=-3,c=2【思路点拨】根据已知条件求出平移后的顶点坐标，从而可以确定抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标，因此可以写出抛物线的顶点式，展开后可以确定b、c的值.2023/7/2419【例1】(2010·兰州中考)抛物线y=x2+bx+c图象向【自主解答】选B.利用公式法求出y=x2-2x-3的顶点坐标是(1，-4)，因此y=x2+bx+c的顶点坐标是(-1,-1)，即y=x2+bx+c的解析式为y=(x+1)2-1,即y=x2+2x,因此b=2,c=0.2023/7/2420【自主解答】选B.利用公式法求出y=x2-2x-3的顶点坐标1.(2010·安徽中考)若二次函数y=x2+bx+5配方后为y=(x-2)2+k，则b、k的值分别为()(A)0，5(B)0，1(C)-4，5(D)-4，1【解析】选D.y=(x-2)2+k=x2-4x+4+k=x2+bx+5,则b=-4，4+k=5.解得k=1.2023/7/24211.(2010·安徽中考)若二次函数y=x2+bx+5配方后2.(2010·西安中考)已知抛物线C：y=x2+3x-10,将抛物线C平移得到抛物线C′，若两条抛物线C、C′关于直线x=1对称.则下列平移方法中，正确的是()(A)将抛物线C向右平移个单位(B)将抛物线C向右平移3个单位(C)将抛物线C向右平移5个单位(D)将抛物线C向右平移6个单位2023/7/24222.(2010·西安中考)已知抛物线C：y=x2+3x-10【解析】选C.利用公式法可以求出抛物线C的对称轴为直线,它到直线x=1的距离是，因此，抛物线C与抛物线C′的距离为5，故应将抛物线C向右平移5个单位.2023/7/2423【解析】选C.利用公式法可以求出抛物线C的对称轴为直20233.(2011·凉山中考)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数与正比例函数y=bx在同一坐标系内的大致图象是()2023/7/24243.(2011·凉山中考)二次函数y=ax2+bx+c的图象【解析】选B.由二次函数图象可知，a<0,c>0,∴b<0.a<0,说明反比例函数图象在二、四象限，b<0，说明正比例函数图象经过二、四象限，所以选B.2023/7/2425【解析】选B.由二次函数图象可知，a<0,c>0,2023二次函数解析式的确定求二次函数解析式的一般思路:(1)当已知抛物线上任意三点时,通常设一般式y=ax2+bx+c;当已知抛物线的顶点坐标(h,k)和抛物线上的另一点时,通常设为顶点式:y=a(x-h)2+k;当已知抛物线与x轴的交点坐标(x1,0),(x2,0)时,通常设为双根式y=a(x-x1)(x-x2).(2)已知顶点坐标、对称轴、最大值或最小值，求二次函数的解析式时，一般用它的顶点式.(3)能用顶点式、双根式求解析式的题目,一定能用一般式求解,最后结果通常化为二次函数的一般式.2023/7/2426二次函数解析式的确定求二次函数解析式的一般思路:(1)当已知【例2】(2010·楚雄中考)已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于两点A(1，0)，B(3，0)，与y轴相交于点C(0，3).(1)求抛物线的函数关系式；(2)若点D(,m)是抛物线y=ax2+bx+c上一点，请求出m的值，并求出此时△ABD的面积.2023/7/2427【例2】(2010·楚雄中考)已知：如图，抛物线y=ax2+【思路点拨】(1)把A、B、C三点的坐标代入y=ax2+bx+c得三元一次方程组，解方程组得a、b、c的值,代入y=ax2+bx+c得抛物线的函数关系式.(2)把D(,m)代入(1)中求得的二次函数关系式求得m的值.根据三角形的面积等于底乘以高除以2求得△ABD的面积.2023/7/2428【思路点拨】(1)把A、B、C三点的坐标代入y=ax2+bx【自主解答】(1)由题意可知解得所以抛物线的函数关系式为y=x2-4x+3.(2)把D(,m)代入函数关系式y=x2-4x+3中，得所以2023/7/2429【自主解答】(1)由题意可知2023/7/24294.(2010·桂林中考)将抛物线y=2x2-12x+16绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是()(A)y=-2x2-12x+16(B)y=-2x2+12x-16(C)y=-2x2+12x-19(D)y=-2x2+12x-202023/7/24304.(2010·桂林中考)将抛物线y=2x2-12x+16绕【解析】选D.因为y=2x2-12x+16=2(x-3)2-2，所以绕它的顶点(3，-2)旋转180°后，所得抛物线的解析式为y=-2(x-3)2-2=-2x2+12x-20,故选D.2023/7/2431【解析】选D.因为y=2x2-12x+16=2(x-3)2-5.(2010·天津中考)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中自变量x和函数值y的部分对应值如下表：则该二次函数的解析式为_____.2023/7/24325.