概率论和数理统计之随机变量及其分布

本资料来源第二章

随机变量及其分布§2.1随机变量例

电话总机某段时间内接到的电话次数，可用一个变量X来描述：X=0，1，2，…随机变量的概念例检岭测一鱼件破产汪品被可遵能侄出治现液的胡两坛个购结湖果贤，也宰可策以擦用充一甘个系变弄量犹来穷描握述牲:例考跌虑其“辆测乡丰试物灯允泡岔寿窗命教”稼这本一亏试庄验俊，页以X记长灯造泡妨的引寿矩命翼（絮以权小宇时归计谁）疫则拿：X扁=础t哪，迹(殊t妇≥泰0瞒)设S是呈随咐机并试扬验E的样嘱本谁空谎间零，骑若定号义则风称S上报的栋单多值饭实感值判函伏数X蚂()为随棚机沉变牲量随仔机撇变燃量直一渡般贪用凉大冰写久英射文字再母X，Y，Z，或心小预写头希礼腊怕字乓母翻，扩鉴，饭，护表商示随机变量是上的映射，

此篮映奶射眠具闹有祖如有下腿特驰点穗:定哈义哥域事普件骑域S；随己机早性随乐机饭变钞量X的适可湖能至取阳值贴不醒止乐一除个远，业试吓验贱前右只首能孔预庄知懂它萄的呜可脖能蛇的仙取泉值纵但挡不贫能消预层知拜取块哪少个休值霞；概搅率金特末性X以念一鉴定斜的夜概雀率怎取风某缩慧个钩值企或欲某妈些督值笋。引谁入模随篇机钱变湿量哑的躬意叠义有抓了贸随胡机扮变叶量扁，荒随骆机知试哨验启中丧的愉各野种岭事烛件挺，牢就冠可竖以溉通姻过例随司机柱变曾量功的借关陈系判式雨表从达岂出叫来倒。如患：淹单委位晶时淋间念内狠某终电尚话肾交妙换笨台赔收育到瞎的御呼鲁叫遮次茫数近用X表辉示窜，飞它翁是毫一投个随库机遭变配量。{收祸到厅不绝少犯于轰1扰次膏呼令叫}{没扩有衬收佩到续呼旗叫}可玩见靠，隆随恰机屿事愚件部这暴个倦概境念搂实死际碍上饼是谱包哥容乓在叉随吸机橡变殃量提这般个茎更锄广荐的握概毛念何内特。骗也炉可党以价说带，赞随娘机刚事毛件引是隐从没静忆态迷的梯观笔点锤来氏研纸究证随当机殊现捉象酬，情而客随板机姑变猛量戚则主是贿一票种么动示态侍的恒观啦点巧，摩就嘉象山数燃学仔分那析衣中移常饥量席与访变蚕量脚的领区德别背那但样粪。随酸机弄变跃量项分昼类所有取值可以逐个一一列举全部可能取值不仅无穷多，而且还不能一一列举。例有砌奖暴储惹蓄悬，汽2泉0紧万炸户陕为混一务开怨奖割组洪，景设碎特邮等糕奖徐2蝴0档名求，唱奖百金闷4驶0响0守0押元毙；伍一矛等劳奖针1默2轿0繁名巨，像奖贵金蜘4武0叹0争元谷；国二赛等吸奖级1结2秘0察0闭名马，睬奖杆金邮4拳0承元塌；乡丰末沸等扰奖童4栗万懒名弟，逗奖怒金驰4蜂元抢。瓜考帆察贝得肠奖屿金浑额X。§孝2嘴.鬼2周离歌散练型奖随炭机着变顷量蒙及翼其镇分裕布旗律例有弊奖野储乡丰蓄肆，散2步0燃万致户玻为皆一城开根奖仔组印，谅设构特牺等牙奖增2丘0葡名辰，卧奖恼金体4笨0序0拆0榜元越；贸一会等邪奖船1衫2超0蒸名贸，械奖戏金登4计0裤0绢元骑；盾二认等倚奖懂1翅2结0每0栋名松，兵奖培金牧4骂0毙元刊；墨末宵等验奖谁4瞒万岛名巷，牧奖绢金滥4昨元务。板考渗察来得鸽奖饱金窄额X。X的宜可训能显取耗值创为势：Ｘ04404004000p解流：4委0填0遥0口，害4牧0砍0然，哪4塔0贼，旨4混，座0。.估0颤0尊0国1.史0形0他0费6.7933.2.006若拴随泰机驾变叫量X的撞可叮能地取谊值搂是罚有猪限裤个肺或涨可商列摔个勾，成则译称X为离掏散现型坑随粉机哲变楼量。定嫩义描厕述X的胡概沟率锅特盛性遭常哈用概角率把分摧布罩列或分袍布死列X

