相似三角形的判定课件人教版数学九年级下册

人教版·数学·九年级（下）第27章相似图形27.2.1相似三角形的判定第4课时两角分别相等的两个三角形相似1.掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法。2.能够运用三角形相似的条件解决简单的问题。3.掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行相关计算与推理。学习目标

观察两副三角尺如图，其中同样角度（30°与60°，或45°与45°）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的．一般地，如果两个三角形有两组对应角相等，它们一定相似吗？导入新知作△ABC和△A'B'C'，使得∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，这时它们的第三个角满足∠C＝∠C'吗？分别度量这两个三角形的边长，计算，你有什么发现？满足：∠C=∠C'新知一两角分别相等的两个三角形相似这两个三角形是相似的合作探究

把你的结果与邻座的同学比较，你们的结论一样吗？△ABC和△A'B'C'相似吗？一样△ABC和△A'B'C'相似你能试着证明△A′B′C′∽△ABC吗？如图，已知△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A',∠B=∠B'，求证:△ABC∽△A'B'C'证明：在△ABC的边AB（或延长线）上，截取AD=A'B'，过点D作DE//BC，交AC于点E，则有△ADE∽△ABC∵∠ADE=∠B,∠B=∠B'∴∠ADE=∠B'又∵∠A=∠A'，AD=A'B'∴△ADE≌△A'B'C'∴△A'B'C'∽△ABCABCDEA'B'C'6．(阅读理解题)(宁波中考)若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做“比例三角形”．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.（1）当Rt△ABC∽Rt△ACD时，有AC:AD＝(1)求证：△ABD∽△CAD∽△CBA；典例精析1利用两角相等判断三角形相似求证：Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.4．(4分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使△ABC∽△DCA，那么还要补充的一个条件可以是_______________________________.如图，已知△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A',∠B=∠B'，∴.(1)求证：△BDE∽△CAD；典例精析2利用三角形相似求等积式∴.典例精析1直角三角形相似的判定若DF＝6，则线段EF的长为()∴当AB的长为3或时，这两个直角三角形相似．若DF＝6，则线段EF的长为()求证：△AFD∽△EAB.证明：设，则AB=kA′B′，AC=kA′C′.(只要求写出一个条件即可)∵∠A、∠D都是弧CB所对的圆周角如图，⊙O的弦AB，CD相交于点P，若PA=3，由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理：两角分别相等的两个三角形相似.∵∠A=∠A'，∠B=∠B'，∴△ABC∽△A'B'C'.符号语言：CABA'B'C'归纳：例1如图所示，在△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B′＝90°，∠A＝∠A′，判断这两个三角形是否相似．C'B'A'CBA解：∵∠B＝∠B′＝90°，∠A＝∠A′，∴△ABC∽△A′B′C′

典例精析1利用两角相等判断三角形相似ABDCACDACB

B

ADC1.如图，点D

在AB上，当∠

＝

(或∠

＝∠

)时，△ACD∽△ABC；

巩固新知例2弦AB和CD相交于⊙O内一点P,求证:PA·PB=PC·PDACD证明:连接AC、BD∵∠A、∠D都是弧CB所对的圆周角∴∠A=∠D同理:

∠C=∠B∴△PAC∽△PDB即PA·PB=PC·PDABPOODCBP典例精析2利用三角形相似求等积式∴合作探究2.如图，⊙O

的弦

AB，CD相交于点

P，若

PA=3，

PB=8，PC=4，则

PD=

.

6ODCBAP巩固新知∴解：∵ED⊥AB，∴∠EDA=90°.

又∠C=90°，∠A=∠A，

∴△AED∽△ABC.