(2010·天津中考)已知二次函数y=ax2+bx+c(【解析】根据题意,得解得所以二次函数的解析式为y=x2+x-2.答案:y=x2+x-22023/7/2433【解析】根据题意,得解得2023/76.(2011·江津中考)已知双曲线与抛物线y=ax2+bx+c交于A(2，3)、B(m,2)、C(-3，n)三点.(1)求双曲线与抛物线的解析式；(2)在平面直角坐标系中描出点A、点B、点C，并求出△ABC的面积.2023/7/24346.(2011·江津中考)已知双曲线2023/7/2434【解析】(1)把点A(2，3)代入得:k=6，∴双曲线的解析式为把B(m,2)、C(-3,n)分别代入得m=3,n=-2.把A(2，3)、B(3，2)、C(-3，-2)分别代入y=ax2+bx+c得，解得：2023/7/2435【解析】(1)把点A(2，3)代入得:k=6，20∴抛物线的解析式为：(2)描点画图==5.2023/7/2436∴抛物线的解析式为：2023/7/2436二次函数的实际应用1.在解决二次函数的实际应用问题时,要认真理解题意,将实际问题转化为纯数学问题,运用所学数学知识进行解答,在解答过程中要考虑问题的合理性.2.对所求出问题的数学结果进行解释与检验,使其符合实际问题的要求.2023/7/2437二次函数的实际应用1.在解决二次函数的实际应用问题时,要认真3.二次函数的实际应用问题多数都与最大值、最小值有关,这就要求熟练掌握用配方法和公式法求二次函数最大值、最小值的方法,同时一定要注意自变量的取值范围.2023/7/24383.二次函数的实际应用问题多数都与最大值、最小值有关,这就【例3】(2010·青岛中考)某市政府大力扶持大学生创业.李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯.销售过程中发现，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看作一次函数：y=-10x+500.(1)设李明每月获得利润为w(元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？(2)如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？2023/7/2439【例3】(2010·青岛中考)某市政府大力扶持大学生创业.李(3)根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？(成本＝进价×销售量)【思路点拨】(1)首先根据每月的利润等于每件的利润与每月销售量的积列出w、x之间的函数关系式,利用公式法或配方法求出当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润;2023/7/2440(3)根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元(2)令(1)中w=2000得方程,解方程得结论;(3)求每月的最少成本,一种方法是根据成本＝进价×销售量列出成本与销售单价的函数关系式,由函数的增减性求解,另一种方法是在已知“当进价一定时，销售量越小，成本越小”,保证每月获得的利润不低于2000元的情况下,先求出每月销售量的最小值,从而求出李明每月成本最少值.2023/7/2441(2)令(1)中w=2000得方程,解方程得结论;2023【自主解答】(1)由题意，得w=(x-20)·y=(x-20)·(-10x+500)=-10x2+700x-10000x答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润.(2)由题意，得：-10x2+700x-10000=2000解这个方程得x1=30，x2=40.答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元.2023/7/2442【自主解答】(1)由题意，得w=(x-20)·y2023/(3)方法一：∵a=-10<0，∴抛物线开口向下.∴当30≤x≤40时，w≥2000.∵x≤32，∴当30≤x≤32时，w≥2000.设成本为P(元)，由题意，得：P=20(-10x+500)=-200x+100002023/7/2443(3)方法一：∵a=-10<0，2023/7/2443设k=-200∵k=-200<0，∴P随x的增大而减小.∴当x=32时，P最小＝3600.方法二：∵a=-10<0，∴抛物线开口向下.∴当30≤x≤40时，w≥2000.∵x≤32，∴30≤x≤32时，w≥2000.2023/7/2444设k=-2002023/7/2444∵y=-10x+500,k=-10<0,∴y随x的增大而减小.∴当x=32时，y最小＝180.∵当进价一定时，销售量越小，成本越小，∴20×180=3600(元).答：想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元.2023/7/2445∵y=-10x+500,2023/7/24457.