p

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非负性

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p

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xy0.92

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E独立地重复

n次，则称这一串重复的独立试验为

n重贝努利(Bernoulli)试验，简称为贝努利(Bernoulli)试验在n重驻贝浴努杯利为试湿验虫中，鸡事搅件悲A裤可链能匙发膝生0序,1败,晋2帜,…深n次称X服断从估参阳数墙为p的二忠项庸分片布(b剂i道n汪o鞠m辽i怨a申l)冰。记作：当n=垮1徐时纪，P(X=k)族=pk(宣1芹-沙p拖)1馆-治kk帖=介0裂,班1即己0株-挽1禁分遇布（2）每次试验只考虑两个互逆结果A或，贝席努绑里曲概俩型休对什试债验腾结译果趣没罚有改等辞可混能碎的牧要源求秒，搏但铜有榴下称述扣要灿求灯：（1）躬每袖次称试浅验络条轻件谨相柿同拴；且P(A)=p，；（3）爹各萝次疲试蕉验量相转互驼独举立蝴。二吐项僵分叹布菠描姑述把的酬是n重狼贝岂努员里际试币验习中码出挨现耽“翻成贷功瞧”崖次海数X的领概僚率纱分若布魔。二项分布的分布特点：X~B(n,p)

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N)0.99P(X>N)n大，p小，np=3，用=np=3的泊松近似我们求满足的最小的N.查假泊袍松昼分况布纳表鼻得N+19，即N8即票至凶少建需出配液备译8廊个殊维妈修贫人开员愚.计算x定市义设X为训随闲机播变抖量志，x是瓶任很意已实会数瞎，称模函秘数为X的分伟布归函膀数。几莫何辫意哀义戒：Xx§滔2瓜.费3罢随墨机牲变泰量君的轮分砖布循函授数分架布透函台数袭的部基域本饰性波质

单调性

有界性

右连续性鉴制别池一映个恰函围数辅是握否商是矩某兴随厦机死变段量联的怖分凶布英函役数祸的烫充晕分瞒必屑要练条工件查。x由从定津义厨知X落斯在化区僚间茄(a升，腥b]政里渴的寻概旁率夏可好用悉分死布船函虹数吹来丑计后算炸：baax]aa-Δxx用商分晃布令函至数各表垮示算概势率请填空解：X的祸分漫布送律恐为X012p7/157/151/15例1

求例2中的分布函数并作图.

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记为:概屑率卡密微度f猎(竟x冷)的户性彩质常浓利古用江这串两玩个表性钥质床检著验妇一谁个爸函饼数悔能鸭否宇作卷为欲连译续父性膨随投机额变赖量茧的井密向度问函斩数滴，摆或妖求前其盒中酷的窄未险知瓦参乐数旅。1.2.3.在f(x)

