第2章投影理论基础课件

机械制图2023/7/26第2章投影理论基础

正投影法

1三视图的形成

2点的投影

3直线的投影

4平面的投影

52023/7/262.1

正投影法目的：掌握正投影的基本概念；了解投影法的分类；掌握正投影的特性。重点：正投影的基本概念；正投影的特性。难点：2023/7/262.1

正投影法2.1.1

投影法的基本概念投影法：投射线通过物体，向选定的面投射，并在该面上得到图形的方法（图2-1）。投射中心：所有投射线的起源点。投影（投影图）：根据投影法所得到的图形。投射线：发自投射中心且通过被表示物体上各点的直线。投影面：投影法中，得到投影的面。图2-1

中心投影法

动画2023/7/262.1

正投影法2.1.2

投影法的分类1．中心投影法中心投影法：投射线汇交一点的投影法（图2-1）。

空间四边形ABCD的投影abcd的大小随投射中心S距离ABCD的远近或者ABCD距离投影面P的远近而变化，所以它不适用于绘制机械图样。

特点：直观性好、立体感强、可度量性差，常适用于绘制建筑物的透视图。

图2-1

中心投影法

2023/7/262.1

正投影法2.1.2

投影法的分类2．平行投影法

平行投影法：投射线相互平行的投影法

。

特点：平行投影法中物体投影的大小，与物体离投影面的远近无关。在平行投影法中，按投射线是否垂直于投影面又分为：斜投影法、正投影法。2023/7/262.1

正投影法2.1.2

投影法的分类2．平行投影法

斜投影法：投射线与投影面相倾斜的平行投影法。

斜投影（斜投影图）

：根据斜投影法所得到的图形（图2-2）。图2-2平行投影法中的斜投影法

动画2023/7/262.1

正投影法2.1.2

投影法的分类2．平行投影法

正投影法：投射线与投影面相垂直的平行投影法。

正投影（正投影图）

：根据正投影法所得到的图形（图2-3）。图2-3平行投影法中的正投影法

动画2023/7/262.1

正投影法2.1.3正投影的特性1．实形性

当物体上的平面或直线平行于投影面时，它们的投影反映平面的真实形状或直线的实长（图2-4）。图2-4

投影的实形性

动画2023/7/262.1

正投影法2.1.3正投影的特性2．积聚性

当物体上的平面或直线垂直于投影面时，它们的投影分别积聚成直线和点（图2-5）。图2-5

投影的积聚性

动画2023/7/262.1

正投影法2.1.3正投影的特性3．类似性

当物体上的平面或直线倾斜于投影面时，平面图形的投影仍为类似的平面图形，但面积缩小；直线的投影仍为直线，但长度缩短（图2-6）。图2-6

投影的类似性

动画2023/7/262.2

三视图的形成目的：了解视图的基本概念；掌握三视图的形成及投影规律。重点：三投影面体系的建立；三视图的形成；三视图的配置。难点：三投影面体系的展开；三视图的投影规律。2023/7/262.2

三视图的形成

2.2.1

视图的基本概念

视图：用正投影法所绘制的物体的图形。用正投影原理绘制物体的视图时，相当于人的视线沿正投射方向观察物体，假设人的视线为一组相互平行且与投影面垂直的投射线，将物体向投影面进行投射，如图2-7所示。图2-7

视图的概念

动画2023/7/262.2

三视图的形成

2.2.2

三投影面体系与三视图的形成

当投影面和投射方向确定时，空间点A在投影面上只有唯一的投影a（图2-8（a））。但只凭点A的一个投影a，不能确定点A的空间位置（图2-8（b））。

图2-8点的正投影

2023/7/262.2

三视图的形成

2.2.2

三投影面体系与三视图的形成

物体的一个投影往往不能唯一地确定物体的形状（图2-9）。

图2-9一个投影不能确定物体的形状

动画2023/7/262.2

三视图的形成

2.2.2

三投影面体系与三视图的形成1．三投影面体系的建立

正立投影面（正面），用V表示；水平投影面（水平面），用H表示；侧立投影面（侧面），用W表示。投影轴：两投影面的交线。V面与H面的交线为OX轴；H面与W面的交线为OY轴；V面与W面的交线为OZ轴。三根投影轴的交点为原点，记为O。

