2021年山东省聊城市凤凰中学高三数学文月考试卷含解析

2021年山东省聊城市凤凰中学高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是A．

B．C．

D．参考答案：D2.已知椭圆与双曲线（m，n，p，q∈R+）有共同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个公共交点．则|PF1|?|PF2|的值是(

)A．p2﹣m2 B．p﹣m C．m﹣p D．m2﹣p2参考答案：C【考点】圆锥曲线的共同特征．【专题】计算题．【分析】设|PF1|＞|PF2|，根据椭圆和双曲线的定义可分别表示出|PF1|+|PF2|和|PF1|﹣|PF2|，进而可表示出|PF1|和|PF2|，根据焦点相同可求得m﹣n=p+q，整理可得m﹣p=n+q，进而可求得|pF1|?|pF2|的表达式．【解答】解：由椭圆和双曲线定义不妨设|PF1|＞|PF2|则|PF1|+|PF2|=2|PF1|﹣|PF2|=2所以|PF1|=+|PF2|=﹣∴|pF1|?|pF2|=m﹣p∵焦点相同c2=m﹣n=p+q∴m﹣p=n+q所以|pF1|?|pF2|=m﹣p或n+q故选C【点评】本题主要考查了圆锥曲线的共同特征，椭圆和双曲线的简单性质．考查了学生的综合运用所学知识解决问题的能力．3.在△ABC中，，若此三角形有两解，则b的范围为（

）

A．

B．b>2

C．b<2

D．参考答案：A略4.若，则A．

B．

C．

D．参考答案：A略5.若实数x，y满足，则（x﹣3）2+y2的最小值是（）A． B．8 C．20 D．2参考答案：A【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先画出满足条件的平面区域，根据（x﹣3）2+y2的几何意义求出其最小值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由图象得P（3，0）到平面区域的最短距离dmin=，∴（x﹣3）2+y2的最小值是：．故选：A．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道基础题．6.i为虚数单位，则=（）A．﹣i B．﹣1 C．i D．1参考答案：A【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后代入计算得答案．【解答】解：，则=i2007=（i4）501?i3=﹣i．故选：A．7.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.已知在鳖臑中平面，，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D8.已知函数是定义在R上的偶函数，，当时，，若，则a的最大值是（

）A.2018

B.2010

C.2020

D.2011参考答案：D由函数是定义在上的偶函数，，可得：，即，故函数的周期为12．令，解得，∴在上的根为5，7；又，∴的最大值在上，即，故选D．

9.复数等于

(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B略10.若直线与直线垂直，则实数A．3 B．0 C． D．参考答案：D由题意可得.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（极坐标系与参数方程）极坐标系下曲线表示圆，则点到圆心的距离为

；参考答案：12.在平面直角坐标系中，若中心在坐标原点上的双曲线的一条准线方程为，且它的一个顶点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的渐进线方程为

.参考答案：略13.已知，且的夹角为锐角，则的取值范围是_______。参考答案：(-∞，-)∪(-，)略14.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为实数，a≠0）的图象过点C（t，2），且与x轴交于A，B两点，若AC⊥BC，则a的值为．参考答案：﹣【考点】二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】设A（x1，0），B（x2，0），由题意可得t2+bt+c=2，由AC⊥BC，可得=（x1﹣t，﹣2）?（x2﹣t，﹣2）=0，代入根据方程的根与系数关系可求a【解答】解：设A（x1，0），B（x2，0）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过点C（t，2），∴at2+bt+c=2∵AC⊥BC，∴=（x1﹣t，﹣2）?（x2﹣t，﹣2）=0∴∴即at2+bt+c+4a=0∴4a+2=0∴故答案为：﹣【点评】本题主要考查了利用二次函数的性质求解函数中的参数，解题中注意整体思想的应用．15.设函数f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x＋1，则=_______________。参考答案：16.设对任意实数恒成立，则x取值集合是