的连续点处有4循.对两连喂续种型尚随讲机怎变矿量X有姜：1.2.3.图形例划1已谅知拜某察型漆号舰电脸子趁管顶的皮使晒用建寿知命X为蚁连续约随沾机盏变汇量糟，乞其俭密照度舱函角数付为寒：(路1薯)求常舱数c；(2)计算(局3唉)熔已埋知获一麻设泪备泄装业有分3概个佛这揪样原的擦电台子耳管信，笑每悉个臣电舒子惨管榆能挺否浴正占常漂工厘作粪相疮互惹独缎立移，拌求任在掌使守用宽的渔最辛初态1平5接0多0挖小妇时只生有日一当个英损个坏奥的父概箩率。解晃：(1)令c春=贪1瞧0猛0关0(2)

(葛3危)设峡A梳表陆示嚷一佛个题电窗子盟管并的贼寿钟命养小倾于极1压5否0钱0忘小凉时设谢在抵使昂用份的漫最历初喷1害5愉0趟0樱小务时披三锦只鞭晶昂体睁管红中盗损士坏嚼的播只唐数甩为Y例俗2设下随平机鸡变鱼量X的注分好布龙函纯数无为满：(末1骡)倒求X取肉值夫在挪区窜间梅(六0沿.洁3箭，义0香.装7典)古的货概确率虎；(么2恢)仗求X的影概横率估密济度取。解稼:(淹1娱)P(捎0武.唇3杯<X<素0肢.远7框）=尺0杜.狭72-鸽0碑.偶32=0惜.张4=F(色0作.炊7介)裙-F(左0杏.偷3羞)例嫂3设声随管机畏变棒量X的独分毒布铃函驴数矮为解双:(诵2斗)f皆(炎x抓)修=注意到F(x)在x=1处导数不存在，根据改变被积函数在个别点处的值不影响积分结果的性质，可以在没意义的点处，任意规定的值。若居随检机发变品量X的火密什度偿函拘数侦为璃：xf(x)ab则竞称X服顺从漆区路间龄[a，b]非上离的均滤匀预分合布。记作均推匀富分都布几依个倾重设要兆的瞎连针续沈性召分副布例4若，求F(x)。解：xf(x)abxxf(x)abxF(x)baF龙(翠x椒)的域图杠形米：即X的服取筑值押在世(a，b)朽内傻任讽何译长您为d权–旦c的除小格区宏间稿的谁概庸率晓与刘小倡区宫间对的究位茅置矛无馋关什，示只某与愈其愧长肝度谎成斗正裁比衫。若递随材机劝变峡量X的蚊密分度戚函声数窃为持：其满中μ脂，原σ沸>充0为始未据知躬参兵数傅，宿则敢称X服氏从犬参革数锣为μ感，祥σ的扒正研态惜分协布贺，挡记弯为滩：正籍态豪分递布正页态翅分隆布压有伤广蓬泛券的渡应昨用浙，涌如跨地权区强的员年驶降拐雨缝量谣,甘在炼正主常杯条锦件争下浊各巴种红产召品题的微质穷量羡指坦标断，亚如掉零您件乱的陕尺紧寸外；庄纤虫维子的饰强摆度露和乎张牢力砍；喷农平作酱物要的中产秀量暗，影小翁麦幅的奸穗斜长疤、绪株垂高公；智测讨量扩误婆差党，流射录击竖目织标蜻的许水碰平棒或预垂孔直辽偏御差香；甩信投号端噪勤声跃等雹等锁，绿都途服倦从郑或侦近涨似乳服烛从妻正凶态廉分额布窃。0μμ-σμ+σxy正惠态屠分膜布晓密命度巡寿函舟数μ00.20.40.60.811.21.4动煤态而演饲示称X服从标准正态分布概率密度函数为：分布函数为：的函数值可查正态分布表。例：0智.叼8植4勇1骂3记为：对六标异准崇正悟态凭分抬布店，屠有尾：0x-x引朝理秒：于是：例3：这在统计学上称作“3准则”

（三倍标准差原则）。可以认为，Y的取值几乎全部集中在区间内.分位点则称为标准正态分布的上分位点。

0常用值：0.0010.0050.010.0250.050.103.0902.5762.3271.9601.6451.282§避2膛.渠5佳随填机鸡