2021年内蒙古自治区呼和浩特市哈乐中学高三数学理下学期期末试题含解析

2021年内蒙古自治区呼和浩特市哈乐中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数,的部分图像如图,则（

）A．

B．C．

D．参考答案：B略2.已知是定义在R上的奇函数，它的最小正周期为T，则的值为A．0

B．

C．T

D．参考答案：A解析：因为的周期为T，所以，又是奇函数，所以，所以则3.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为，则(

)A．23

B．32

C．35

D．38参考答案：C4.已知直线l：y=x+m与曲线y=有两个公共点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣2，2） B．（﹣1，1） C．[1，） D．（﹣，）参考答案：C【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】画出图象，当直线l经过点A，C时，求出m的值；当直线l与曲线相切时，求出m．即可．【解答】解：画出图象，当直线l经过点A，C时，m=1，此时直线l与曲线y=有两个公共点；当直线l与曲线相切时，m=．因此当时，直线l：y=x+m与曲线y=有两个公共点．故选C．5.若函数(a>0且)在(∞，+∞)上既是奇函数又是增函数，则函数的图象是参考答案：C略6.把函数的图象向左平移个单位得到的图象（如图），则（

）A．

B．

C.

D.

参考答案：C略7.设函数f（x）=sin2x+cos2x，若将函数f（x）的图象向右平移个单位，所得图象对应函数为g（x），则（） A． f（x）的图象关于直线x=对称，g（x）图象关于原点对称 B． f（x）的图象关于点（，0）对称，g（x）图象关于直线x=对称 C． f（x）的图象关于直线x=对称，g（x）图象关于原点对称 D． f（x）的图象关于点（，0）对称，g（x）图象关于直线x=对称参考答案：C略8.已知函数，有三个不同的零点，（其中），则的值为（

）A．

B．

C．-1

D．1参考答案：D9.已知函数，，则下列结论中正确的是（

）A．函数的最小正周期为

B．函数的最大值为1C．将函数的图象向右平移单位后得的图象D．将函数的图象向左平移单位后得的图象 参考答案：C略10.已知P是△ABC内一点，且满足2+3+4=，那么S△PBC：SPCA：S△PAB等于（）A．4：3：2 B．2：3：4 C．：： D．：：参考答案：B【考点】正弦定理．【分析】由已知得．延长PB到B1，使得，延长PC到C1，使得，则P是△PB1C1的重心，设=3S，则=S，由此能求出S△PBC：S△PCA：S△PAB的值．【解答】解：∵P是△ABC内一点，且满足2+3+4=，∴．延长PB到B1，使得，延长PC到C1，使得，连结PB1、PC1、B1C1，则．∴P是△PB1C1的重心，设=3S，则=S，，S△PCA=，S△PAB=，∴S△PBC：S△PCA：S△PAB==2：3：4．故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图所示，M，N是函数图象与x轴的交点，点P在M，N之间的图象上运动，当△MPN面积最大时，则_________参考答案：12.已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若．，则此球的表面积等于_________．参考答案：13.已知函数则不等式的解集是

.参考答案：（)略14.在代数式的展开式中，常数等于

.参考答案：15【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关数据整理与概率统计的基本知识.【知识内容】数据整理与概率统计/排列、组合、二项式定理/二项式定理.【参考答案】15【试题分析】在代数式的展开式中常数项为，当时，即时，该项不含未知数x，则此时常数等于，故答案为15.15.数列满足,则

.参考答案：16.若x，y满足约束条件则的最小值为__________．参考答案：2【分析】先由约束条件作出可行域，再由目标函数可化，因此当直线在轴上截距最小时，取最小，结合图像即可求出结果.【详解】由约束条件作出可行域如下：因为目标函数可化为，因此当直线在轴上截距最小时，取最小.由图像易得，当直线过点时，在轴上截距最小，即.故答案为2【点睛】本题主要考查简单的线性规划，只需由约束条件作出可行域，分析目标函数的几何意义，结合图像即可求解，属于常考题型.17.在锐角△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.若，则________；若，则的最小值为________.参考答案：；

8.【分析】结合已知，直接运用余弦定理，可以求出的大小.根据三角形内角和定理、两角和的正弦公式，可将，化为，最后可化成为，根据，可得，利用基本不等式可以求出的最小值.【详解】由余弦定理可知：，而，所以有.所以有，因为，所以，，，，解得或（舍去），即的最小值为8，当且仅当，即，或,此时角，，为锐角，所以的最小值为8..【点睛】本题考查了余弦定理、综合考查了三角恒等变换，考查了基本不等式的应用、公式的变形能力.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某公司有男职员45名，女职员15名，按照分层抽样的方法组建了一个4人的科研攻关小组.（I）求某职员被抽到的概率及科研攻关小组中男、女职员的人数；（II）经过一个月的学习、讨论，这个科研攻关组决定选出两名职员做某项实验，方法是先从小组里选出1名职员做实验，该职员做完后，再从小组内剩下的职员中选一名做实验，求选出的两名职员中恰有一名女职员的概率；（III）试验结束后，第一次做试验的职员得到的试验数据为68，70，71，72，74，第二次做试验的职员得到的试验数据为69，70，70，72，74，请问哪位职员的实验更稳定？并说明理由.