图2-10三投影面体系

动画2023/7/262.2

三视图的形成

2.2.2

三投影面体系与三视图的形成2．三视图的形成将物体置于三投影面体系中，并使其处于观察者与投影面之间，分别向V、H、W面进行投影（图2-11（a））。主视图——由前向后投射，在V面所得的视图。俯视图——由上向下投射，在H面所得的视图。左视图——由左向右投射，在W面所得的视图。

图2-11三视图的配置及投影规律

动画2023/7/262.2

三视图的形成

2.2.2

三投影面体系与三视图的形成3．三投影面体系的展开规定V面保持不动，将H面绕OX轴向下旋转90°，W面绕OZ轴向右旋转90°，使H面、W面与V面在同一平面上（图2-11（b））。图2-11三视图的配置及投影规律

动画2023/7/262.2

三视图的形成

2.2.2

三投影面体系与三视图的形成3．三投影面体系的展开由于视图所表示的物体形状与物体和投影面之间距离无关，绘图时省略投影面边框及投影轴（图2-11（d））。

图2-11三视图的配置及投影规律

2023/7/262.2

三视图的形成

2.2.2

三投影面体系与三视图的形成4．三视图的配置

由投影面的展开规则可知，主视图不动，俯视图在主视图正下方，左视图在主视图正右方，按此规定配置时，不必标注视图名称（图2-11（c））。

图2-11三视图的配置及投影规律

2023/7/262.2

三视图的形成

2.2.3三视图的投影规律1．三视图反映物体大小的投影规律

主视图反映物体的长度和高度，俯视图反映物体的长度和宽度，左视图反映物体高度和宽度。三视图反映物体大小的投影规律可以概括为：主、俯视图长对正，主、左视图高平齐，俯、左视图宽相等。

图2-11三视图的配置及投影规律

2023/7/262.2

三视图的形成

2.2.3三视图的投影规律2．三视图反映物体方位的投影规律

主视图反映物体的上、下和左、右方位；俯视图反映物体的左、右和前、后方位；左视图反映物体的上、下和前、后方位（图2-12（a））。图2-12物体和三视图的方位对应关系

2023/7/262.2

三视图的形成

2.2.3三视图的投影规律2．三视图反映物体方位的投影规律

若以主视图为准来看，俯、左视图中靠近主视图的一侧均表示物体的后面，远离主视图的一侧均表示物体的前面（图2-12（b））。

图2-12物体和三视图的方位对应关系

2023/7/262.3

点的投影目的：掌握点的投影特性。重点：点的三面投影规律；特殊位置点的投影。难点：判别两点的相对位置；重影点的可见性判别。2023/7/262.3

点的投影

2.3.1

点的投影规律1．点的投影及标记

将空间点A放入三投影面体系中，由点A分别向三个投影面作垂线，与V面交于a'点，与H面交于a点，与W面交于a"点，即得点A的正面投影a'

、水平投影a与侧面投影a"

（图2-13（a））。图2-13

点在三面投影体系中的投影

2023/7/262.3

点的投影

2.3.1

点的投影规律1．点的投影及标记

空间点用大写字母标记，如A、B、C…；点的水平投影用相应的小写字母标记，如a、b、c…；点的正面投影用相应的小写字母加一撇标记，如a'、b'、c'…；点的侧面投影用相应的小写字母加两撇标记，如a"、b"、c"…。

图2-13

点在三面投影体系中的投影

2023/7/262.3

点的投影

2.3.1

点的投影规律1．点的投影及标记

点的三面投影展开在同一平面上的方法如图2-13（b）所示。可以将投影面的线框和名称省略，形成如图2-13（c）所示的点的三面投影图。图2-13

点在三面投影体系中的投影

2023/7/262.3

点的投影

2.3.1

点的投影规律2．点的直角坐标和三面投影规律

A点的三个直角坐标、、即为A点到三个投影面的距离，它们与A点投影a、a'、a"的关系如下：点A到W面的距离；点A到V面的距离；点A到H面的距离。

图2-13

点在三面投影体系中的投影

2023/7/262.3

点的投影

2.3.1

点的投影规律2．点的直角坐标和三面投影规律

点在三投影面体系中的投影规律：

①点的正面投影和水平投影的连线垂直于X轴，即a'a⊥X轴；点的正面投影和侧面投影的连线垂直于Z轴，即a'a"⊥Z轴。②点的投影到投影轴的距离等于点到投影面的距离，即：