(2010·甘肃中考)向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y=ax2+bx+c(a≠0).若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是()(A)第8秒(B)第10秒(C)第12秒(D)第15秒2023/7/24467.(2010·甘肃中考)向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度【解析】选B.因为炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等,所以抛物线的对称轴是直线x=10.5,又因为抛物线的开口向下，当a<0时,x越接近对称轴,y的值越大,所以当x=10时,炮弹所在高度最高.2023/7/2447【解析】选B.因为炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等,所以抛8.(2010·衢州中考)如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是()(A)(B)(C)(D)2023/7/24488.(2010·衢州中考)如图，四边形2023/7/2448【解析】选C.如图，作∠CAE=90°，作DE⊥AE于E，作DF⊥AC于F.可证得△ABC≌△ADE.四边形AEDF为矩形，设BC为m，则DE=AF=m，DF=AE=AC=4m，∴CF=3m，则(3m)2+(4m)2=x2,

梯形AEDC的面积=即2023/7/2449【解析】选C.如图，作∠CAE=90°，作DE⊥AE于E，作9.(2010·兰州中考)如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为_____米.2023/7/24509.(2010·兰州中考)如图，小明的父2023/7/245【解析】建立如图所示的坐标系，设抛物线的关系式为y=ax2+c，由题意可知，抛物线经过点(1，2.5)和(-0.5，1)，把它们分别代入关系式得，解方程组可得因此绳子的最低点距地面的距离为米.答案：

2023/7/2451【解析】建立如图所示的坐标系，2023/7/245110.(2011·无锡中考)张经理到老王的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：张经理的采购价y(元/吨)与采购量x(吨)之间函数关系的图象如图中的折线段ABC所示(不包含端点A，但包含端点C).(1)求y与x之间的函数关系式；(2)已知老王种植水果的成本是2800元/吨，那么张经理的采购量为多少时，老王在这次买卖中所获的利润w最大？最大利润是多少？2023/7/245210.(2011·无锡中考)张经理到老王2023/7/245【解析】(1)当0<x≤20时，y=8000;当20<x≤40时，设y=kx+b,则解得，所以y=-200x+12000.所以y与x之间的函数关系式为2023/7/2453【解析】(1)当0<x≤20时，y=8000;2023/7(2)当0<x≤20时，w=(8000-2800)x=5200x,此时当x=20时，获利最大，最大利润为：5200×20＝104000(元).当20<x≤40时，w=(y-2800)x=(-200x+12000-2800)x=-200x2+9200x,此时当时，获利最大，最大利润为：(元).综上所述：当采购量为23吨时所获利润最大，最大利润为105800元.2023/7/2454(2)当0<x≤20时，w=(8000-2800)x=52023/7/24552023/7/2455

二次函数与一次函数、反比例函数的综合问题【例】(2010·连云港中考)已知反比例函数的图象与二次函数y＝ax2＋x－1的图象相交于点(2，2).(1)求a和k的值；(2)反比例函数的图象是否经过二次函数图象的顶点，为什么？2023/7/2456二次函数与一次函数、反比例函数的综合问题2【错误解析】(1)因为反比例函数的图象与二次函数y＝ax2＋x－1的图象相交于点(2，2),所以2=4a+2-1,解之得所以k=4.(2)反比例函数的图象不经过二次函数图象的顶点，由(1)知,二次函数与反比例函数的关系式分别是和因为所以抛物线的顶点坐标为(-2，-5).2023/7/2457【错误解析】(1)因为反比例函数的图象与二次函数2因为当x=-2时,所以反比例函数的图象不经过二次函数图象的顶点.【纠错空间】(1)中解方程2=4a+2-1时,应为,不能(2)配方不正确,由抛物线的顶点式确定顶点坐标不正确,从而导致结论错误.2023/7/2458因为当x=-2时,所以反比例函数【正确解答】(1)因为二次函数y=ax2+x-1的图象与反比例函数的图象交于点(2，2)，所以2=4a+2-1,解之得