参考答案：（I）某职员被抽到的概率为，男、女职员的人数分别为3,1；（II）；（III）第二次做试验的职员做的实验更稳定，（理由：略）.解析：（I）某职员被抽到的概率为--2分设有x名职员，则，男、女职员的人数分别为3,1----4分（II）把3名男职员和1名女职员记为，则选取两名小于的基本事件有共12种，其中有一名女职员的有6种，所以选出的两名职员中恰有一名女职员的概率为---------8分（Ⅲ），，第二次做试验的职员做的实验更稳定………12分

略19.（理）如图，在直三棱柱中，，。M、N分别是AC和BB1的中点。（1）求二面角的大小。（2）证明：在AB上存在一个点Q，使得平面⊥平面，并求出的长度。参考答案：（理）解：方法一（向量法）如图建立空间直角坐标系……1分（1）∴

设平面的法向量为，平面的法向量为

则有…………3分

…………5分设二面角为θ，则

∴二面角的大小为60°。…………7分（2）设………………9分

∵

∴，设平面的法向量为

则有：…………11分

由（1）可知平面的法向量为

∵平面⊥平面

∴

即，

此时。………………14分方法二：（1）取中点，连接∵

∴

又∵

∴

∴

∴

过做于H，连接

∴

∴

∴为二面角的平面角………………4分

有：

∵∽，，，

∴

∴

∴…………7分

20.某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2013年11月11日的网购金额，所得数据如下表：已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为3：2（1）试确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图（如图）．（2）该营销部门为了了解该市网友的购物体验，从这200网友中，用分层抽样的方法从网购金额在（1，2]和（4，5]的两个群体中确定5人中进行问卷调查，若需从这5人中随机选取2人继续访谈，则此2人来自不同群体的概率是多少？参考答案：略21.（本小题满分12分）已知二次函数满足,，且的最大值为8，求二次函数的解析式．参考答案：f(x)＝－4x2＋4x＋7(解法1：利用一般式)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，解得∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.(解法2：利用顶点式)设f(x)＝a(x－m)2＋n，∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线对称轴为x＝＝，即m＝；又根据题意，函数最大值ymax＝8，∴n＝8，∴f(x)＝a2＋8.∵f(2)＝－1，∴a＋8＝－1，解得a＝－4.∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.(解法3：利用两根式)由题意知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值ymax＝8，即＝8，解得a＝－4或a＝0(舍)，∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2－(－4)x－2×(－4)－1＝－4x2＋4x＋722.已知椭圆C1：+=1的离心率为e=且与双曲线C2：﹣=1有共同焦点．（1）求椭圆C1的方程；（2）在椭圆C1落在第一象限的图象上任取一点作C1的切线l，求l与坐标轴围成的三角形的面积的最小值；（3）设椭圆C1的左、右顶点分别为A，B，过椭圆C1上的一点D作x轴的垂线交x轴于点E，若C点满足⊥，∥，连结AC交DE于点P，求证：PD=PE．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的离心率e=，得到a2=4b2，再结合椭圆与双曲线有共同的交点及隐含条件解得a2，4b2，则椭圆的方程可求；（2）由题意设出切线方程y=kx+m（k＜0），和椭圆方程联立后由方程仅有一个实根得到方程的判别式等于0，即得到k与m的关系，求出直线在x轴和y轴上的截距，代入三角形的面积公式后化为含有k的代数式，然后利用基本不等式求最值；（3）求出A，B的坐标，设出D，E，C的坐标，结合条件⊥，∥可得D，E，C的坐标的关系，把AC，DE的方程都用D点的坐标表示，求解交点P的坐标，由坐标可得P为DE的中点．【解答】（1）解：由e=，可得：，即，∴，a2=4b2①又∵c2=2b2+1，即a2﹣b2=2b2+1

②联立①②解得：a2=4，b2=1，∴椭圆C1的方程为：；（2）解：∵l与椭圆C1相切于第一象限内的一点，∴直线l的斜率必存在且为负，设直线l的方程为：y=kx+m（k＜0），联立，消去y整