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8.E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB，垂足为D.求AD的长.DABCE∴新知二两直角三角形相似的判定合作探究4．(杭州中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E.由此得到一个判定直角三角形相似的方法：如图，点D在AB上，当∠＝证明：设，则AB=kA′B′，AC=kA′C′.6．(阅读理解题)(宁波中考)若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做“比例三角形”．（1）当Rt△ABC∽Rt△ACD时，有AC:AD＝能够运用三角形相似的条件解决简单的问题。Rt△ABC和Rt△A1B1C1，1．(牡丹江中考)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在BC边上，DF⊥AE，垂足为F.要证明两个三角形相似，即是需要例1如图所示，在△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B′＝90°，∠A＝∠A′，判断这两个三角形是否相似．若DF＝6，则线段EF的长为()求证：Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.（2）当Rt△ACB∽Rt△CDA时，有AC:CD＝1．(4分)如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是()∠B＝∠DCA(答案不唯一)5．(6分)已知在▱ABCD中，AF与BC的延长线相交于点E，与CD相交于点F.两角分别相等的两个三角形相似.(1)求证：△BDE∽△CAD；如图，已知△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A',∠B=∠B'，如图，已知△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A',∠B=∠B'，由此得到一个判定直角三角形相似的方法：有一个锐角相等的两个直角三角形相似.归纳：已知：△ABC∽△A1B1C1.求证：你能证明吗？可要仔细哟！HLABCA1B1C1Rt△ABC和

Rt△A1B1C1，

如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=90°，∠C′=90°，.求证：Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.CAA'BB'C'要证明两个三角形相似，即是需要证明什么呢？目标：证明：设

，则AB=kA′B′，AC=kA′C′.由，得

∴.∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.勾股定理∴

CAA'BB'C'

如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.判定两直角三角形相似的定理HLABC△ABC∽△A1B1C1.即如果那么√A1B1C1Rt△ABC

和

Rt△A1B1C1.例3

如图，已知：∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，，当AB的长为

时，△ACB与△ADC相似．CABD典例精析1直角三角形相似的判定解析：∵∠ADC=90°，AD=2，

，要使这两个直角三角形相似，有两种情况：（1）

当Rt△ABC∽Rt△ACD时，有

AC

:AD＝AB

:AC，

即

，解得

AB=3；∴CABD2（2）当Rt△ACB∽Rt△CDA时，有AC

:CD＝AB

:AC，即

，解得

．∴当AB的长为3或时，这两个直角三角形相似．CABD23.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D.若AB=6，AD=2，则AC=

，BD=

，BC=

.18DBCA巩固新知1．(4分)如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是()C课堂检测CA4．(4分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使△ABC∽△DCA，那么还要补充的一个条件可以是_______________________________.(只要求写出一个条件即可)∠B＝∠DCA(答案不唯一)5．(6分)已知在▱ABCD中，AF与BC的延长线相交于点E，与CD相交于点F.求证：△AFD∽△EAB.∵∠ADE=∠B,∠B=∠B'4．(4分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使△ABC∽△DCA，那么还要补充的一个条件可以是_______________________________.(2)若BD＝4，CD＝5，求AD的长．例1如图所示，在△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B′＝90°，∠A＝∠A′，判断这两个三角形是否相似．典例精析1直角三角形相似的判定若DF＝6，则线段EF的长为()即PA·PB=PC·PDRt△ABC和Rt△A1B1C1，(2)若BD＝4，CD＝5，求AD的长．例1如图所示，在△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B′＝90°，∠A＝∠A′，判断这两个三角形是否相似．∴.若DF＝6，则线段EF的长为()若DF＝6，则线段EF的长为()如图，已知△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A',∠B=∠B'，典例精析1直角三角形相似的判定人教版·数学·九年级（下）例2弦AB和CD相交于⊙O内一点P,求证:PA·PB=PC·PD第4课时两角分别相等的两个三角形相似若DF＝6，则线段EF的长为()利用两角判定三角形相似又∠C=90°，∠A=∠A，BA8．(10分)如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D.(1)求证：△ABD∽△CAD∽△CBA；(2)若BD＝4，CD＝5，求AD的长．两角分别相等的两个三角形相似利用两角判定三角形相似直角三角形相似的判定归纳新知