图2-13

点在三面投影体系中的投影

2023/7/262.3

点的投影

2.3.1

点的投影规律3．特殊位置点的投影

特殊位置的点：空间点在投影面上或投影轴上（图2-14（a））。

点B位于V面上，点C位于H面上，点D在OX轴上

。图2-14

投影面和投影轴上的点

2023/7/262.3

点的投影

2.3.1

点的投影规律3．特殊位置点的投影特殊位置点的坐标与投影具有如下规律：

①投影面上的点有一个坐标为零；在该投影面上的投影与该点重合，另两个投影分别在相应的投影轴上。②投影轴上的点有两个坐标为零；在包含这条轴的两个投影面上的投影都与该点重合，另一投影面上的投影与原点重合。图2-14

投影面和投影轴上的点

2023/7/262.3

点的投影

【例2-1】如图2-15（a）所示，已知点A（20，10，18），求作它的三面投影图。

①画出投影轴并标记。②在OX轴上由O向左量取20，得。图2-15

已知点的坐标求作投影图

2023/7/262.3

点的投影

③过作OX轴的垂线，并沿垂线向下量取，得a；向上量取，得a'。④作∠YOY的角平分线。过a作H面投影中的OY的垂线使其与角平分线相交，自交点作W面投影中的OY的垂线，与过a'所作OZ的垂线交于a"，即得点A的三面投影。

图2-15

已知点的坐标求作投影图

2023/7/262.3

点的投影

【例2-2】如图2-16（a）所示，已知点A的正面投影和侧面投影，求作其水平投影。

①作∠YOY的角平分线。②过a"作W面投影中OY的垂线使其与角平分线相交，自交点作H面投影中OY的垂线，与过a'所作OX的垂线相交，即得a。

图2-16

求作第三投影

2023/7/262.3

点的投影

2.3.2

两点的相对位置和重影点

1．判断两点的相对位置

两点的相对位置：指两点间的左右、前后和上下的位置关系。

通过比较两点的各个同面投影（即在同一投影面上的投影）之间的坐标关系，可以判断空间两点的相对位置，在投影图中是由它们各个同面投影的坐标差来确定的。2023/7/262.3

点的投影

2.3.2

两点的相对位置和重影点

1．判断两点的相对位置

V面投影反映出两点的上下、左右关系；H面投影反映出两点的左右、前后关系；W面投影反映出两点的上下、前后关系（图2-17）。从图2-17（b）可以看出：点A在点B的左、上、后方。

图2-17

两点的相对位置

2023/7/262.3

点的投影

【例2-3】如图2-18（a）所示，已知点A和点B的投影图，试判断两点的空间位置关系，并画出其立体图。

①画三面投影体系的立体图：过点O向右画出水平线OX轴，过点O向上画出铅垂线OZ轴，用45°三角板过O作OY轴使∠XOY=135°，作OX、OY、OZ的平行线得H、V及W面。图2-18

两点的相对位置

2023/7/262.3

点的投影

②画点A及其投影的立体图：在立体图的OX、OY、OZ轴上分别从图2-18（a）中量取点A的三个坐标值，从量得的点分别作各相应轴的平行线，即得交点a、a'、a"，再由a、a'、a"作相应轴的平行线，三线交于点A。③画点B及其投影的立体图：用第②步同样的方法可作出点B及其投影的立体图。图2-18

两点的相对位置

2023/7/262.3

点的投影

2.3.2

两点的相对位置和重影点

2．重影点及其可见性投影面的重影点：空间两点，它们的某个同面投影重合。

如图2-19（a）所示，E、F两点位于垂直于V面的投射线上，e'

