北京李二泗中学高一数学理上学期期末试题含解析

北京李二泗中学高一数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数满足对任意的都成立。若，则与的大小关系是

（

）

A．

B．

C．

D．不确定

参考答案：B2.在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点称为整点．对任意，连接原点与点，用表示线段上除端点外的整点个数，则=().A.1

B.

2

C.3

D.

4参考答案：C3.将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为（）A．70 B．140 C．280 D．840参考答案：A【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【分析】甲、乙分在同一组，只要甲和乙所在的这一组只要从其他7个人中选一个即可，剩下的6个人平均分成两个组，是一个平均分组问题，根据分步计数原理得到不同分组方法的种数．【解答】解：∵甲、乙分在同一组，∴甲和乙所在的这一组只要从其他7个人中选一个即可，剩下的6个人平均分成两个组，是一个平均分组问题，根据分步计数原理得到不同分组方法的种数为．故选A．【点评】本题是一个排列组合问题，用到计数原理，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素．4.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如图所示，则这个棱柱的体积为（

）．

A.

B.

C.

D.参考答案：B5.已知0＜＜1，＜-1，则函数的图象必定不经过（

）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限参考答案：A6.（4分）函数f（x）=log2|2x﹣1|的图象大致是（） A． B． C． D． 参考答案：A考点： 函数的图象．专题： 函数的性质及应用．分析： 需要分数讨论，利用函数的单调性和函数值域即可判断解答： 当x＞0时，f（x）=log2（2x﹣1），由于y=log2t为增函数，t=2x﹣1为增函数，故函数f（x）在（0，+∞）为增函数，当x＜0时，f（x）=log2（1﹣2x），由于y=log2t为增函数，t=1﹣2x为减函数，故函数f（x）在（﹣∞，0））为减函数，且t=1﹣2x为的值域为（0，1）故f（x）＜0，故选：A．点评： 本题考查了分段函数的图象和性质，根据函数的单调性和值域即可判断图象，属于基础题7.函数的定义域是[

]

A.

B.

C.

D.参考答案：A8.已知函数f（x）=的定义域是一切实数，则m的取值范围是（）A．0＜m≤4 B．0≤m≤1 C．m≥4 D．0≤m≤4参考答案：D【考点】函数恒成立问题；函数的定义域及其求法．【分析】根据函数的定义域是全体实数，得到mx2+mx+1≥0恒成立，即可得到结论．【解答】解：若函数f（x）=的定义域是一切实数，则等价为mx2+mx+1≥0恒成立，若m=0，则不等式等价为1≥0，满足条件，若m≠0，则满足，即，解得0＜m≤4，综上0≤m≤4，故选：D9.三个数的大小关系为（

）A.

B.C．

D.参考答案：D

解析：当范围一致时，；当范围不一致时，注意比较的方法，先和比较，再和比较10.（5分）函数f（x）=4x2﹣mx+5在区间[﹣2，+∞）上是增函数，则（） A． f（1）≥25 B． f（1）=25 C． f（1）≤25 D． f（1）＞25参考答案：A考点： 二次函数的性质．专题： 函数的性质及应用．分析： 先求出函数的对称轴，求出m是范围，由f（1）=9﹣m，结合m的范围，从而求出f（1）的范围．解答： ∵f（x）的对称轴x=，开口向上，∴≤﹣2，m≤﹣16，∴f（1）=4﹣m+5≥25，故选：A．点评： 本题考查了二次函数的性质，考查了求参数的范围问题，是一道基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若，则_______．参考答案：9【分析】先由题意，得到，求出，再由等差数列的性质，即可得出结果.【详解】因为等差数列的前项和为，若，则，所以，因此.故答案为：9【点睛】本题主要考查等差数列的性质的应用，熟记等差数列的求和公式，以及等差数列的性质即可，属于常考题型.12.__________．参考答案：．13.若函数有零点，则实数的取值范围是

参考答案：略14.给出下列五个命题：①函数y=f（x），x∈R的图象与直线x=a可能有两个不同的交点；②函数y=log2x2与函数y=2log2x是相等函数；③对于指数函数y=2x与幂函数y=x2，总存在x0，当x＞x0时，有2x＞x2成立；④对于函数y=f（x），x∈[a，b]，若有f（a）?f（b）＜0，则f（x）在（a，b）内有零点．⑤已知x1是方程x+lgx=5的根，x2是方程x+10x=5的根，则x1+x2=5．其中正确的序号是．参考答案：③⑤考点：函数与方程的综合运用；函数的概念及其构成要素；判断两个函数是否为同一函数；函数的零点；根的存在性及根的个数判断．专题：计算题．分析：①函数表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系，根据定义进行判定即可判断；②根据函数的定义域进行判定即可；③总存在x0=4，当x＞4时，有2x＞x2成立；④缺少条件“函数y=f（x）在区间[a，b]上连续”；⑤第一个方程：lgx=5﹣x．第二个方程，10x=5﹣x，lg（5﹣x）=x．注意第二个方程，如果做变量代换y=5﹣x，则lgy=5﹣y，其实是与第一个方程一样的．那么，如果x1，x2是两个方程的解，则必有x1=5﹣x2，也就是说，x1+x2=5．解答：解：对于①函数表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系，根据定义进行判定即可判断①错；对于②函数y=log2x2与函数y=2log2x的定义域不等，故不是相等函数，故②错；对于③当x0取大于等于4的值都可使当x＞x0时，有2x＞x2成立，故③正确；对于④函数y=f（x）在区间[a，b]上连续，才有若有f（a）?f（b）＜0，则f（x）在（a，b）内有零点．故④错对于⑤：∵x+lgx=5，∴lgx=5﹣x．∵x+10x=5，∴10x=5﹣x，∴lg（5﹣x）=x．如果做变量代换y=5﹣x，则lgy=5﹣y，∵x1是方程x+lgx=5的根，x2是方程x+10x=5的根，∴x1=5﹣x2，∴x1+x2=5．故正确故答案为：③⑤点评：此题是个中档题，考查函数图象和零点问题，以及函数概念和构成要素等基础知识，考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力15.甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为