.参考答案：17.曲线y=x﹣cosx在点（，）处的切线的斜率为

．参考答案：2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，由导数的几何意义代入x=，计算即可得到所求切线的斜率．【解答】解：y=x﹣cosx的导数为y′=1+sinx，可得曲线在点（，）处的切线的斜率为1+sin=1+1=2．故答案为：2．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=（lnx﹣k﹣1）x（k∈R）（1）当x＞1时，求f（x）的单调区间和极值．（2）若对于任意x∈[e，e2]，都有f（x）＜4lnx成立，求k的取值范围．（3）若x1≠x2，且f（x1）=f（x2），证明：x1x2＜e2k．参考答案：【分析】（1）由题意x＞0，=lnx﹣k，由此根据k≤0，k＞0利用导数性质分类讨论，能求出函数f（x）的单调区间和极值．（2）问题转化为k+1＞对于x∈[e，e2]恒成立，令g（x）=，则，令t（x）=4lnx+x﹣4，x∈[e，e2]，则，由此利用导数性质能求出实数k的取值范围．（3）设x1＜x2，则0＜x1＜ek＜x2＜ek+1，要证x1x2＜e2k，只要证x2＜，即证＜，由此利用导数性质能证明x1x2＜e2k．【解答】解：（1）∵f（x）=（lnx﹣k﹣1）x（k∈R），∴x＞0，=lnx﹣k，①当k≤0时，∵x＞1，∴f′（x）=lnx﹣k＞0，函数f（x）的单调增区间是（1，+∞），无单调减区间，无极值；②当k＞0时，令lnx﹣k=0，解得x=ek，当1＜x＜ek时，f′（x）＜0；当x＞ek，f′（x）＞0，∴函数f（x）的单调减区间是（1，ek），单调减区间是（ek，+∞），在区间（1，+∞）上的极小值为f（ek）=（k﹣k﹣1）ek=﹣ek，无极大值．（2）∵对于任意x∈[e，e2]，都有f（x）＜4lnx成立，∴f（x）﹣4lnx＜0，即问题转化为（x﹣4）lnx﹣（k+1）x＜0对于x∈[e，e2]恒成立，即k+1＞对于x∈[e，e2]恒成立，令g（x）=，则，令t（x）=4lnx+x﹣4，x∈[e，e2]，则，∴t（x）在区间[e，e2]上单调递增，故t（x）min=t（e）=e﹣4+4=e＞0，故g′（x）＞0，∴g（x）在区间[e，e2]上单调递增，函数g（x）max=g（e2）=2﹣，要使k+1＞对于x∈[e，e2]恒成立，只要k+1＞g（x）max，∴k+1＞2﹣，即实数k的取值范围是（1﹣，+∞）．证明：（3）∵f（x1）=f（x2），由（1）知，函数f（x）在区间（0，ek）上单调递减，在区间（ek，+∞）上单调递增，且f（ek+1）=0，不妨设x1＜x2，则0＜x1＜ek＜x2＜ek+1，要证x1x2＜e2k，只要证x2＜，即证＜，∵f（x）在区间（ek，+∞）上单调递增，∴f（x2）＜f（），又f（x1）=f（x2），即证f（x1）＜，构造函数h（x）=f（x）﹣f（）=（lnx﹣k﹣1）x﹣（ln﹣k﹣1），即h（x）=xlnx﹣（k+1）x+e2k（），x∈（0，ek）h′（x）=lnx+1﹣（k+1）+e2k（+）=（lnx﹣k），∵x∈（0，ek），∴lnx﹣k＜0，x2＜e2k，即h′（x）＞0，∴函数h（x）在区间（0，ek）上单调递增，故h′（x）＜h（ek），∵，故h（x）＜0，∴f（x1）＜f（），即f（x2）=f（x1）＜f（），∴x1x2＜e2k成立．19.已知直线l过抛物线C：的焦点，且垂直于抛物线的对称轴，l与抛物线两交点间的距离为2.(1)求抛物线C的方程;(2)若点，过点(－2,4)的直线与抛物线C相交于A，B两点，设直线PA与PB的斜率分别为和.求证：为定值，并求出此定值.参考答案：（1）由题意可知，，抛物线的方程为. （4分）（2）已知点，设直线的方程为：，，则，，联立抛物线与直线的方程消去得可得，，代入可得.因此可以为定值，且该定值为. （12分）20.选修4﹣1几何证明选讲已知△ABC中AB=AC，D为△ABC外接圆劣弧，上的点（不与点A、C重合），延长BD至E，延长AD交BC的延长线于F．（I）求证．∠CDF=∠EDF（II）求证：AB?AC?DF=AD?FC?FB．参考答案：【考点】与圆有关的比例线段；圆周角定理．【专题】综合题．【分析】（I）根据A，B，C，D四点共圆，可得∠ABC=∠CDF，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，从而得解．（II）证明△BAD∽△FAB，可得AB2=AD?AF，因为AB=AC，所以AB?AC=AD?AF，再根据割线定理即可得到结论．【解答】证明：（I）∵A，B，C，D四点共圆，∴∠ABC=∠CDF又AB=AC∴∠ABC=∠ACB，且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，7分对顶角∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF；（II）由（I）得∠ADB=∠ABF∵∠BAD=∠FAB∴△BAD∽△FAB∴∴AB2=AD?AF∵AB=AC∴AB?AC=AD?AF∴AB?AC?DF=AD?AF?DF根据割线定理DF?AF=FC?FB∴AB?AC?DF=AD?FC?FB【点评】本题以圆为载体，考查圆的内接四边形的性质，考查等腰三角形的性质，考查三角形的相似，属于基础题．21.已知函数f(x)=x2－1(x≥1)的图象是C1，函数y=g(x)的图象C2与C1关于直线y=x对称．(1)求函数y=g(x)的解析式及定义域M；(2)对于函数y=h(x)，如果存在一个正的常数a，使得定义域A内的任意两个不等的值x1，x2都有|h(x1)－h(x2)|≤a|x1－x2|成立，则称函数y=h(x)为A的利普希茨Ⅰ类函数．试证明：y=g(x)是M上的利普希茨Ⅰ类函数．参考答案：解析：(1)由y=x2－1(x≥1)，得y≥0，且x=，∴f－1(x)=

(x≥0)，即C2：g(x)=，M={x|x≥0}．

(2)对任意的x1，x2∈M，且x1≠x2，则有x1－x2≠0，x1≥0，x2≥0．∴|g(x1)－g(x2)|=|－|=＜|x1－x2|．∴y=g(x)为利普希茨