、f'重合，即、，但，表示点E位于点F的前方。图2-19

重影点及其可见性的判断

2023/7/262.3

点的投影

2.3.2

两点的相对位置和重影点

2．重影点及其可见性重影点的可见性可利用两点不相等的同名坐标加以判断。现规定：对H面的重影点从上向下观察，z坐标值较大者为可见；对V面的重影点从前向后观察，y坐标值较大者为可见；对W面的重影点从左向右观察，x坐标值较大者为可见。

2023/7/262.3

点的投影

2.3.2

两点的相对位置和重影点

2．重影点及其可见性如图2-19（b）所示，点E和点F为对V面的重影点，沿着对V面投射线方向观察，因，所以点E遮住了点F，即e'可见而f

'不可见（规定在不可见投影的符号上加括号），但其水平投影和侧面投影均为可见。

图2-19

重影点及其可见性的判断

2023/7/262.4

直线的投影目的：掌握直线的投影特性。重点：各种位置直线的投影规律。难点：两直线的相对位置及投影特性。2023/7/262.4

直线的投影

2.4.1

直线投影的基本特性1．直线的投影一般仍是直线

将直线AB对投影面H进行投射，投影仍为一条直线。设AB对H面的倾角为α，显然ab=ABcosα（图2-20（a））。所以，直线段的投影往往小于它的实长。

图2-20

直线投影的基本特性

2023/7/262.4

直线的投影

2.4.1

直线投影的基本特性2．直线垂直于投影面时，其投影积聚为一点

当直线CD垂直于投影面H时，对H面的倾角，则其投影长度为0，即重合成一点c（d）（图2-20（b）））。积聚性：直线上任一点的投影都与c（d）重合。图2-20

直线投影的基本特性

2023/7/262.4

直线的投影

2.4.1

直线投影的基本特性3．直线平行于投影面时，其投影反映实长

若直线EF平行于投影面H时，对H面的倾角，则（图2-20（c））。所以，直线平行于投影面时，其投影反映直线的实长。图2-20

直线投影的基本特性

2023/7/262.4

直线的投影

2.4.2

各种位置直线的投影特性1．一般位置直线及其投影特性

一般位置直线：对三个投影面都倾斜的直线。

直线对该投影面的倾角：直线与它在投影面上的投影所成的锐角，分别用α、β、γ表示。如图2-21（a）所示，直线AB的三面投影长度与倾角的关系为，，。

图2-21

一般位置直线的投影

2023/7/262.4

直线的投影

2.4.2

各种位置直线的投影特性1．一般位置直线及其投影特性

一般位置直线的投影特性是：直线的三面投影长度均小于实长，三面投影都倾斜于投影轴，但都不反映空间直线对投影面倾角的实际大小。图2-21

一般位置直线的投影

2023/7/262.4

直线的投影

2.4.2

各种位置直线的投影特性2．投影面平行线及其投影特性

投影面平行线：只平行于一个投影面，而与另两个投影面倾斜的直线。

投影面平行线的投影特性如表2-1所示。水平线——平行于H面，而同时倾斜于V、W面的直线；正平线——平行于V面，而同时倾斜于H、W面的直线；侧平线——平行于W面，而同时倾斜于H、V面的直线。

2023/7/26表2-1投影面平行线的投影特性

2023/7/262.4

直线的投影

2.4.2

各种位置直线的投影特性2．投影面平行线及其投影特性

水平线的投影特性：（参照表2-1）①因为AabB是矩形，且ab∥AB，所以ab=AB，即水平线的水平投影反映直线实长。②因为AB上各点的z坐标相等，所以a'b'∥OX轴；a"b"∥OY轴，且a'b'=ABcosβ<AB，a"b"=ABcosγ<AB，即水平线的正面投影和侧面投影分别平行于相应的投影轴。③水平线的水平投影ab与OX轴的夹角等于该直线对V面的倾角β，ab与OY轴的夹角等于该直线对W面的倾角γ。

2023/7/262.4

直线的投影

2.4.2

各种位置直线的投影特性2．投影面平行线及其投影特性

投影面平行线的投影特性：（参照表2-1）①直线在它所平行的投影面上的投影反映实长。②直线在另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴，但不反映实长。③反映直线实长的投影与投影轴的夹角分别反映该直线对相应投影面的真实倾角。