和

.参考答案：24

23

16.（5分）已知圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0，则圆心

，半径为

．参考答案：（﹣1，2）,3.考点： 圆的一般方程．专题： 直线与圆．分析： 求出圆的标准方程即可得到结论．解答： 将圆进行配方得圆的标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2=9，则圆心坐标为（﹣1，2），半径R=3，故答案为：（﹣1，2），3点评： 本题主要考查圆的标准方程的求解，利用配方法将一般方程配成标准方程是解决本题的关键．17.cos660°=．参考答案：【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】由条件利用利用诱导公式进行化简求值，可得结果．【解答】解：cos660°=cos=cos（﹣60°）=cos60°=，故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分10分，不计入总分）设为实数，记函数的最大值为。（1）设，求的取值范围，并把表示为的函数；（2）求.参考答案：解：（1）因为，所以要使有意义，必须且，即因为，且---------------------------------①所以得取值范围是

由①得所以，；-------------------------------2分（2）由题意知即为函数的最大值。因为直线是抛物线的对称轴，所以可分以下几种情况进行讨论：1

当时函数，的图像是开口向上的抛物线的一段，由知在上单调递增，故；---------4分②当时，，，有；------------------------------------6分③当时，函数，的图像是开口向下的抛物线的一段，若，即时，，若，即时，，

若，即时，------------------------9分综上，有----------------------------------------------10分19.(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）。

（1）求抛物线的解析式；（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值．参考答案：（1）把A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）代入y=ax2+bx+c中，得解得a=﹣，b=1，c=0

所以解析式为y=﹣x2+x．

（2）由+，可得抛物线的对称轴为x=1，并且对称轴垂直平分线段OB，∴OM=BM，∴OM+AM=BM+AM，连接AB交直线x=1于M点，则此时OM+AM最小过点A作AN⊥x轴于点N，在Rt△ABN中，AB===4，

因此OM+AM最小值为．20.某厂借嫦娥奔月的东风，推出品牌为“玉兔”的新产品，生产“玉兔”的固定成本为20000元，每生产一件“玉兔”需要增加投入100元，根据初步测算，总收益满足函数，其中x是“玉兔”的月产量．（1）将利润f（x）表示为月产量x的函数；（2）当月产量为何值时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？（总收益=总成本+利润）参考答案：【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）由题意，由总收益=总成本+利润可知，分0≤x≤400及x＞400求利润，利用分段函数表示；（2）在0≤x≤400及x＞400分别求函数的最大值或取值范围，从而确定函数的最大值．从而得到最大利润．【解答】解：（1）由题意，当0≤x≤400时，f（x）=400x﹣0.5x2﹣20000﹣100x=300x﹣0.5x2﹣20000；当x＞400时，f（x）=80000﹣100x﹣20000=60000﹣100x；故（2）当0≤x≤400时，f（x）=300x﹣0.5x2﹣20000；当x=300时，f（x）max=f当x＞400时，f（x）max＜f∵25000＞20000，∴当x=300时，该厂所获利润最大，最大利润为25000元．21.已知{an}为等差数列，前n项的和为Sn（n∈N＋），数列{bn}是首项为2的等比数列且公比大于0，b3＋b5＝40，b2＝a4－6a1，S11＝11b4．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式．（2）求数列{a2nbn}的前n项和．参考答案：解：(1)设公差为，公比为

即

、

又

…………3分又

即①由

即②解①②得………………6分(2)∴令…………7分设前项和为则……9分上述两式相减，得：

=

=……12分

22.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明：PA∥平面EDB；（2）证明：PB⊥平面EFD．参考答案：【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【专题】证明题．【分析】（1）由题意连接AC，AC交BD于O，连接EO，则EO是中位线，证出PA∥EO，由线面平行的判定定理知PA∥平面EDB；（2）由PD⊥底面ABCD得PD⊥DC，再由DC⊥BC证出BC⊥平面PDC，即得BC⊥DE，再由ABCD是正方形证出DE⊥平面PBC，则有DE⊥PB，再由条件证出PB⊥平面EFD．【解答】解：（1）证明：连接AC，AC交BD于O．连接EO．∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点．∴在△PAC