,所以k=4.(2)反比例函数的图象经过二次函数图象的顶点.由(1)知，二次函数和反比例函数的关系式分别是和2023/7/2459【正确解答】(1)因为二次函数y=ax2+x-1的图象与反比因为==所以二次函数图象的顶点坐标是(-2，-2)，因为x=-2时，所以反比例函数图象经过二次函数图象的顶点.2023/7/2460因为2023/7/24601.(2011·德州中考)已知函数y=(x-a)·(x-b)(其中a＞b)的图象如图所示，则函数y=ax+b的图象可能正确的是()2023/7/24611.(2011·德州中考)已知函数y=(x-a)·2023/【解析】选D.由二次函数y=(x-a)(x-b)的图象可知一元二次方程(x-a)(x-b)=0的解为x1=a,x2=b，则a=1,b＜-1.所以可以得到函数y=ax+b的图象与y轴的交点在点(0,-1)的下方，与x轴的交点在点(1,0)的右边，故选D.2023/7/2462【解析】选D.由二次函数y=(x-a)(x-b)的图象可知一2.(2010·日照中考)如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度12米时，球移动的水平距离为9米.已知山坡OA与水平方向OC的夹角为30°，O、A两点相距米.2023/7/24632.(2010·日照中考)如图，小明2023/7/2463(1)求出点A的坐标及直线OA的解析式；(2)求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；(3)判断小明这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞A点.2023/7/2464(1)求出点A的坐标及直线OA的解析式；2023/7/246【解析】(1)在Rt△ACO中,∵∠AOC=30°，∴AC=OA·sin30°=OC=OA·cos30°=∴点A的坐标为设OA的解析式为y=kx，把点的坐标代入得:∴OA的解析式为2023/7/2465【解析】(1)在Rt△ACO中,2023/7/2465(2)∵顶点B的坐标是(9，12),点O的坐标是(0，0)∴设抛物线的解析式为y=a(x-9)2+12,把点O的坐标代入得:0=a(0-9)2+12，解得∴抛物线的解析式为即(3)∵当x=12时，∴小明这一杆不能把高尔夫球从O点直接打入球洞A点.2023/7/2466(2)∵顶点B的坐标是(9，12),点O的坐标是(0，01.(2010·毕节中考)函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是()2023/7/24671.(2010·毕节中考)函数y=ax+b和y=ax2+bx【解析】选C.选项C中，根据直线经过一、三、四象限，可知a>0,b<0,根据抛物线的开口向上，可知a>0,又因为对称轴为正，故b<0.2023/7/2468【解析】选C.选项C中，根据直线经过一、三、四象限，可知a>2.(2010·福州中考)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是()(A)a>0(B)c<0(C)b2-4ac<0(D)a+b+c>02023/7/24692.(2010·福州中考)已知二次函数y=ax2+bx+c的【解析】选D.因为抛物线开口向下,所以a<0;因为抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上,所以c>0;因为抛物线与x轴有两个交点,所以b2-4ac>0;因为当x=1时,抛物线在x轴的上方,所以a+b+c>0,故D正确.2023/7/2470【解析】选D.因为抛物线开口向下,所以a<0;因为抛物线与y3.(2010·衢州中考)下列四个函数图象中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是()2023/7/24713.(2010·衢州中考)下列四个函数图象中，当x＞0时，y【解析】选C.选项A中y随x的增大而减小；选项B中在每一象限内y随x的增大而减小；选项D中在对称轴右侧的部分y随x的增大而增大，在对称轴左侧部分y随x的增大而减小.2023/7/2472【解析】选C.选项A中y随x的增大而减小；选项B中在每一象限4.(2010·金华中考)已知二次函数y=ax2＋bx-3的图象经过点A(2，-3)，B(-1，0).(1)求二次函数的解析式;(2)填空：要使该二次函数的图象与x轴只有一个交点,应把图象沿y轴向上平移_____个单位.2023/7/24734.(2010·金华中考)已知二次函数y=ax2＋bx-3的【解析】(1)由已知，有即解得∴所求的二次函数的解析式为y=x2-2x-3.(2)42023/7/2474【解析】(1)由已知，有即2025.(2010·宁波中考)如图，已知二次函数的图象经过A(2，0)、B(0，-6)两点.(1)求这个二次函数的解析式;(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积.2023/7/24755.(2010·宁波中考)如图，已知二次2023/7/247【解析】(1)把A(2，0)、B(0，-6)代入得：，解得∴这个二次函数的解析式