2023/7/262.4

直线的投影

2.4.2

各种位置直线的投影特性3．投影面垂直线及其投影特性

投影面垂直线：垂直于一个投影面，而与另两个投影面都平行的直线。投影面垂直线的投影特性如表2-2所示。铅垂线——垂直于H面，而同时平行于V、W面的直线；

正垂线——垂直于V面，而同时平行于H、W面的直线；

侧垂线——垂直于W面，而同时平行于H、V面的直线。

2023/7/26表2-2投影面垂直线的投影特性

2023/7/262.4

直线的投影

2.4.2

各种位置直线的投影特性3．投影面垂直线及其投影特性

铅垂线的投影特性：（见表2-2）①因为直线AB⊥H面，所以a（b）成一点，即铅垂线的水平投影积聚为一点。②因为AB∥V面，且AB∥W面，所以a'b'⊥OX，a"b"⊥OY，即铅垂线的正面投影和侧面投影分别垂直于相应的投影轴。③因为AB∥V面，且AB∥W面，所以a'b'∥a"b"∥OZ，a'b'=a"b"=AB，即铅垂线的正面投影和侧面投影反映直线的实长。

2023/7/262.4

直线的投影

2.4.2

各种位置直线的投影特性3．投影面垂直线及其投影特性

投影面垂直线的投影特性：

（见表2-2）①直线在它所垂直的投影面上的投影积聚为一点。②直线在另两个投影面上的投影垂直于相应的投影轴，且反映实长。

2023/7/262.4

直线的投影

2.4.3

两直线的相对位置及其投影特性1．平行两直线

若空间两直线平行，则其各同面投影必定相互平行。反之，若两直线的同面投影都互相平行，则该两直线在空间必平行。2023/7/262.4

直线的投影

2.4.3

两直线的相对位置及其投影特性1．平行两直线

AB与CD两直线平行。将它们向V面投影时，投射线Aa'

∥Bb'

∥Cc'

∥Dd'

，两直线与投射线所构成的两个平面Aa'

b'

B和Cc'

d'

D也相互平行，两平面与V面的交线a'

b'

∥c'

d'

。同理，ab∥cd，a"b"

∥c"d"

（图2-22）。图2-22平行两直线的投影2023/7/262.4

直线的投影

【例2-4】如图2-23（a）所示，判断直线AB与CD是否平行。

①作∠YOY的角平分线。②求出两直线端点的侧面投影a"、b"、c"、d"，连接a"、b"和c"、d"，可知a"b"和c"d"不平行。③直线AB和CD的同面投影并非都相互平行，所以AB与CD不平行。

图2-23

判断两投影面平行线是否平行

2023/7/262.4

直线的投影

2.4.3

两直线的相对位置及其投影特性2．相交两直线

若空间两直线相交，则其各同面投影必定相交，且交点的投影符合空间点的投影规律。反之，若两直线的各同面投影都相交，且交点的投影符合空间点的投影规律，则该两直线在空间必定相交。

2023/7/262.4

直线的投影

2.4.3

两直线的相对位置及其投影特性2．相交两直线

直线AB与CD相交于点E，ab和cd的交点e是交点E的水平投影，同理，a'

b'和c'

d'的交点e'及a"

b"和c"

d"的交点e"

，分别是交点E的正面投影和侧面投影。点e、e'

、e"应符合一个点的投影规律（图2-24）。

图2-24相交两直线的投影

2023/7/262.4

直线的投影

【例2-5】如图2-25（a）所示，判断直线AB与CD是否相交。

①作∠YOY的角平分线。②求出两直线端点的侧面投影a"、b"、c"、d"，连接a"、b"和c"、d"。③各同面投影的交点不满足一个点的投影规律，所以AB与CD不相交。

图2-25

判断两直线是否相交

2023/7/262.4

直线的投影

【例2-6】如图2-26（a）所示，过点B作直线AB与CD相交于点E，且点E距离H面15

mm，点A在点B的左方25

mm处。

①在OX轴上方15

mm处作水平线交c'd'于e'。②过e'作铅垂线交cd于e。③连接b'e'和be，并延长至点B左方25

mm处得a'、a。ab和a'b'即为所求直线AB的投影。

图2-26

作与已知直线相交的直线

2023/7/262.4

直线的投影

2.4.3

两直线的相对位置及其投影特性3．交叉两直线

两直线交叉（异面两直线）：空间两直线既不平行又不相交。交叉两直线不存在共有点，但其同面投影可能相交，交点不符合一个点的投影规律，实际上是两直线处于同一投射线上的两个点的重影。2023/7/262.4

直线的投影

2.4.3

两直线的相对位置及其投影特性3．交叉两直线

正面投影a'

b'

、c'

d'的“交点”，实际上是直线AB上的点Ⅰ和直线CD上的点Ⅱ投影的重合，因点Ⅰ的y坐标大于点Ⅱ，所以点Ⅰ的正面投影1'可见，点Ⅱ的正面投影（2'

）不可见。图2-27交叉两直线的投影

2023/7/262.4

直线的投影

2.4.3

两直线的相对位置及其投影特性3．交叉两直线

水平投影ab、cd的“交点”，实际上是直线AB上的点Ⅲ和直线CD上的点Ⅳ投影的重合，因点Ⅳ的z坐标大于点Ⅲ，所以点Ⅳ的水平投影4可见，点Ⅲ的水平投影（3）不可见。

图2-27交叉两直线的投影

2023/7/262.5

平面的投影目的：掌握平面的投影特性。重点：各种位置平面的投影规律。难点：平面内作直线、作点的方法。2023/7/262.5

平面的投影

2.5.1

平面的表示法1．几何元素表示法

在投影图上，平面可以用下列任何一组几何要素的投影来表示（图2-28）：①不在同一直线上的三点（图2-28（a））。②一直线和直线外的一点（图2-28（b））。图2-28用几何元素表示平面

2023/7/262.5

平面的投影

2.5.1

平面的表示法1．几何元素表示法

③相交两直线（图2-28（c））。④平行两直线（图2-28（d））。⑤任意平面图形（三角形或其他图形）（图2-28（e））。

图2-28用几何元素表示平面

2023/7/262.5

平面的投影

2.5.1

平面的表示法2．迹线表示法

平面的迹线：平面与投影面的交线。迹线平面：用迹线表示的平面。图2-29用迹线表示平面

2023/7/262.5

平面的投影

2.5.2

平面投影的基本特性1．实形性

平面平行于投影面时，它在投影面上的投影反映平面的真实形状（图2-30（a））。2．积聚性

平面垂直于投影面时，它在投影面上的投影积聚成一条直线（图2-30（b））。

图2-30平面投影的基本特性

2023/7/262.5

平面的投影

2.5.2

平面投影的基本特性3．类似性

平面倾斜于投影面时，它在投影面上的投影是一个缩小了的平面图形。如果是多边形，则其投影仍为边数相同的多边形（图2-30（c））。图2-30平面投影的基本特性

2023/7/262.5

平面的投影

2.5.3

各种位置平面的投影特性1．一般位置平面及其投影特性

一般位置平面：对三个投影面都倾斜的平面。三棱锥的棱面△SAB与V面、H面、W面均倾斜，所以在三个投影面上的投影△a'

b'

s'

、△abs、△a"

b"

s"均为缩小了的类似形（图2-31）。

图2-31一般位置平面的投影

2023/7/262.5

平面的投影

2.5.3

各种位置平面的投影特性2．投影面垂直面及其投影特性

投影面垂直面：垂直于一个投影面而与另两个投影面倾斜的平面。铅垂面—只垂直于H面的平面；正垂面—只垂直于V面的平面；侧垂面—只垂直于W面的平面。投影面垂直面的投影特性如表2-3所示。2023/7/26表2-3投影面垂直面的投影特性

2023/7/262.5

平面的投影

2.5.3

各种位置平面的投影特性2．投影面垂直面及其投影特性

正垂面的投影特性：（见表2-3）①平面B垂直于V面，在该投影面上的投影积聚为一条倾斜直线。属于该平面的一切点、线的正面投影均与该平面的正面投影重合。②该平面的正面投影与OX轴的夹角反映该平面对水平面的倾角α的真实大小，与OZ轴的夹角反映该平面对侧面的倾角γ的真实大小。③该平面的水平投影和侧面投影均为小于实形的类似形